高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.1 数乘向量课件 北师大版必修4

A．10 B．－10
C．2
D．－2
解析：(1)由 a，b 共线知 a＝mb，m∈R， 于是 2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)， 即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2. 由于 e1，e2 不共线，
所以26－m＋mλ3＝＝00，
所以 λ＝－4. (2)因为 A，B，D 三点共线，所以A→B＝λB→D＝λ(C→D－C→B)，所以 a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以 λ＝1，k＝2.
解析：由 a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝35， 即 λ＝±35.
答案：±35
所以 λ＝－57. 答案：B
5．已知 a，b 是两个非零向量，下列说法正确的是_(_1_)(_2_)_(_3_) ． (1)2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2 倍； (2)－2a 的方向与 6a 的方向相反，且 6a 的模是－2a 的模的 3 倍； (3)－2a 与 2a 是一对相反向量； (4)若 a，b 不共线，则 λa(λ＝0)与 b 不共线．
所以M→N＝12(－A→D－B→C)＝－12e2－12e1.
|素养提升|
1．对向量的数乘的三点说明 (1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘，其结果是一个向 量，方向与 λ 的正负有关． (2)当 λ＝0 时，λa＝0. (3)向量的数乘运算要遵循向量数乘的运算律．
2．证明三点共线的等价命题
向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通 常转化为向量共线问题．
(2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边 形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求 向量的方程．
跟踪训练 3 在本例中，若条件改为B→C＝e1，A→D＝e2，试用 e1， e2 表示向量M→N.
解析：因为M→N＝M→D＋D→A＋A→N， M→N＝M→C＋C→B＋B→N， 所以 2M→N＝(M→D＋M→C)＋D→A＋C→B＋(A→N＋B→N)． 又因为 M，N 分别是 DC，AB 的中点， 所以M→D＋M→C＝0，A→N＋B→N＝0. 所以 2M→N＝D→A＋C→B，
2．在四边形 ABCD 中，若A→B＝－12C→D，则此四边形是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
解析：因为A→B＝－12C→D，所以 AB∥CD， 且 AB＝12CD，所以四边形 ABCD 为梯形． 答案：C
3．化简：13122a＋8b－4a－2b＝(
)
A．2a－b B型一 向量的线性运算 [例 1] (1)计算： ①4(a＋b)－3(a－b)－8a； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； ③234a－3b＋13b－146a－7b. (2)设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．
【解析】 (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. ③原式＝234a－3b＋31b－32a＋74b＝2352a－1112b＝53a－1118b. (2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a ＝13－1－1a＋－1＋32＋2b ＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j) ＝－5＋130i＋－130－53j ＝－53i－5j.
方法归纳
向量线性运算的基本方法 (1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算 中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向 量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向 量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用 代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用 运算律，简化运算．
如图 A、B、C 三点共线，则A→B＝λA→C，任取直线 AC 外一点 P， 则P→B－P→A＝λ(P→C－P→A)，所以P→B＝λP→C＋(1－λ)P→A，
由此可推出三点共线的等价命题： A、B、C 三点共线等价于P→B＝λP→C＋μP→A(λ、μ∈R 且 λ＋μ＝1)．
3．向量平行与直线平行的区别 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理 及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行) 的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问 题．
2.3.1 数乘向量
【课标要求】 1.掌握数乘向量的定义，运算律及几何意义. 2.掌握向量共线的判定定理和性质定理. 3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
自主学习 基础认识
1．数乘向量的概念与运算律 (1)数乘向量： ①定义：λa 是一个向量； ②长度：|λ||a|； ③方向：
(2)数乘向量的运算律： ①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)； ③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
跟踪训练 1 (1)下列各式计算正确的个数是( C ) ①(－7)·6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)
＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)若 2x－13a－12(b＋c－3x)＋b＝0，其中 a，b，c 为已知向量， 求未知向量 x.
解析：(1)根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因 为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．
由于 e1 与 e2 不共线，只能有kλk－－λ＝1＝00，
∴k＝±1.
方法归纳
向量共线定理的应用 (1)若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条 直线平行． (2)若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条 直线重合．例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共 点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
(2)因为 2x－23a－12b－12c＋32x＋b＝0， 所以72x－23a＋12b－12c＝0， 所以72x＝23a－12b＋12c， 所以 x＝241a－17b＋17c.
类型二 向量共线定理及应用 [例 2] 已知非零向量 e1，e2 不共线． (1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证：A、 B、D 三点共线； (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值．
答案：D
2．若点 O 为平行四边形 ABCD 的中心，A→B＝2e1，B→C＝3e2，
则32e2－e1＝(
)
A.B→O
B.A→O
C.C→O
D.D→O
解析：B→D＝A→D－A→B＝B→C－A→B＝3e2－2e1，
B→O＝12B→D＝32e2－e1.
答案：A
3．已知向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝5，且 a＝λb，则实数 λ 的 值是________．
2．向量共线的判定定理与性质定理 (1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b ＝λa，则向量 b 与非零向量 a 共线． (2)性质定理：若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数 λ， 使得 b＝λa.
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 λ 与向量 a 的积还是向量．( √ ) (2)实数 λ 与向量 a 的和 λ＋a 与差 λ－a 都是向量．( × ) (3)对于非零向量 a，向量－6a 与向量 2a 方向相反．( √ ) (4)向量－8a 的模是向量 4a 的模的 2 倍．( √ ) (5)若 b＝λa(a≠0)，则 a 与 b 方向相同或相反．( × ) (6)若 a∥b，则存在 λ∈R，使得 b＝λa.( × )
类型三 用已知向量表示其他向量 [例 3] 如图，ABCD 是一个梯形，A→B∥C→D且|A→B|＝2|C→D|，M， N 分别是 DC，AB 的中点，已知A→B＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示 下列向量． (1)A→C＝_e_2_＋__12_e_1_； (2)M→N＝__14_e_1－___e2_.
【解析】 因为A→B∥C→D，|A→B|＝2|C→D|， 所以 A→B＝2D→C，D→C＝12A→B. (1)A→C＝A→D＋D→C＝e2＋12e1. (2)M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－14e1－e2＋12e1 ＝14e1－e2.
方法归纳 (1)直接法
用已知向量表示其他向量的两种方法
跟踪训练 2 (1)已知 e1，e2 是平面内不共线的两个向量，a＝
2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若 a，b 共线，则 λ 等于( B ) A．－9 B．－4
C．4
D．9
(2)设 a，b 为不共线的两个非零向量，已知向量A→B＝a－kb，C→B
＝2a＋b，C→D＝3a－b，若 A，B，D 三点共线，则实数 k 的值等于( C )
D．a－b
解析：原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)]＝13(－3a＋6b)＝2b－a，选
B. 答案：B
4．若|a|＝5，b 与 a 的方向相反，且|b|＝7，则 a＝( )
A.57b
B．－57b
C.75b
D．－75b
解析：b 与 a 反向，故 a＝λb(λ<0)，|a|＝－λ|b|，则 5＝－λ×7，
解析：(1)对，∵2>0，∴2a 与 a 方向相同，且|2a|＝2|a|. (2)对，∵6>0，∴6a 与 a 方向相同， 且|6a|＝6|a|. ∵－2<0，∴－2a 与 a 方向相反， 且|－2a|＝2|a|. ∴6a 的模是－2a 的模的 3 倍． (3)对． (4)错，∵0a＝0，0 与任一向量共线，∴λa(λ＝0)与 b 是共线的．
|巩固提升|
1．如图，已知A→B＝a，A→C＝b，B→D＝3D→C，用 a，b 表示A→D，
则A→D＝( )
A．a＋34b
B.34a＋14b
C.14a＋14b
D.14a＋34b
解析：A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋34B→C＝A→B＋34(A→C－A→B)＝14A→B＋34A→C ＝14a＋34b.
【解析】 (1)证明：∵A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2 ＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B.
∴A→B，B→D共线，且有公共点 B， ∴A、B、D 三点共线． (2)解：∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在实数 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，