哈尔滨工程大学计量经济学课件
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因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行 推断。
哈工程经济管理学院
-13-
由于Yi 服从正态分布，根据数理统计学中的定义，Yi 的一 组样本的平方和服从 2 分布。所以有：
ESS (Yˆi Y )2 ～ 2 (k ) RSS (Yi Yˆi )2 ～ 2 (n k 1)
即回归平方和、残差平方和分别服从自由度为 k 和(n k 1) 的
•
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
哈工程经济管理学院
-12-
1、F检验的思想
F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：
TSS=ESS+RSS 由于回归平方和ESS是解释变量X联合体对被解释 变量Y的线性作用的结果，所以，如果ESS/RSS的 比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认 为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性 关系。
首先提出假设，原假设为：
H0 : 1 2 , k 0
即模型线性关系不成立。备择假设为：
H1 : 1, 2,, k不全为零
哈工程经济管理学院
-16-
对于一元线性回归模型，假设为：
H0 : 1 0 H1 : 1 0
然后根据样本观测值和估计值，计算F 统计量
的数值：
ESS F RSS k
(n k 1)
• 假设检验的程序是，先根据实际问题的要求提出 一个论断，称为统计假设；然后根据样本的有关
信息，对假设的真伪进行判断，作出拒绝或接受 假设的决策。
• 假设检验的基本思想是概率性质的反证法。
• 概率性质的反证法的根据是小概率事件原理，该 原理认为“小概率事件在一次试验中几乎是不可 能发生的”。
哈工程经济管理学院
哈工程经济管理学院
-4-
§3.1拟合优度检验(R检验) Testing the Simulation Level
哈工程经济管理学院
-5-
拟合优度检验，顾名思 义，是检验模型对样本观测 值的拟合程度。
哈工程经济管理学院
-6-
1、总体平方和、残差平方和和回归平方和
TSS (Yi Y )2
ESS (Yˆi Y )2
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午5时40 分56秒 下午5 时40分1 7:40:56 21.7.9
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
•
-8-
2、拟合优度检验统计量：可决系数R2和 校正可决系数 R 2
（1）可决系数
用可决系数 R2 进行拟合优度检验，可决系
数的计算公式为：
R2
Yˆi Y 2 Yi Y 2
0 R2 1 ，该统计量越接近于 1，模型
的拟合优度越高。
哈工程经济管理学院
-9-
在应用过程中我们会发现，如果在模型中增加一 个解释变量，模型的解释功能增强了，可决系数 R2 计
•
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
R2 1
n 1
n k 1 kF
可见，Ｆ与R2同向变化：当R2 ＝０时，Ｆ＝０； 当R2=1时，Ｆ为无穷大；R2越大，Ｆ值也越大。
因此，Ｆ检验是所估计回归总显著性的一个度量，也
是对 R2的一个显著性检验。即：
检验原假设 H0 : 1 2 0 ，等价于检验 H0 : R2 0
哈工程经济管理学院
-15-
3、方程显著性 F 检验的步骤
对回归方程线性关系显著性的检验采用 F 检验，检验
依据样本估计的回归方程所体现的被解释变量与解释
变量之间的线性关系在总体上是否显著成立，即是检验
总体模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki i
i=1,2,…,n
中的参数是否显著不为 0。按照假设检验的原理与程序，
Yˆi
Y
2
/k
Yi Yˆi 2 /n k 1
哈工程经济管/ k
1 R2 /n k 1
其中， R2 为判定系数，k 为模型中解释变量的个 数，n 为样本容量。
F 统计量服从自由度为 (k,n k 1) 的F 分布。选定
一个显著性水平 ，查 F 分布表（见本书附录），
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.7.921.7.91 7:40:56 17:40:5 6July 9, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年7月 9日星 期五下 午5时40 分56秒 17:40:5 621.7.9
2 分布。 进一步根据数理统计学中的定义，如果构造一个统计量
ESS
F RSS
k
(n k 1)
则该统计量服从自由度为（k，n-k-1）的F分布。
哈工程经济管理学院
-14-
2.关于假设检验
• 假设检验是统计推断的一个主要内容，它的基本 任务是根据样本所提供的信息，对未知总体分布 的某些方面的假设作出合理的判断。
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年7月下 午5时4 0分21. 7.917:4 0July 9, 2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021 年7月9 日星期 五5时40 分56秒 17:40:5 69 July 2021
返回到目录
多元线性模型的统计检验 与区间估计
Statistical Test of Multiple Linear Regression Model
第三章 多元线性回归模型的统计 检验与区间估计
§3.1拟合优度检验(R检验) §3.2方程显著性检验(F检验) §3.3变量显著性检验(t检验)
哈工程经济管理学院
TSS=RSS+ESS
哈工程经济管理学院
-7-
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21 .7.921. 7.9Frid ay , July 09, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。17:40:5617 :40:561 7:407/9 /2021 5:40:56 PM
ii?2618march2012哈工程经济管理学院对于一元回归模型n22??1ixs其中2?为随机误差项方差的估计量2?1??2i212i22nxykyyii对于二元回归模型?2212221221222122212221???xxxxxsexxxxxse2718march2012哈工程经济管理学院xye222221212i2i2i2i22????1?iixyykne计算出t统计量后要选定一个显著性水平结合自由度查得临界值tnkn1由t分布表见附表5k212818march2012哈工程经济管理学院如果计算出的t统计量的绝对值tt则在1的置信概率下拒绝原假设h0
拟合优度检验和方程显著性检验是从不同 原理出发的两类检验，前者是从已经得到估计 的模型出发，检验它对样本观测值的拟合程度， 后者是从样本观测值出发检验模型总体线性关 系的显著性。
哈工程经济管理学院
-22-
R 2 1 RSS /(n k 1) TSS /(n 1)
ESS
F RSS
k
(n k 1)
哈工程经济管理学院
-10-
（2）校正可决系数
R
2
1
n
n (k
1
1)
(1
R2)
1
(n 1)(Y 'Y Bˆ ' X 'Y ) (n k 1)(Y 'Y nY 2 )
R 2 R2
R 2 可以为负
哈工程经济管理学院
-11-
§3.2方程显著性检验(F检验) Testing the Overall Significance
,
不全为零
2
R2 /k
0.999/ 2
F 1 R2 /n k 1 1 0.999/ 7 4995
哈工程经济管理学院
-20-
选 定 显 著 性 水 平 0.05 ， 本 例 中 第 一 自 由 度
1 k 2 ，第二自由度 2 n k 1 10 2 1 7 ，( 本例
中解释变量数目 k =2，样本容量 n =10)，查 F 分布表，
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 7.917:4 0:5617:40Jul-2 19-Jul- 21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。17:40:5617:4 0:5617:40Friday , July 09, 2021
RSS (Yi Yˆi )2
TSS为总体平方和（Total Sum of Squares），反 映样本观测值总体离差的大小；ESS为回归平方和 （Explained Sum of Squares），反映由模型中 解释变量所解释的那部分离差的大小；RSS为残差 平方和（Residual Sum of Squares），反映样本 观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变 量未解释的那部分离差的大小。
原假设 H0 ，即模型的线性关系显著不成立，模型未 通过方程显著性检验。
哈工程经济管理学院
-19-
4、方程显著性F检验的例题
对前述得到的回归方程Yˆ 0.011 0.339X1 0.302X2 R2 0.999 n=10 进行线性关系显著性的检验，
首先给出假设
H0 : 1 2 0
H1
:
1
可以得到一个临界值 F (k,n k 1) 。
哈工程经济管理学院
-18-
如果所计算的 F ＞ F (k,n k 1) ，则在(1－ )的
置信概率下拒绝原假设 H0 ，即模型的线性关系显著 成立，模型通过方程显著性检验。如果所计算的
F < F (k,n k 1) ，则在(1－ )的置信概率下接受
•
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
-23-
§3.3变量显著性检验(t检验) Testing the Individual Significance
哈工程经济管理学院
-24-
变量显著性检验即对回归系数的显著性进 行检验，如果变量是显著的，那么回归系 数应该显著地不为0。于是，在变量显著性 检验中设计的原假设为：
-2-
计量经济学模型是应用数理统
计方法建立的一类经济数学模型，
模型必须满足数学理论与方法上的
要求，所以在模型参数估计后，需
要检验其是否满足数学理论与方法
上的要求。
哈工程经济管理学院
-3-
• 我们所要进行的统计检验包括两个方 面，一方面检验回归方程对样本数据的 拟合程度，通过可决系数来分析；另一 方面检验回归方程的显著性，通过假设 检验对模型中被解释变量与解释变量之 间的线性关系在总体上是否显著成立作 出推断，包括对回归方程线性关系的检 验和对回归系数显著性的检验。
算公式中的分子——回归平方和 Yˆi Y 2 就会增大，
因而 R2 就增大。这就给人一种错觉：似乎要使模型拟 合得好，就必须增加解释变量。但是，在样本容量一 定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少。所 以，用以检验拟合优度的统计量必须能够防止这种倾
向，我们可以用自由度来调整 R2 ，用 R 2 来表示调整 后的可决系数，以剔除解释变量数目与样本容量的影 响，使具有不同样本容量和解释变量数目的回归方程 可以进行拟合优度的比较。
得到临界值
F0.05,2,7 4.74 F F0.05,2,7
∴拒绝 H0 ，接受 H1。在 95%的置信概率下，模型的 线性关系显著成立，人均国内生产总值和前期人均
居民消费额在整体上对于人均居民消费额的解释作
用是显著的。
哈工程经济管理学院
-21-
5、关于拟合优度检验与方程显著性检验 关系的讨论
哈工程经济管理学院
-13-
由于Yi 服从正态分布，根据数理统计学中的定义，Yi 的一 组样本的平方和服从 2 分布。所以有：
ESS (Yˆi Y )2 ～ 2 (k ) RSS (Yi Yˆi )2 ～ 2 (n k 1)
即回归平方和、残差平方和分别服从自由度为 k 和(n k 1) 的
•
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
哈工程经济管理学院
-12-
1、F检验的思想
F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：
TSS=ESS+RSS 由于回归平方和ESS是解释变量X联合体对被解释 变量Y的线性作用的结果，所以，如果ESS/RSS的 比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认 为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性 关系。
首先提出假设，原假设为：
H0 : 1 2 , k 0
即模型线性关系不成立。备择假设为：
H1 : 1, 2,, k不全为零
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-16-
对于一元线性回归模型，假设为：
H0 : 1 0 H1 : 1 0
然后根据样本观测值和估计值，计算F 统计量
的数值：
ESS F RSS k
(n k 1)
• 假设检验的程序是，先根据实际问题的要求提出 一个论断，称为统计假设；然后根据样本的有关
信息，对假设的真伪进行判断，作出拒绝或接受 假设的决策。
• 假设检验的基本思想是概率性质的反证法。
• 概率性质的反证法的根据是小概率事件原理，该 原理认为“小概率事件在一次试验中几乎是不可 能发生的”。
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-4-
§3.1拟合优度检验(R检验) Testing the Simulation Level
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-5-
拟合优度检验，顾名思 义，是检验模型对样本观测 值的拟合程度。
哈工程经济管理学院
-6-
1、总体平方和、残差平方和和回归平方和
TSS (Yi Y )2
ESS (Yˆi Y )2
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午5时40 分56秒 下午5 时40分1 7:40:56 21.7.9
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
•
-8-
2、拟合优度检验统计量：可决系数R2和 校正可决系数 R 2
（1）可决系数
用可决系数 R2 进行拟合优度检验，可决系
数的计算公式为：
R2
Yˆi Y 2 Yi Y 2
0 R2 1 ，该统计量越接近于 1，模型
的拟合优度越高。
哈工程经济管理学院
-9-
在应用过程中我们会发现，如果在模型中增加一 个解释变量，模型的解释功能增强了，可决系数 R2 计
•
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
R2 1
n 1
n k 1 kF
可见，Ｆ与R2同向变化：当R2 ＝０时，Ｆ＝０； 当R2=1时，Ｆ为无穷大；R2越大，Ｆ值也越大。
因此，Ｆ检验是所估计回归总显著性的一个度量，也
是对 R2的一个显著性检验。即：
检验原假设 H0 : 1 2 0 ，等价于检验 H0 : R2 0
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-15-
3、方程显著性 F 检验的步骤
对回归方程线性关系显著性的检验采用 F 检验，检验
依据样本估计的回归方程所体现的被解释变量与解释
变量之间的线性关系在总体上是否显著成立，即是检验
总体模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki i
i=1,2,…,n
中的参数是否显著不为 0。按照假设检验的原理与程序，
Yˆi
Y
2
/k
Yi Yˆi 2 /n k 1
哈工程经济管/ k
1 R2 /n k 1
其中， R2 为判定系数，k 为模型中解释变量的个 数，n 为样本容量。
F 统计量服从自由度为 (k,n k 1) 的F 分布。选定
一个显著性水平 ，查 F 分布表（见本书附录），
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.7.921.7.91 7:40:56 17:40:5 6July 9, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年7月 9日星 期五下 午5时40 分56秒 17:40:5 621.7.9
2 分布。 进一步根据数理统计学中的定义，如果构造一个统计量
ESS
F RSS
k
(n k 1)
则该统计量服从自由度为（k，n-k-1）的F分布。
哈工程经济管理学院
-14-
2.关于假设检验
• 假设检验是统计推断的一个主要内容，它的基本 任务是根据样本所提供的信息，对未知总体分布 的某些方面的假设作出合理的判断。
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年7月下 午5时4 0分21. 7.917:4 0July 9, 2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021 年7月9 日星期 五5时40 分56秒 17:40:5 69 July 2021
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多元线性模型的统计检验 与区间估计
Statistical Test of Multiple Linear Regression Model
第三章 多元线性回归模型的统计 检验与区间估计
§3.1拟合优度检验(R检验) §3.2方程显著性检验(F检验) §3.3变量显著性检验(t检验)
哈工程经济管理学院
TSS=RSS+ESS
哈工程经济管理学院
-7-
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21 .7.921. 7.9Frid ay , July 09, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。17:40:5617 :40:561 7:407/9 /2021 5:40:56 PM
ii?2618march2012哈工程经济管理学院对于一元回归模型n22??1ixs其中2?为随机误差项方差的估计量2?1??2i212i22nxykyyii对于二元回归模型?2212221221222122212221???xxxxxsexxxxxse2718march2012哈工程经济管理学院xye222221212i2i2i2i22????1?iixyykne计算出t统计量后要选定一个显著性水平结合自由度查得临界值tnkn1由t分布表见附表5k212818march2012哈工程经济管理学院如果计算出的t统计量的绝对值tt则在1的置信概率下拒绝原假设h0
拟合优度检验和方程显著性检验是从不同 原理出发的两类检验，前者是从已经得到估计 的模型出发，检验它对样本观测值的拟合程度， 后者是从样本观测值出发检验模型总体线性关 系的显著性。
哈工程经济管理学院
-22-
R 2 1 RSS /(n k 1) TSS /(n 1)
ESS
F RSS
k
(n k 1)
哈工程经济管理学院
-10-
（2）校正可决系数
R
2
1
n
n (k
1
1)
(1
R2)
1
(n 1)(Y 'Y Bˆ ' X 'Y ) (n k 1)(Y 'Y nY 2 )
R 2 R2
R 2 可以为负
哈工程经济管理学院
-11-
§3.2方程显著性检验(F检验) Testing the Overall Significance
,
不全为零
2
R2 /k
0.999/ 2
F 1 R2 /n k 1 1 0.999/ 7 4995
哈工程经济管理学院
-20-
选 定 显 著 性 水 平 0.05 ， 本 例 中 第 一 自 由 度
1 k 2 ，第二自由度 2 n k 1 10 2 1 7 ，( 本例
中解释变量数目 k =2，样本容量 n =10)，查 F 分布表，
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 7.917:4 0:5617:40Jul-2 19-Jul- 21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。17:40:5617:4 0:5617:40Friday , July 09, 2021
RSS (Yi Yˆi )2
TSS为总体平方和（Total Sum of Squares），反 映样本观测值总体离差的大小；ESS为回归平方和 （Explained Sum of Squares），反映由模型中 解释变量所解释的那部分离差的大小；RSS为残差 平方和（Residual Sum of Squares），反映样本 观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变 量未解释的那部分离差的大小。
原假设 H0 ，即模型的线性关系显著不成立，模型未 通过方程显著性检验。
哈工程经济管理学院
-19-
4、方程显著性F检验的例题
对前述得到的回归方程Yˆ 0.011 0.339X1 0.302X2 R2 0.999 n=10 进行线性关系显著性的检验，
首先给出假设
H0 : 1 2 0
H1
:
1
可以得到一个临界值 F (k,n k 1) 。
哈工程经济管理学院
-18-
如果所计算的 F ＞ F (k,n k 1) ，则在(1－ )的
置信概率下拒绝原假设 H0 ，即模型的线性关系显著 成立，模型通过方程显著性检验。如果所计算的
F < F (k,n k 1) ，则在(1－ )的置信概率下接受
•
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
-23-
§3.3变量显著性检验(t检验) Testing the Individual Significance
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-24-
变量显著性检验即对回归系数的显著性进 行检验，如果变量是显著的，那么回归系 数应该显著地不为0。于是，在变量显著性 检验中设计的原假设为：
-2-
计量经济学模型是应用数理统
计方法建立的一类经济数学模型，
模型必须满足数学理论与方法上的
要求，所以在模型参数估计后，需
要检验其是否满足数学理论与方法
上的要求。
哈工程经济管理学院
-3-
• 我们所要进行的统计检验包括两个方 面，一方面检验回归方程对样本数据的 拟合程度，通过可决系数来分析；另一 方面检验回归方程的显著性，通过假设 检验对模型中被解释变量与解释变量之 间的线性关系在总体上是否显著成立作 出推断，包括对回归方程线性关系的检 验和对回归系数显著性的检验。
算公式中的分子——回归平方和 Yˆi Y 2 就会增大，
因而 R2 就增大。这就给人一种错觉：似乎要使模型拟 合得好，就必须增加解释变量。但是，在样本容量一 定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少。所 以，用以检验拟合优度的统计量必须能够防止这种倾
向，我们可以用自由度来调整 R2 ，用 R 2 来表示调整 后的可决系数，以剔除解释变量数目与样本容量的影 响，使具有不同样本容量和解释变量数目的回归方程 可以进行拟合优度的比较。
得到临界值
F0.05,2,7 4.74 F F0.05,2,7
∴拒绝 H0 ，接受 H1。在 95%的置信概率下，模型的 线性关系显著成立，人均国内生产总值和前期人均
居民消费额在整体上对于人均居民消费额的解释作
用是显著的。
哈工程经济管理学院
-21-
5、关于拟合优度检验与方程显著性检验 关系的讨论