2019-2020学年辽宁省沈阳市第一七O中学高二上学期阶段性测试数学(理)试卷

2019-2020学年辽宁省沈阳市第一七O 中学高二上学期阶段性测试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1、曲线y=22
12-x 在点（1，-23）处切线的倾斜角为（ ） A ．1 B ．4π C ．45π D ．－4
π 2、设i 是虚数单位，若复数17()4a a R i
-∈-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4
3、用反证法证明命题：“已知a b 、是自然数，若3a b +≥，则a b 、中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（ ）
A ．a b 、至少有二个不小于2
B ．a b 、中至少有一个不小于2
C ．a b 、都小于2
D ．a b 、中至少有一个小于2
4、已知⎰=+20216)3(dx k x ，则k=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
53x 的系数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．10 D. 5
6、某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名同学报名参加,每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少
有一人报名，则不同报名方法有（ ）
A ．12种
B ．24种
C ．36种
D ．72种
7、设随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若P （ξ＜2a ﹣3）=P （ξ＞a+2），则a 的值为（ ）
A ．
B ．
C ． 5
D ． 3
8、为了调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视.在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（ ）
A ．平均数
B ．方差
C ．回归分析
D ．独立性检验
9、定义在()0,+∞上的可导函数()f x 满足()'f x ()x f x ⋅<，且()20f =，则()0f x x
>的解集为（ ）
A ．()0,2
B ．()()0,22,+∞
C ．()2,+∞
D ．()()0,33,+∞
10、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y t x 531541（t 为参数）被曲线)4cos(2πθρ+=
所截的弦长是（ ） A.
107 B. 514 C. 57 D. 7
5 11、若X 是离散型随机变量，1221(),()33P X x P X x ====且12x x <，又已知42(),()39
E X D X ==，则12x x +的值为（ ） A ．3 B ．53 C ．73 D ．113
12、某农科所要在一字排开的1,2,3,4,5,6六块试验田中，种植六种不同型号的农作物，根据要求，农作物甲不能种植在第一及第六块试验田中，且农作物乙与甲不能相邻，则不同的种植方法有（ ）
A ．216种
B ．288种
C ．312种
D ． 192种
二、填空题（每题5分，共20分）
13.已知99
22109)32(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则=+⋅⋅⋅++921a a a ___.
14、已知不等式4
716191411,3591411,23411<+++<++<+，
照此规律总结出第n 个不等式为______________；
15、直线c o s s i n x t y t θθ=⎧⎨=⎩（t 是参数）与圆42c o s 2s i n
x y αα=+⎧⎨=⎩（α是参数）相切，则θ= .
16、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12A A ，和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是___________（写出所有正确结论的编号）．
①P （B ）＝25； ②P （B|A 1）＝511
；③事件B 与事件A 1相互独立； ④123A A A ，，是两两互斥的事件；
⑤P （B ）的值不能确定，因为它与123A A A ，， 究竟哪一个发生有关
三.解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）
17、已知在直角坐标系xoy 中，直线l 过点P （1，﹣5），且倾斜角为，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C 的圆心的极坐标为． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l 和圆C 的位置关系．
18、某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱.
（1
（2爱运动有关？
（3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为ξ，求ξ的分布列和期望.
参考公式：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++ 19、已知函数)()(23R a x ax x f ∈+=在3
4-
=x 处取得极值． （1）确定a 的值； （2）若x e x f x g )()(=，讨论g （x ）的单调性．
20、在极坐标系中，已知某曲线C 的极坐标方程为，直线的极坐
标方程为．
（Ⅰ）求该曲线C 的直角坐标系方程及离心率；
（Ⅱ）已知点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线的距离的最大值．
21、现有3个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．约定：每个人将质地均匀的硬币抛掷2次决定自己去参加哪个游戏．2次抛出的硬币朝上的面均为正面的人去参加甲游戏，2次抛出的硬币朝上的面为其它情形的去参加乙游戏．
（1）求这3个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用,X Y 分别表示这3个人中去参加甲、乙游戏的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
22、已知函数R a x ax x x f ∈-+=,ln )(2；（1）若函数)(x f 在]2,1[上是减函数，求实数
a 的取值范围；
（2）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当],0(e x ∈（e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由
高二理科数学
一、单项选择
BDCDD CADAC AB
二、填空题
13、921-- 14、22211121123n n n -+
+++<． 15、6
π或56π 16、②④ 三、解答题 17、试题解析：解：（Ⅰ）∵直线l 过点P （1，﹣5），且倾斜角为，
∴直线l 的参数方程为（t 为参数）
∵半径为4的圆C 的圆心的极坐标为，
∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x
2+（y ﹣4）2=16
∴圆的极坐标方程为ρ=8sin θ；
（Ⅱ）直线l 的普通方程为，
∴圆心到直线的距离为
∴直线l 和圆C 相离．
18、
（22
2
30(10866) 1.1575 2.706(106)(68)(106)(68)K ⨯⨯-⨯=≈<++++ 因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6分
（3）喜爱运动的人数为ξ的取值分别为：0，1，2，其概率分别为：
2821428(0)91C P C ξ=== 11
6821448(1)91C C P C ξ== 2621415(2)91
C P C ξ=== 喜爱运动的人数为ξ的分布列为：
所以喜爱运动的人数ξ的值为：012.91919191
E ξ=⨯+⨯+⨯=
19、试题分析：（1）第一步，先求函数的导数，x ax y 232+='，34-
=x 是函数的极值点，所以034=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-'f ，求a ，并回代验证34-=x 两侧导数异号； （2）先求函数()x e x x x g ⎪⎭⎫
⎝⎛+=2321，再求函数的导数并化简为x e x x x x g )4)(1(2
1)(++=
'，并求函数的极值点，和极值点两侧的正负，得到函数的单调区间． 试题解析：解：（1）x ax x f 23)(2+='，
因为f （x ）在34-
=x 处取得极值，所以0)3
4(=-'f ， 即038316)34(29163=-=-⨯+⨯a a ，得21=a ． 经验证成立．
（2）由（1）得x e x x x g )21()(23+=， 故x x x x e x x x e x x x e x x e x x x g )4)(1(2
1)22521()21()223()(23232++=++
=+++='， 当0)(='x g 时，x=0，x=-1，或x=-4，
当0)(>'x g 时，即-4<x<-1，或x>0，g （x ）为增函数；
当0)(<'x g 时，即x<-4，或-1<x<0，g （x ）为减函数．
综上可知g （x ）在区间（-4，-1）和),0(+∞上为增函数；在区间)4,(--∞和（-1，0）上为减函数．
20、试题解析：解：（Ⅰ）∵曲线C 的极坐标方程为
∴
∴，即曲线C
∴离心率
（Ⅱ）∵曲线C 的直角坐标系方程为：
∴曲线C 的参数方程为：
又点P 为曲线C 上的动点
∴可设点P 的坐标为
又直线的极坐标方程为
∴直线的直角坐标方程为：
∴点P 到直线的距离：
∴当时，
∴点P 到直线的距离的最大值是
21、【答案】解:将质地均匀的两枚硬币抛掷两次朝上的面有等可能的四种结果:（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）
所以3个人中,每个人去参加甲游戏的概率为14,去参加乙游戏的概率为34
． 设“这3个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3)i A i =,则3313()44i
i i i P A C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭． （1）这3个人中恰有2人去参加甲游戏的概率232223139()4464
P A C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)设“这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ,则23B A A =,
由于3A 与2A 互斥,故3
332319195()()()464646432P B P A P A C ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭
． 所以, 这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为532
． （3）由（1）（2）可知ξ的所有可能取值为1,3,由于1A 与2A ,0A 与3A 互斥,故
22
12123313132799(1)()()4444646416P P A P A C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 33
030333312717(3)()()44646416P P A P A C C ξ⎛⎫⎛⎫==++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 所以, ξ的分布列为
所以随机变量ξ的数学期望97151316168
E ξ=⨯+⨯=． 22、试题解析：01212)(2≤-+=-+='x
ax x x a x x f 在]2,1[上恒成立 令]2,1[,12)(2∈-+=x ax x x h ∴0)(≤x h 在]2,1[上恒成立
∴⎩⎨⎧≤+=≤+=027)2(01)1(a h a h 得⎪⎩
⎪⎨⎧-≤-≤271a a ∴27-≤a （2）假设存在实数a ，使],0(,)()(2e x x x f x g ∈-=有最小值3
],0(,ln )(e x x ax x g ∈-=x
ax x a x g 11)(-=-=' ①当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ∴e a 4=
舍去 ②当e a
<<10即e a 1>时，)(x g 在]1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增 ∴3ln 1)1()(min =+==a a
g x g ∴2e a =满足条件 ③当e a ≥1即e
a 10≤<时，)(x g 在],0(e 上单调递减 31)()(min =-==ae e g x g ∴e
e a 14>=舍去.综上所述，存在2e a =使得当],0(e x ∈时，)(x g 有最小值3。