电磁场中的基本物理量和实验定律

分析电场和磁场时，产生场的“点源”具有十分重要的地位。静电场的点源是点
电荷q，它是一种“标量点源”；恒定磁场的点源是电流源
源”；标量点源q产生的电力线是有头有尾的；矢性点源
，它是一种“矢性点 产生的磁力线是无头无尾
的闭合曲线。由I此dl证明静电场和恒定磁场是本质上不相同的两种矢量场。
Idl
29
例1.求一个半径为a的微小电流圆环的磁场。
Байду номын сангаас
i J (r,t) dS
根据电荷守恒定律，单位时间S内流出闭曲面S 的电流等于
体积 内单位时间所减少的电荷量,即
,故得
i dq
V
J(
r ,t
) dS
dq
(
r
,t
)
dt dV
S
dt V t
此即电流连续性方程的积分形式。
又由散度定理得
J (r,t) dS JdV
所以
JdV
exp
1010 r 2
]2rdr
0 0
5 104 PC
8
3.2 电流与电流密度 电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：
单位时间内通过某一横截面S 的电荷量，即
i lim (q t) dq dt t 0
单位: A （安） 电流方向: 正电荷的流动方向 形成电流的条件：
• 存在可以自由移动的电荷; • 存在电场。
q4
q q5
q7 q6
） r1、r2、 、rN
(Ri r ri )
19
2. 电场强度
E 电场强度矢量
—— 描述电场分布的基本物理量
空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作
用力，即
F(r )
E(r ) lim
q q0 0
0
q0 ——试验正电荷
根据上述定义，真空中静止点电荷q 激发 的电场为
第3章电磁场中的基本物理量和基本 实验定律
主要内容 3.1 电荷与电荷分布 3.2 电流与电流分布 3.3 电流连续性方程 3.4 电场强度 库仑定律 3.5 安培力定律和磁感应强度
1
3.1 电荷与电荷分布
电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。
源量为电荷
和q电(r流, t )
，分别I用(r来, t描) 述产生电磁效应的两类场源。电荷是
23
电偶极子的电力线方程为
r C'sin 2
C为' 待定常数，在 的r区域内，l 电力线如下图所示。
电偶极子的场图
电场线 等位线
24
几种典型电荷分布的电场强度
均匀带电直线段的电场强度：
E l 4π 0
Ez
l 4π 0
(cos1 (sin 2
cos2 )
（有限长）
sin 1 )
E
l 2π 0
说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定 电流，用I 表示。
9
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中， 常用体电流、面电流和线电流来描述电流的分布状态。
1. 体电流
S
电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为 体电流，用电流密度矢量 来描述。
en
J
J
J
若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度 大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认 为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示。
s (r )
lim
ΔS 0
Δq(r )
ΔS
dq(r )
dS
单位: C/m2 (库/米2)
如果已知某空间曲面S 上的电荷面密度，则 该曲面上的总电荷q 为
• 方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；
• F21 ，F1满2 足牛顿第三定律。
18
• 电场力服从叠加定理
真空中的N个点电荷 对点电荷 （位于 ）的作用力为
q1、（q分2、 别位于、qN
qr
Fq
N i 1
Fqi q
N i 1
qqi Ri
4π 0 Ri3
q3 q2 q1
zq
E(r )
qR
4π 0 R3
q
40
1 R
(R
r
r)
如果电荷是连续分布呢？
r
o x
RM E
r y
20
体密度为 的(r体) 分布电荷产生的电场强度
E(r )
i
(ri)ΔViRi 4π 0 Ri3
1
4π 0
V'
(r ) R
R3
dV
小体积元中的电荷产生的电场
z
Vi V M
r (r)
q S s (r )dS
5
z S q
S r
o
y
x
3. 电荷线密度
若电荷分布在细线上，当仅考虑细线外、距细线的距离要比细线的直径大 得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线 分布。线分布的电荷可用电荷线密度表示。
lim
l (r )
Δl '0
Δq(r )
Δl
dq(r )
(单位：C )
确认了电荷的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷，而任何带电粒子所带电荷
都是e 的整数倍。
• 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的集合，故可不考虑其量 子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。
3
理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷
q 电偶极子的 与坐标的原点o重合，并使电偶
极子轴与z轴重合。场点
的电场
q
R1
强度就是
和
的电场强度的矢量和。
p(r, , )
q q
l r1'
r
o
q
在球坐标系中，电偶极子的电场表示式为
q
1
1
E( r ) [ ( ) ( )]
4π0
R1
r
其中
R1 r2 l2 2rl cos
22
p(r, , )
将R1展开成幂级数，在
l 的r情况下，略去高阶后得
R11
1 r
1 r2
l
cos
代入上式
E(r )
q
4π 0
[( 1 r
1 r2
l
cos
)
( 1 )] r
q
4π 0
1 ( r2
l
cos
)
ql
4π 0r3
(er
2 cos
e
sin
)
1 4 0
[
3
p r5
r
r
p r3
]
p ql表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
Js sv
13
当电已流知表可面表电示流为线密度矢量 时，在J表s面S上任取一个有向线元 ，则穿过 的
dl
dl
i
i Jsdl sin
J s dl en
en
sin
J s dl
en
( l
et
)
en dl Js
en
J
s dl
l 通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为
i en ( dl J S ) l J S ( en dl )
z
因为电流圆环及其磁场具有圆对称性，故将待 求场点p置于yz平面内不会失去普遍性。
r
o
y
x
面密度为 场强度
的S (面r分) 布电荷的电
线密度为 场强度
的l (线r)分布电荷的电
E(r)
1
4π 0
S'
S (r)R
R3
dS
21
E(r)
1
4π 0
l'
l
(r)R R3
dl
例1.计算电偶极子的电场强度。
l 解：电偶极子是相距很短距离 的两个等值异
号的点电荷组成的电荷系统。采用球坐标系，使
R
0I
4π
C
dl ' R
电流元
I产ddl生B(的r磁) 感4应π0强I度dlr(rr3 r)
体电流产生的磁感应强度
B(r )
0
4π
V
J (r ) R3
R dV '
z
C Idl M
r R
r y
o
面电流产生的磁感应强度
x
B(r )
0
JS (r ) R dS
4π S R3
28
这里 I，dl ，JdV是产J s生ds磁场的矢性点源，称为电流元。
z
C1
I1dl1
r1 R12
r2 o
C2
I2dl2
y
实验表明，真空中的载流回路 C1 对载流 回路 C2 的作用力
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12)
C2 C1
R132
• 载流回路 C2 对载流回路 C1 的作用力
26
x
安培力定律
F21 F12
满足牛顿 第三定律
2. 磁感应强度
4π
C1
I1dl1 R12 R132
)
C2 I2dl2 B1(r2 )
其中
B1(r2 )
0
4π
I1dl1 R12
C1
R132
电流I1在电流元 I2dl2
处产生的磁感应强度
27
任意电流回路 C 产生的磁感应强度
B(r )
0
4π
C
Idl
(r
r
r
3
r )
0
4π
C
Idl R3
l
14
3.线电流模型
电流在一个横截面积可以忽略的细线中流动所形成的电流称为线电
流。长度元 d中l 流过电流I，将
称为电流元。 Idl
15
3.3电流连续性方程（电荷守恒定律）
V 在体电流空间中任取一个闭合面S，S所围的体积为 ，电荷体密度为
。由
电流密度的定义可(知r，，t单)位时间内由S面流出的电荷（电流为）
1. 电荷体密度
电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布
(r )
lim
Δq(r ) dq(r )
ΔV 0 ΔV
dV
单位：C/m3 (库/米3 )
z
根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域 V 中的电荷体密度，则区域V 中的总电荷q为
q V
r
V
o
y
x
q V (r )dV
4
2. 电荷面密度
dS
V
(r, t )dV
16
V
dt V
V
J
( r ,t
t
) dV
0
J
(r, t )
0
t
此即电流连续性方程的微分形式。
当我们研究恒定电流场时，要维持电流不随时间改变，就要求电
荷在空间分布也不随时间改变。即 和 不J是(时r)间的函(数r)，因此对恒定电流场有
S
J dS
0
J 0
17
dl
单位: C / m (库/米)
z q
l
如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该
r
曲线上的总电荷q 为
o
y
x
q C l (r )dl
6
4. 点电荷
对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分析和计算该电荷所 在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点 距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该 区域中心、电荷为 q 的点电荷。
J s 的电荷
时间内 流动的距离为
，则如图所表t示的柱形体积元
在 时l 间内全部通过面积元 ，故电流 为
V sl q t
s
i
i q Sl vS t t
则面积处的
J i v S
或者
J v
11
v
l
如果某体积空间内含有几种不同类型的运动电荷，其电荷体密度为 ，运动速度
为 i
，则空间某一处vi的(电i 流密1,度2应, 为 )
J Ji ivi
12
2. 面电流
电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向
运动所形成的电流称为面电流，用面电流密
度矢量 来描述其分布
JS
JS
et
lim
l 0
i l
et
di dl
en et JS
l
dh0 0
面电流密度矢量
单位：A/m （安/米） 。
正电荷运动的方向
v 面电流密度与面电荷密度及电荷运动速度 之间的关系为
B
电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度 ，
单位为T（特斯拉）。
B
磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作用，载流回路C1对载流回路 C2 的 作用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回路 C2中的电流 I2 的作用力。
根据安培力定律，有
F12
C2
I
2dl2
(
0
点电荷的电荷密度表示
(r )
qδ(r
r)
7
z
q
r
o
y
x
例1 某一电子束，其电荷体密度
(r) 5C/m1306 exp(1010r2)
r为圆柱系统的径向坐标。试求z轴上单位长度内两平行平面所构成的体积空间中的电荷量。
解：取体积元 dV 2rdrdz
Q V (r )dV
1
dz
[5
106
产生电场的源，电流是产生磁场的源。
电荷 电场
（运动）
电流 磁场
2
• 电荷是物质基本属性之一。
• 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。
• 1907 — 1913年间，美国科学家密立根(iken)通过油滴实验，
精确测定电子电荷的量值为
e =1.602 177 33×10-19
en
lim
s 0
i S
体电流密度矢量
单位：A / m2 （安/米2） 。
正电荷运动的方向
流过任意曲面S 的电流为
i S J dS
10
即电流（I或i）可定义为电荷流动场中电流密度矢量在某一面积上的通量。
体积空间中某点的电流密度同该点的电荷密度、电荷运动速度之间的关系如何呢？
垂直于 取面积元 ，设
（无限长）
均匀带电圆环轴线上的电场强度：
Ez
(0,
0,
z)
2 0
al
(a2
z z2 )3
2
25
z
2
l
M
1
均匀带电直线段
z
M
ao
y
x
l
均匀带电圆环
2.5 安培力定律 磁感应强度
1. 安培力定律
安培对电流的磁效应进行了大量的实验研 究，在 1821 —1825年之间，设计并完成了电流相 互作用的精巧实验，得到了电流相互作用力公式， 称为安培力定律。
3.4 库仑定律 电场强度
1. 库仑（Coulomb）定律(1785年)
真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力: