初中数学中考综合题复习：二次函数中相似与角度问题(含答案)

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日期学科
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课型
数学
授课教师
核心内容二次函数中相似与角度问题
1.使学生熟练掌握相似三角形及角度的存在性问题。

2.理解和灵活运用三垂直模型。

教学目标
重、难点灵活运用各类模型解决相似三角形及角度的存在性问题
了解学生的学习情况
[单选题] 如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
[单选题] 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△AB C与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）
A. =
B. =
C. =
D. =
(1)分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形间的对应关系及不变特征考虑分类．
一般地，确定或特征明显的三角形被称作目标三角形．
(2)画图求解：
①目标三角形确定时，根据对应关系分类，借助比例列方程；
②目标三角形不确定时，先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．
(3)结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．
如图，抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B，C，D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）直角三角形的证明方法有_______________、_______________。

（2）遇到双垂直模型，要思考______________。

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（－4，），且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；
（2）在y轴上确定一点M，使MA＋MC的值最小，求出点M的坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N，A，B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
2
如图，已知抛物线y=-x -3x+m经过点C（-2，6），与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D．（1）求点A的坐标；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：△AEC是等腰直角三角形；
（3）连接AD交BC于点F，试问当-4＜x＜1时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABF相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C[
（1）求抛物线的函数解析式。

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E构成的四边形是以AO为边的平行四边形，求点D的坐标。

（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与
△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以AB 所在直线为x 轴，过点C 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，此时，A 点坐标为 (-1，0)，B 点坐标为(4，0)．
（1）试求点C 的坐标．
（2）若抛物线 （3）点D(1，m)在（2）中的抛物线上，过点A 的直线
使以P ，B ，D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
过△AB C 的三个顶点，求抛物线的解析式．
交该抛物线于点E ，那么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P ，
角度存在性的处理思路
1．和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，通过三角函数将角的特征转化为边的比例特征来列方程求解．一般过定点构造直角三角形．
2．当两个角相等时，常转化为两个直角三角形相似的问题来处理，或者利用四点共圆来解决问题。

如图，抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）已知点经过、两点，与轴交于另一点．
在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；
，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且
（1）遇到45°角要想__________，通常过_______构造________________;
（2）遇到斜直角可以构造_______________。

如图，抛物线
的开口向下，与x 轴交于点A(-3，0)和点B(1，0)，与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）．
（2）若△ACD 的面积为3．
①求抛物线的解析式； ②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P ，且∠PAB=∠D AC ，求平移后抛物线的解析式．
如图，在平面直角坐标系
，直线
恰好经过 （1）求出抛物线 （2）点 在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D 且
中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于 两点，点 的坐标为 两点． 的解析式，并写出抛物线的对称轴和点 的坐标；
，求点 的坐标.
已知抛物线与x轴的正半轴交于A、B，与y轴交于点C，且2OA=OB
（1）求抛物线的函数关系式。

（2）若点D与点C是关于抛物线对称轴的对称点，点P在抛物线上，且∠PDB=45，求点P的坐标。

（3）在（2）的条件下，若直线PD与X轴交于点E，与y轴交于点F,点M、N分别在线段EP和射线AE上运动，设EM= ，AN= 且（m>0且n>0），问MN与直线PD是否存在确定的位置关系？试证明。

如图，抛物线与直线交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．
如图，抛物线的顶点为，交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为．（1）求抛物线的解析式；
，交线段于点（3）如图2，在抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作
，连接，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点(0,4)和(8,0), (t,0)是轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过点B作轴的垂线、过点A作轴的垂线，两直线相交于点D．
(1) 求此抛物线的对称轴；
(2) 当为何值时，点D落在抛物线上？
(3) 是否存在，使得以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由.
1.C
解：设AP=x ，则有PB=AB ﹣AP=7﹣x ，
当△PDA∽△CPB 时， = ，即 = ，
，
解得：x=1或x=6，
当△PDA∽△PCB 时， = ，即 = 解得：x= ，
则这样的点P 共有3个，
故选C ．
2.C
解：∵∠BAC=∠D ， ，
∴△ABC∽△ADE ．
故选C ．
2 1.（1）抛物线的解析式为y ＝x －2x －3顶点D 的坐标为（1，－4）；（
2）△BCD 为直角三角形 （3）P (0， )，P （9，0），P （0，0）．
1 2 3 2 解：（1）设该抛物线的解析式为y ＝ax ＋bx ＋c ，
由抛物线与y 轴交于点C （0，－3），可知c ＝－3，
2 即抛物线的解析式为y ＝ax ＋bx －3，
把A （－1，0）、B （3，0）代入，得
，解得a ＝1，b ＝－2．
2 ∴抛物线的解析式为y ＝x －2x －3，
∴顶点D 的坐标为（1，－4）．
（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E ，F ．
2 在Rt△BOC 中，OB ＝3，OC ＝3，∴BC ＝18，
2 在Rt△CDF 中，DF ＝1，CF ＝OF －OC ＝4－3＝1，∴CD ＝2，
2 在Rt△BDE 中，DE ＝4，BE ＝OB －OE ＝3－1＝2，∴BD ＝20，
2 2 2 ∴BC ＋CD ＝BD ，故△BCD 为直角三角形．
（3）连接AC ，则容易得出△COA∽△CAP ，又△PCA∽△BCD ，
可知Rt△COA∽Rt△BCD ，得符合条件的点为O （0，0）．
过A 作AP ⊥AC 交y 轴正半轴于P ，可知Rt△CAP ∽Rt△COA∽Rt△BCD ，
1 1 1 求得符合条件的点为P (0， )． 1
过C作CP ⊥AC交x轴正半轴于P ，可知Rt△P CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
2 2 2
求得符合条件的点为P （9，0）．
2
∴符合条件的点有三个： P (0， )，P （9，0），P （0，0）．
1 2 3
2.
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为C（－4，），
∴抛物线的对称轴为直线x＝－4．
∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，
∴A（－1，0 ），B（－7，0 ），
2
设抛物线解析式为y＝a（x＋4）＋，
，
代入点A坐标可得：0＝a（－1＋4）2＋，解得：a＝
故二次函数的解析式为：
（2）作点A关于y轴的对称点A’，可得A’（1，0），
连接A’C交y轴于一点即点M，此时MC＋MA的值最小，
设直线CA’的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
代入点A’、点C的坐标可得：，解得：
则直线CA’的解析式为：，故点M的坐标为（0，）
（3）由（1）可知，C（－4，），设对称轴交x轴于点D，则AD＝3．
在Rt△ADC中，∵tan∠CAD＝∴∠CAD＝30°，
∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB＝30°，∴∠ACB＝120°，
①如果AB＝AN ＝6，过N1作EN ⊥x轴于E，
1 1
由△ABC∽△BAN得∠BAN＝120°，则∠EA N ＝60°．∴N E＝3 ，
1 1 1 1
AE＝3．
∵A（－1，0 ），∴OE＝2，∵点N在x轴下方，∴点N （2，－3 ），
1
②如果AB＝BN ，由对称性可知N （－10，−3 ），
2 2
③如果N A＝N B，那么点N必在线段AB的中垂线即抛物线的对称轴上，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点N．
3 3
经检验，点N （2，−3 ）与N （－10，－3 ）都在抛物线上．
1 2
综上所述，存在这样的点N，使△NAB∽△ABC，点N的坐标为（2，－3 ）或（－10，－3 ）．
3.
1.
2.
解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OC⊥AB，
2
由射影定理，得：OC =OA•OB=4，即OC=2，
∴C（0，2）；
（2）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）（a≠0），则有：2=a（0+1）（0﹣4），a=﹣，
2
∴y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x + x+2；
（3）存在符合条件的P点，且P（，0）或（﹣，0）．根据抛物线的解析式易知：D（1，3），
联立直线AE和抛物线的解析式有：
，
解得，，
∴E（6，﹣7），
∴tan∠DBO==1，即∠DBO=45°，tan∠EAB==1，即∠EAB=45°，∴∠DBA=∠EAB，
若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况：
①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．
易知BD=3 ，EA=7 ，AB=5，
由①得：由②得：，即
，即
，即PB= ，OP=OB﹣PB= ，
，即P′B=，OP′=OB﹣BP′=﹣，
∴P（，0）或（﹣，0）．1.
2.
3.
1.
2.
1.
1.。