现代作业2
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T T T T T
（A）α1，α2，α3（B）α1，α2，α4（C）α1，α2，α5（D）α1，α2，α4，α5 。 （4）设 A 为 m×n 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分必要条件是： （ （A）A 的列向量线性无关； （B）A 的列向量线性相关； （C）A 的行向量线性无关； （D）A 的行向量线性相关。 （5） 设 n 元齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 的秩为 r， 则 AX=0 有非零解的充分必要条件是： （ (A）rn （B）r≥n （C）r<n （D）r>n ） ）
《第二章
一、单项选择题
线性方程组
n 维向量》 作业
（1）设 n 阶方阵 A 的秩 r<n，则在 A 的 n 个行向量中（
）
（A）必有 r 个行向量线性无关； （B）任意 r 个行向量均可构成极大无关组； （C）任意 r 个行向量均线性无关； （D）任一个行向量均可由其他 r 个行向量线性表示 （2）若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则（ ）
A. 若（1）相关，则（2）必定相关. C. 若（2）无关，则（1）必定无关.
（13） 向量组 1 , 2 , , s 线性无关的充分必要条件是 A. 1 , 2 , , s 都不是零向量.
.
B. 向量组中至少有一个向量不能由其他向量线性表示
C. 向量组中任何一个向量都不能由其他向量线性表示 D.任意两个向量的对应分量不成比例. E.向量的个数小于或等于向量的维数.
一、单项选择题 （2）C （8）D
（14）B
二、计算题 1. 当 a 2 或 a 3 线性相关. 2. 当 a 52 ，矩阵 A 的秩为 3，当 a 52 ，矩阵 A 的秩为 4. 3. （1）当 3 ， 不能由 1 , 2 , 3 线性表示； （2）当 0 且 3 ， 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法唯一； （3）当 0 ， 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法不唯一.
T T T T
（A）(1，2，3，4) +c(1，1，1，1)
Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（B）(1，2，3，4) +c(0，1，2，3)
T
T
T
（C）(1，2，3，4) +c(2，3，4，5) （D） （1，2，3，4) +c(3，4，5，6)
T
T
（11）对于方程个数与未知量个数相同的非齐次线性方程组，下列结论正确的是 A. 当方程组有解时，系数行列式 D 一定不等于 0. C. 当系数行列式 D=0， 方程组一定有解.
（C）m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解； （D）r<n 时，方程组 AX=b 有无穷多解。 （8）设向量组（Ⅰ） ：α1，α2，…，αr 可由向量组（Ⅱ） ：β1，β2，…，βS 线性表示，则（ （A）当 r<S 时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （B）当 r>S 时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （C）当 r<S 时，向量组（Ⅰ）必线性相关； （D）当 r>S 时，向量组（Ⅰ）必线性相关； （9）设α1，α2，…，αS 均为 n 维向量，下列结论不正确的是： （ ） ） 。
2
D.若从矩阵 A 中划去一列，得到矩阵 B，则 r ( A) r ( B ) . 二、计算题 1.设向量组 1 ( a , 2 , 1), 2 (2 , a , 0 ), 3 (1, 1, 1) ，试确定 a 为何值时，向量组线性相关.
1 3 a 2 1 1 2.求矩阵 A= 3 2 1 1 3 2
2 3 的秩. 1 1
1 1 1 0 3.设 1 1 , 2 1 , 3 1 , ，问当 为何值时 1 1 1 2
（A）α必可由β，γ，δ线性表示； （B）β必不可由α，γ，δ线性表示； （C）δ必可由α，β，γ线性表示； （D）δ必不可由α，β，γ线性表示； （3）设有向量组α1=（1，-1，2，4） ,α2=（0，3，1，2） ,α3=（3，0，7，14） , α4=（1，-2，2，0） ,α5=（2，1，5，10） 则该向量组的极大线性无关组是（ ）
（6）设 A 是 m×n 矩阵，AX=0 是非齐次线性方程组 AX=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的 是： （ ）
（A）若 AX=0 仅有零解，则 AX=b 有唯一解； （B）若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无穷多解； （C）若 AX=b 有无穷多个解，则 AX=0 仅有零解； （D）若 AX=b 有无穷多个解，则 AX=0 有非零解。 （7）非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（ （A）r=m 时，方程组 AX=b 有解； （B）r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解； ）
.
B. 当系数行列式 D=0， 方程组一定无解. D. 当系数行列式 D=0 时， 方程组不可能有唯一解.
（12）设向量组 ( 2 ) { i1 , i2 , , ik } 是向量组 (1) { 1 , 2 , , s } 的一个部分组， k s ，下列结 论正确的是 . B. 若（2）无关，且其余向量也无关，则（1）必定无关. D. 若（1） 、 （2）的秩相等，则 (1) (2 ) .
求出有无穷多解时的全部解（或通解）.
三、证明题 试证向量组 1 2 2 3 , 2 1 3 3 , 3 21 3 2 线性相关.
3
《第二章
（1）A （7）A
线性方程组
（3）B （9）B
n 维向量》 作业参考答案
（4）A （5）C （6）D （10）C （11）D （12）D （13）C
1 1 1 1 2 2 4. 通解为 c1 c2 ， 0 1 0 0 0 1
三、证明题提示
c1 ,c2 为任意常数.
可以就 1 , 2 , 3 相关与不相关两种情况讨论.
（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k2，…，kS,都有 k1α1+k2α2+…kSαS≠0，则α1，α2，…，α
1
S
线性无关；
（B）α1，α2，…，αS 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1，k2，…，kS,有 k1α1+k2α2+…kSαS=0； （C）α1，α2，…，αS 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 S； （D）α1，α2，…，αS 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。 （10）α1，α2，α3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r（A）=3，α1=（1，2，3，4) ，α2+α3=（0，1，2，3) ，c 表示任意常数，则线性方程组 AX=b 的通解 X=（ ）
4
（1） 不能由 1 , 2 , 3 线性表示？（2） 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法唯一？ （3） 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法不唯一？
x3 x 4 0 x1 x2 x2 2 x3 2 x4 1 4.当 a,b 为何值时，线性方程组 无解；有唯一解；有无穷多解？并 x 2 ( a 3 ) x3 2 x 4 b x3 ax4 1 3 x1 2 x2
（14）下列命题正确的是
.
A.若向量 1 , 2 , , s 线性相关， 1 , 2 , , s 线性相关， 则 1 1 , 2 2 , , s s 也线性相关. B. 矩阵 Am n 的 m 个行向量线性相关，它的 n 个列向量不一定线性相关. C.若 1 , 2 , , n 线性相关， 1 , 2 , , r 线性无关，则 r 1 , r 2 ,, n 必线性相关.
（A）α1，α2，α3（B）α1，α2，α4（C）α1，α2，α5（D）α1，α2，α4，α5 。 （4）设 A 为 m×n 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分必要条件是： （ （A）A 的列向量线性无关； （B）A 的列向量线性相关； （C）A 的行向量线性无关； （D）A 的行向量线性相关。 （5） 设 n 元齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 的秩为 r， 则 AX=0 有非零解的充分必要条件是： （ (A）rn （B）r≥n （C）r<n （D）r>n ） ）
《第二章
一、单项选择题
线性方程组
n 维向量》 作业
（1）设 n 阶方阵 A 的秩 r<n，则在 A 的 n 个行向量中（
）
（A）必有 r 个行向量线性无关； （B）任意 r 个行向量均可构成极大无关组； （C）任意 r 个行向量均线性无关； （D）任一个行向量均可由其他 r 个行向量线性表示 （2）若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则（ ）
A. 若（1）相关，则（2）必定相关. C. 若（2）无关，则（1）必定无关.
（13） 向量组 1 , 2 , , s 线性无关的充分必要条件是 A. 1 , 2 , , s 都不是零向量.
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B. 向量组中至少有一个向量不能由其他向量线性表示
C. 向量组中任何一个向量都不能由其他向量线性表示 D.任意两个向量的对应分量不成比例. E.向量的个数小于或等于向量的维数.
一、单项选择题 （2）C （8）D
（14）B
二、计算题 1. 当 a 2 或 a 3 线性相关. 2. 当 a 52 ，矩阵 A 的秩为 3，当 a 52 ，矩阵 A 的秩为 4. 3. （1）当 3 ， 不能由 1 , 2 , 3 线性表示； （2）当 0 且 3 ， 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法唯一； （3）当 0 ， 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法不唯一.
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（A）(1，2，3，4) +c(1，1，1，1)
Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（B）(1，2，3，4) +c(0，1，2，3)
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（C）(1，2，3，4) +c(2，3，4，5) （D） （1，2，3，4) +c(3，4，5，6)
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（11）对于方程个数与未知量个数相同的非齐次线性方程组，下列结论正确的是 A. 当方程组有解时，系数行列式 D 一定不等于 0. C. 当系数行列式 D=0， 方程组一定有解.
（C）m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解； （D）r<n 时，方程组 AX=b 有无穷多解。 （8）设向量组（Ⅰ） ：α1，α2，…，αr 可由向量组（Ⅱ） ：β1，β2，…，βS 线性表示，则（ （A）当 r<S 时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （B）当 r>S 时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （C）当 r<S 时，向量组（Ⅰ）必线性相关； （D）当 r>S 时，向量组（Ⅰ）必线性相关； （9）设α1，α2，…，αS 均为 n 维向量，下列结论不正确的是： （ ） ） 。
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D.若从矩阵 A 中划去一列，得到矩阵 B，则 r ( A) r ( B ) . 二、计算题 1.设向量组 1 ( a , 2 , 1), 2 (2 , a , 0 ), 3 (1, 1, 1) ，试确定 a 为何值时，向量组线性相关.
1 3 a 2 1 1 2.求矩阵 A= 3 2 1 1 3 2
2 3 的秩. 1 1
1 1 1 0 3.设 1 1 , 2 1 , 3 1 , ，问当 为何值时 1 1 1 2
（A）α必可由β，γ，δ线性表示； （B）β必不可由α，γ，δ线性表示； （C）δ必可由α，β，γ线性表示； （D）δ必不可由α，β，γ线性表示； （3）设有向量组α1=（1，-1，2，4） ,α2=（0，3，1，2） ,α3=（3，0，7，14） , α4=（1，-2，2，0） ,α5=（2，1，5，10） 则该向量组的极大线性无关组是（ ）
（6）设 A 是 m×n 矩阵，AX=0 是非齐次线性方程组 AX=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的 是： （ ）
（A）若 AX=0 仅有零解，则 AX=b 有唯一解； （B）若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无穷多解； （C）若 AX=b 有无穷多个解，则 AX=0 仅有零解； （D）若 AX=b 有无穷多个解，则 AX=0 有非零解。 （7）非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（ （A）r=m 时，方程组 AX=b 有解； （B）r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解； ）
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B. 当系数行列式 D=0， 方程组一定无解. D. 当系数行列式 D=0 时， 方程组不可能有唯一解.
（12）设向量组 ( 2 ) { i1 , i2 , , ik } 是向量组 (1) { 1 , 2 , , s } 的一个部分组， k s ，下列结 论正确的是 . B. 若（2）无关，且其余向量也无关，则（1）必定无关. D. 若（1） 、 （2）的秩相等，则 (1) (2 ) .
求出有无穷多解时的全部解（或通解）.
三、证明题 试证向量组 1 2 2 3 , 2 1 3 3 , 3 21 3 2 线性相关.
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《第二章
（1）A （7）A
线性方程组
（3）B （9）B
n 维向量》 作业参考答案
（4）A （5）C （6）D （10）C （11）D （12）D （13）C
1 1 1 1 2 2 4. 通解为 c1 c2 ， 0 1 0 0 0 1
三、证明题提示
c1 ,c2 为任意常数.
可以就 1 , 2 , 3 相关与不相关两种情况讨论.
（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k2，…，kS,都有 k1α1+k2α2+…kSαS≠0，则α1，α2，…，α
1
S
线性无关；
（B）α1，α2，…，αS 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1，k2，…，kS,有 k1α1+k2α2+…kSαS=0； （C）α1，α2，…，αS 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 S； （D）α1，α2，…，αS 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。 （10）α1，α2，α3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r（A）=3，α1=（1，2，3，4) ，α2+α3=（0，1，2，3) ，c 表示任意常数，则线性方程组 AX=b 的通解 X=（ ）
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（1） 不能由 1 , 2 , 3 线性表示？（2） 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法唯一？ （3） 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法不唯一？
x3 x 4 0 x1 x2 x2 2 x3 2 x4 1 4.当 a,b 为何值时，线性方程组 无解；有唯一解；有无穷多解？并 x 2 ( a 3 ) x3 2 x 4 b x3 ax4 1 3 x1 2 x2
（14）下列命题正确的是
.
A.若向量 1 , 2 , , s 线性相关， 1 , 2 , , s 线性相关， 则 1 1 , 2 2 , , s s 也线性相关. B. 矩阵 Am n 的 m 个行向量线性相关，它的 n 个列向量不一定线性相关. C.若 1 , 2 , , n 线性相关， 1 , 2 , , r 线性无关，则 r 1 , r 2 ,, n 必线性相关.