山东省临清市高中数学 2.4.1 等比数列学案 新人教A版必修5

课内探究学案
（一 ）学习目标
1.明确等比数列的定义；
2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道
n
a ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题．
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用． 教学难点
等差数列＂等比＂的理解、把握和应用． （二）学习过程
1、自主学习、合作探究 1.等差数列的证明：①
n
n a AB =（0B ≠）；②n n S a bq =+（0q ≠、1q ≠），0a b +=；
③证明1
n n a a +为常数（对于0n a >适用）；④证明212n n n a a a ++=⋅。

2.当引入公比q 辅助解题或q 作为参数时，注意考虑是否需要对1q =和1q ≠进行分类讨论。

3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参
数这四类问题同源。

4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是m n p q
a a a a =（m n p q +=+）和
2m n p a a a =（2m n p +=）。

5. 三数成等比数列，一般可设为a q 、a 、aq ；四数成等比数列，一般可设为3
a q 、a
q 、aq 、
3aq ；五数成等比数列，一般可设为2a q 、a
q 、a 、aq 、2aq 。

2、精讲点拨 三、典型例题 例1 数列
{}n a 为各项均为正数的等比数列，它的前n 项和为80，且前n 项中数值最大的项
为54，它的前2n 项和为6560，求首项1
a 和公比q 。

解：若1q =，则应有
22n n
S S =，与题意不符合，故1q ≠。

依题意有：
()()121180(1)116560(2)1n n a q q a q q ⎧-⎪=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⎪⎨-⎪=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪
-⎩
(2)(1)得21821n
n
q q -=-即282810n n q q -+=
得81n q =或1n q =（舍去），
81n q ∴=。

由
81n q =知1q >，∴数列{}n a 的前n 项中n a 最大，得54n a =。

将81n q =代入（1）得11a q =- （3），
由
1154
n n a a q -==得
154n a q q
=，即
18154a q
= （4），
联立（3）（4）解方程组得12
3
a q =⎧⎨
=⎩。

例2 （1）已知
{}n a 为等比数列，32a =，
2420
3a a +=
，求{}n a 的通项公式。

（2）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知166n a a +=，43128n a a -=，126n S =，求n
和公比q 的值。

解：（1）设等比数列
{}n a 的公比为q （0q ≠）
，
24203a a +=
，则33203a a q q
+=
， 即22023q q
+=也即1103q q +=，解此关于q 的一元方程得13q =
或3q =。

3
3n n a a q -=，
3
312233n n
n a --⎛⎫∴=⋅=⋅ ⎪⎝⎭或
3
23n n a -∴=⋅。

（2）在等比数列
{}n a 中，有431128n n a a a a -==，又166n a a +=，联立解得
1264n
a a =⎧⎨=⎩或1642n a a =⎧⎨=⎩，
由此知1q ≠，而
11261n n a a q
S q -=
=-，从而解得
26q n =⎧⎨=⎩或126q n ⎧=⎪
⎨⎪
=⎩。

例3 已知数列{}n a ，其中23n n n a =+，且数列{}1
n n a a λ++（λ为常数）为等比数列，求
常数λ。

解：{}1n n a a λ++为等比数列，那么()()()2
1211n n n n n n a a a a a a λλλ+++-+=++，将
23n n n a =+代入并整理得1
(2)(3)230
6n n λλ++⋅⋅=，解之得2λ=-或3λ=-。

例4 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明数列{}n c 不是等比数
列。

解：设
{}n a 、{}n b 分别是公比为p 、q （p q ≠）的两个等比数列，要证明{}n c 不是等比数
列，我们只需证2213
c c c ≠即可。

事实上
()2
2222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++()()22221311111c c a b a p b q a p =++=+
()
2222111b q a b p q ++，p q ≠，22
2p q pq ∴+>，又1a 、10b ≠，2213c c c ∴≠，∴数列{}n
c 不是等比数列。

3、反思总结
4当堂检测 1.已知等比数列
{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( )
.A (],1-∞- .B ()(),01,-∞+∞
.C [)3,+∞ .D (]
[),13,-∞-+∞
2.已知
{}n a 是等比数列，
41
252=
=a a ，，则12231n n a a a a a a +++
+=
.A ()1614n -- .
B ()1612n
--
.C ()32143n -- .D ()32123n --
3.若实数a 、b 、c 成等比数列，则函数
2
y ax bx c =++与x 轴的交点的个数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 无法确定
4. 在数列
{}n a 中，0n a >，且{}1n n a a +是公比为q （0q >）的等比数列，该数列满足
11223
n n n n n n a a a a a a ++++++>（*
n N ∈），则公比q 的取值范围是（ ）
.
A 0q <<
.B 102q +<<
.
C 102q -+<<
.D 102q -<<
5.设数列
{}n x 满足1log log 1a n a n x x +=+（0a >，1a ≠，*n N ∈）
，且
12100100
x x x ++⋅⋅⋅+=，则
101102200x x x ++⋅⋅⋅+=
__________。

6.设
{}n a 为公比1q >的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则
=
+20072006a a __________。

7.设
{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2q =，且30
123302a a a a ⋅⋅⋅=，则
36930a a a a ⋅⋅⋅=
__________。

8.设两个方程210x ax -+=、210x bx -+=的四个根组成以2为公比的等比数列，则
ab =________。

9.设数列
{}
n a 为等比数列，
()12112n n n
T na n a a a -=+-+⋅⋅⋅++，已知
11
T =，
24
T =。

（1）求等比数列{}
n a 的首项和公比；
（2）求数列
{}
n T 的通项公式。

10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=-
（1）证明：当2b =时，
{}
12n n
a
n --⋅是等比数列；
（2）求
{}n a 的通项公式。

11.已知数列
{}
n a 和
{}
n b 满足：
1a λ
=，
12
4,(1)(321)3n n n n n a a n b a n +=
+-=--+，其中λ
为实数，n 为正整数。

（1）对任意实数λ，证明数列{}
n a 不是等比数列；
（2）试判断数列
{}
n b 是否为等比数列，并证明你的结论； （3）设0a b <<,
n S 为数列
{}
n b 的前n 项和。

是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有
n a S b
<<？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。

【当堂检测】
1.D 解析：设数列的公比为q ，那么
23123221
1a S a a a a a q q q q =++=
++=++，函数
1
()1
f q q q =
++（0q ≠）的值域为
(][),13,-∞-+∞，从而求得3S 的取值范围。

2.C 解析：等比数列
{}n a
的公比
1
2
q =
==，显然数列
{}1n n a a +也是等比数列，
其首项为2221228
12a a a q ===，公比
2
2111111
24n n n n n n a a a q q a a a ++--⎛⎫'===== ⎪⎝⎭，
∴
()12231181432141314n n
n n a a a a a a -+⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++==--。

3.A 解析：a 、b 、c 成等比数列，2b ac ∴=，∴二次函数
2y ax bx c =++的判别式22430b ac b ∆=-=-<，从而函数与x 轴无交点。

4.
11223
n n n n n n a a a a a a ++++++>，
2
111n n n n n n a a a a q a a q +++∴+>，而
n a >，
10n n a a +∴>，21q q ∴+>即210q q --<
，解得112
2q -<<
，而0q >，故公比q
的取值范围为102q <<。

5.100
100a
解析：
1log log 1
a n a n x x +=+，即
1log 1n a
n x x +=，也即1
n n x a
x +=，从而数列{}n x 是公比为a 的
等比数列。

()100100
10110220012100100x x x x x x a a ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⋅=。

6.18
解析：2
4830x x -+=的两根分别为12和32，1q >，从而200412a =、200532a =，2005
2004
3
a q a ∴=
=。

()2220062007200420052318a a a a q +=+⋅=⨯=。

7.20
2 解析：
()15
30123301302a a a a a a ⋅⋅⋅==，
213024
a a ∴==，
()()()()5
5
5
5
21051020
36930330132130130422a a a a a a a a a a q a a q ⎡⎤∴⋅⋅⋅====⋅=⋅=⎣⎦。

8.27
4
解析：设该等比数列为
1
x 、
2
x 、
3
x 、
4
x ， ∴1423x x x x ==2321181x q x ==，
1x ∴=
=
，从而2x =
3x =
、4x =，
274
ab ⎛
∴== ⎝。

9.解：（1）对于等式
()12112n n n
T na n a a a -=+-+⋅⋅⋅++，令1n =得
111
T a ==；令2n =得
2122224
T a a a =+=+=，
22
a ∴=，
2
1
2a q a ∴=
=。

（2）
1
2n n a -=，则
221
2(1)2(2)222n n n T n n n --=+-+-+⋅⋅⋅+⋅+ ①
①2⨯得 231222(1)2(2)222n n
n T n n n -=
+
-+-+⋅⋅⋅+⋅+ ②
②-①得：
()()23111
21222222(2)22
12
n n
n n n n n i T n n n n -+=-=+++⋅⋅⋅++-=-=
-=---∑。

10.解：（1）证明：由题意知12
a =，且
()21n n n
ba b S -=-，
()111
21n n n ba b S +++-=-
两式相减得
()()11
21n n n n b a a b a ++--=-，即
12n
n n a ba +=+ ①
当2b =时，由①知
122n
n n a a +=+，于是
()()1122212n n n n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()
122n n a n -=-⋅
又
111210
n a --⋅=≠，所以
{}
12n n
a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列。

（2）当2b =时，由（1）知11
22n n n a n ---⋅=，即
()1
12n n a n -=+；
当2b ≠时，由①得
1111122222n n n n n a ba b b +++-
⋅=+-⋅--22n
n b ba b =-⋅-
122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪
-⎝⎭
11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫∴-
⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭()212n
b b b -=⋅-
()1211
22222n n n n a b b n b -=⎧⎪∴=⎨⎡⎤+-≥⎪⎣⎦-⎩
11.解：（1）证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有2213a a a =，即
2222444
(3)(4)494903999λλλλλλλ-=-⇔-+=-⇔=，矛盾。

所以
{}
n a 不是等比数列.
（2）解：
()
()()
1
1
1121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫
=---+=-⋅-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
()()22132133n
n n
a n
b =⋅-⋅-+=-。

又1(18)b λ=-+，所以
当18λ=-时，
*0()
n b n N =∈，这时
{}n b 不是等比数列；
当18λ≠-时，
1(18)0
b λ=-+≠由上可知
n b ≠，
*12
()3
n n b n N b +∴
=-∈。

故当18λ≠-时，数列{}n b 是以(18)λ-+为首项，2
3-
为公比的等比数列。

（3）由（2）知，当18λ=-时，
n b =，
n S =，不满足题目要求。

18λ∴≠-，故知
()1
2183n n b λ-⎛⎫=-+⋅- ⎪
⎝⎭，可得
()3
218153n n S λ⎡⎤⎛⎫=-+⋅--⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
要使
n a S b
<<对任意正整数n 成立，即
()3
218153n a b
λ⎡⎤⎛⎫<-+⋅--<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
得
()3
185
221133n
n
a b
λ<-
+<⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ①
令
2()13n
f n ⎛⎫
=-- ⎪
⎝⎭，则 当n 为正奇数时，
51()3f n <≤
；当n 为正偶数时，5
()1
9f n ≤<。

所以()f n 的最大值为
5(1)3f =
，最小值为5
(2)9f =。

于是，由①式得()3181831859535a b
b a λλ<-+<⇔--<<--。

当3a b a <≤时，由18318b a --≥--知，不存在实数λ满足题目要求； 当3b a >时，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有
n a S b
<<，且λ的取值范围是
(18,318)b a ----。