2015-2016年吉林省延边二中高二上学期期中数学试卷及答案(文科)

2015-2016学年吉林省延边二中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）1．（4分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（4分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）
A．a2+b2＞2ab B．C． D．
3．（4分）设0＜a＜1，m=log a（a2+1），n=log a（a+1），p=log a（2a），则m，n，p的大小关系是（）
A．n＞m＞p B．m＞p＞n C．m＞n＞p D．p＞m＞n
4．（4分）已知等差数列{a n}与等比数列{b n}，满足a3=b3，2b3﹣b2b4=0，则{a n}前5项的和S5为（）
A．5 B．20 C．10 D．40
5．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=（）
A．2 B．9 C．10 D．19
6．（4分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3，S3n=39，则S4n等于（）
A．80 B．90 C．120 D．130
7．（4分）当x，y满足时，则t=x+y的最大值是（）
A．1 B．2 C．3 D．5
8．（4分）在△ABC中，已知a2﹣b2﹣c2=bc，则角B+C等于（）A．B． C． D．或
9．（4分）若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）
A．4031 B．4033 C．4034 D．4032
10．（4分）已知二次函数f（x）=cx2﹣4x+a+1的值域是[1，+∞），则的最
小值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（4分）已知a，b，m，n，x，y都是正实数，且a＜b，又知a，m，b，x 成等差数列，a，n，b，y成等比数列，则有（）
A．m＞n，x＞y B．m＞n，x＜y C．m＜n，x＞y D．m＜n，x＜y
12．（4分）两个等差数列{a n}的和{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知=，
则使a n=tb n成立的正整数t的个数是（）
A．3 B．6 C．4 D．5
二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）13．（4分）不等式﹣x2+|x|+2＜0的解集是．
14．（4分）已知正数组成等差数列{a n}的前20项和为100，那么a7•a14的最大值为．
15．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=6+a7，则S9的值是．16．（4分）若a＞1，设函数f（x）=a x+x﹣4的零点为m，g（x）=log a x+x﹣4的
零点为n，则+的最小值为．
三、解答题（包括6个题，17、18题各8分，19、20、21，22题10分，共56分，请写必要的解答过程）
17．（8分）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
18．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分a，b，c，已知a=，b=，1+2cos（B+C）=0．
（Ⅰ）求角A，B；
（Ⅱ）求BC边上的高．
19．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．
20．（10分）已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．
21．（10分）已知等差数列{a n}中，公差d＞0，其前n项和为S n，且满足：a2•a3=45，a1+a4=14．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令，f（n）=（n∈N*），求f（n）的最大值．
22．（10分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，S n和S n+1满足等式，
（Ⅰ）求S2的值；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列；
（Ⅲ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n；
（Ⅳ）设，求证：．
2015-2016学年吉林省延边二中高二（上）期中数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）1．（4分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由a2＞2a得a＞2或a＜0，
则“a＞2”是“a2＞2a”成立充分不必要条件，
故选：A．
2．（4分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．
【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错
对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C 错
∵ab＞0
∴
故选：D．
3．（4分）设0＜a＜1，m=log a（a2+1），n=log a（a+1），p=log a（2a），则m，n，p的大小关系是（）
A．n＞m＞p B．m＞p＞n C．m＞n＞p D．p＞m＞n
【解答】解：取a=0.5，则a2+1、a+1、2a的大小分别为：1.25，1.5，1，又因为0＜a＜1时，y=log a x为减函数，所以p＞m＞n
故选：D．
4．（4分）已知等差数列{a n}与等比数列{b n}，满足a3=b3，2b3﹣b2b4=0，则{a n}前5项的和S5为（）
A．5 B．20 C．10 D．40
【解答】解：2b3﹣b2b4=2b3﹣b32=0，求得b3=2
∴a3=b3=2
∴S5==a3•5=10
故选：C．
5．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=（）
A．2 B．9 C．10 D．19
【解答】解：由等差数列的性质可得a m
﹣1+a m
+1
=2a m，
又∵a m
﹣1+a m
+1
﹣a m2=0，
∴2a m﹣a m2=0，
解得a m=0或a m=2，
又S2m
﹣1
===（2m﹣1）a m=38，
∴a m=0应舍去，∴a m=2，
∴2（2m﹣1）=38，解得m=10
故选：C．
6．（4分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3，S3n=39，则S4n等于（）
A．80 B．90 C．120 D．130
【解答】解：由已知可得：公比q≠1，q＞0．
∵S n=3，S3n=39，
∴=3，=39，
化为q2n+q n﹣12=0，
解得q n=3．
∴=﹣．
则S4n==﹣=120．
故选：C．
7．（4分）当x，y满足时，则t=x+y的最大值是（）
A．1 B．2 C．3 D．5
【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：
由图得当t=x+y过点B（1，2）时，x+y有最大值3．
故选：C．
8．（4分）在△ABC中，已知a2﹣b2﹣c2=bc，则角B+C等于（）A．B． C． D．或
【解答】解：在△ABC中，由a2﹣b2﹣c2=bc，利用余弦定理可得cosA==﹣，
∴A=，∴B+C=π﹣A=，
故选：A．
9．（4分）若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，则使
前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）
A．4031 B．4033 C．4034 D．4032
【解答】解：∵{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，∴a2016＞0，a2017＜0，公差d＜0．
∴S4032==2016（a2016+a2017）＞0，
S4033==4033a2017＜0．
使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是4032．
故选：D．
10．（4分）已知二次函数f（x）=cx2﹣4x+a+1的值域是[1，+∞），则的最小值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵二次函数f（x）=cx2﹣4x+a+1的值域是[1，+∞），开口向上，∴c＞0且=1，即ac=4；
∴a＞0，
∴+≥2=3，当且仅当=时取等号，
又ac=4，c=6，a=；
∴+的最小值为3．
故选：C．
11．（4分）已知a，b，m，n，x，y都是正实数，且a＜b，又知a，m，b，x 成等差数列，a，n，b，y成等比数列，则有（）
A．m＞n，x＞y B．m＞n，x＜y C．m＜n，x＞y D．m＜n，x＜y
【解答】解：因为a，m，b，x成等差数列，a，n，b，y成等比数列，
m=，，
由基本不等式，
得m≥n
又a＜b，
所以a，b，m，n，x，y互不相等，
所以m＞n
b=由均值不等式得
即b＞
b=
因为m＞n
所以x＜y
综上，得m＞n，x＜y，
故选：B．
12．（4分）两个等差数列{a n}的和{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知=，
则使a n=tb n成立的正整数t的个数是（）
A．3 B．6 C．4 D．5
【解答】解：当=1即n=3时，====1，则a2=b2，此时t=1；
当=2即n=5时，====2，则a3=2b3，此时t=2；
当=3即n=9时，====3，则a5=3b5，此时t=3；
当=4即n=21时，====4，则a11=4b11，此时
t=4；
当≥5时，解得的n不为正整数，即t不为正整数，
所以满足题意的正整数t的个数是4．
故选：C．
二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）
13．（4分）不等式﹣x2+|x|+2＜0的解集是{x|x＜﹣2或x＞2} ．
【解答】解：x≥0时：﹣x2+x+2＜0，解得：x＞2或x＜﹣1（舍）；
x＜0时：﹣x2﹣x+2＜0，解得：x＞1（舍）或x＜﹣2；
故答案为：{x|x＜﹣2或x＞2}．
14．（4分）已知正数组成等差数列{a n}的前20项和为100，那么a7•a14的最大值为25．
【解答】解：∵正数组成等差数列{a n}的前20项和为100，
∴
∴a7+a14=10
∴=25
故答案为：25
15．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=6+a7，则S9的值是54．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=6+a7，
∴2（a1+5d）=6+a1+6d，
∴a1+4d=a5=6，
∴S9==9a5=9×6=54．
故答案为：54．
16．（4分）若a＞1，设函数f（x）=a x+x﹣4的零点为m，g（x）=log a x+x﹣4的
零点为n，则+的最小值为1．
【解答】解：由题意，构建函数F（x）=a x，G（x）=log a x，h（x）=4﹣x，
则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n．
注意到F（x）=a x，G（x）=log a x，关于直线y=x对称，可以知道A，B关于y=x 对称，
由于y=x与y=4﹣x交点的横坐标为2，∴m+n=4．
则+=（+）（m+n）=（2++）≥（2+2）=1，
当且仅当m=n=2时，等号成立，故+的最小值为1，
故答案为：1．
三、解答题（包括6个题，17、18题各8分，19、20、21，22题10分，共56分，请写必要的解答过程）
17．（8分）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或
，
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，
∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
18．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分a，b，c，已知a=，b=，1+2cos（B+C）=0．
（Ⅰ）求角A，B；
（Ⅱ）求BC边上的高．
【解答】（本题（13分），其中（1）问（8分），（2）问5分）．
解：（Ⅰ）由已知：1+cos（π﹣A）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∴1﹣2cosA=0，∴cosA=，A是三角形内角，所以A=，
又∵∴sinB=，
∵a＞b，∴A＞B，
∴B=．
（Ⅱ）设BC上的高为h，由（Ⅰ）可知C=75°，
∴h=bsin75°=sin（45°+30°）=
19．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．
【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，
即sinAsinB﹣sinAcosB=0，
∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，
又B为三角形的内角，
则B=；
（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，
∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，
则≤b＜1．
20．（10分）已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=（a n+2）2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．
【解答】解：（1）∵S n=（a n+2）2，∴当n=1时，，化为=0，解得a1=2．
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n+2）2﹣，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n
）=0，
﹣1
=4．
∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n
﹣1
∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，
∴a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．
（2）b n=a n﹣30==2n﹣31．
由b n≤0，解得，因此前15项的和最小．
又数列{b n}是等差数列，
∴数列{b n}的前15项和T15==﹣225．
∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．
21．（10分）已知等差数列{a n}中，公差d＞0，其前n项和为S n，且满足：a2•a3=45，a1+a4=14．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令，f（n）=（n∈N*），求f（n）的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵数列a n}是等差数列，
∴a2•a3=45，a1+a4=a2+a3=14．
∴．
∵公差d＞0，
∴，解得d=4，a1=1．
∴a n=1+4（n﹣1）=4n﹣3．
（Ⅱ）∵，
∴=2n，
∴f（n）
==
．
当且仅当，即n=5时，f（n）取得最大值．
22．（10分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，S n和S n+1满足等式，
（Ⅰ）求S2的值；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列；
（Ⅲ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n；
（Ⅳ）设，求证：．
【解答】解：（I）∵，
当n=1时，S2=2S1+2=2a1+2=8
故S2=8
证明：（II）∵
∴=+1，即﹣=1
又由=a1=3，
故是以3为首项，以1为公差的等差数列
（III）由（II）可知，=n+2
∴
∴当n=1时，a1=3
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1
经检验，当n=1时也成立
∴a n=2n+1（n∈N*）
∴
解得：．
（Ⅳ）∵
∴
=
．。