中央极限定理

中央極限定理 （Central Limit Theorem）
吳淑娟
中央極限定理（a）
若連續的從一族群ω（μ, σ2）（有一個有限變方）中選 取一些樣本大小固定的隨機樣本，當樣本大小增大時，這 些樣本的平均數 x ′s 所構成的分布形狀將逐漸的趨近於 常態分布，稱此為 x 的分配(sample mean distribution)，並 得
範例一
一家成衣廠的一部機器將裁剪一匹絲質布料呈平均長度μ ＝ 1000 mm，標準差為σ＝ 12 mm 的布塊若連續抽取多 組樣本大小 n ＝ 36 的隨機樣本則所有的樣本平均數會落 於 x = 995 mm 與 x =1005 mm之間的百分比為何？
(範例來源： 範例來源：統計學〈 統計學〈ELEMENTARY STATISTICS〉，原著 Gibson，編譯 林慧姿 張筱梅 黃春松 廖苹邁， 廖苹邁，高立出版社。 高立出版社。)
( )
1. 分配的平均數等於母體平均數μ。 2. 分配的標準差，稱為 σ x ，等於母體標準差（σ）除以樣本 大小（n）的平方根，亦即 σ x = σ n
中央極限定理（continue）
原常態族群N（μ, σ2），與樣本的平均數 (x ′s ) 所構成的常態族群之比較 原族群常態分布 樣本平均值分布
x
分配
8.65ml
8.90 8.95 9.05 9.00ml
9.10
9.35ml
練習二
一家稱為Brell的“自創”品牌洗髮精，連同其他不同品牌的 洗髮精在一家大型全國性的便利連鎖商店裡銷售，在這些 商店裡，Brell維持相當固定的佔有率，其平均數μ=24.00 （表示在這些商店所銷售出去的洗髮精中有24.00％是Brell 品牌），標準差為3.20，若連續選取多組隨機樣本，每組 皆含有64家商店，並計算每組樣本的平均市場佔有率 （ x ），試求樣本平均數的市場佔有率小於23.80的百分比 為多少？
σx =
σ
n
=
3.20 3.20 = = 0.4市場佔有率 8 64
x
分配
20.80
23.20 23.60
24.80 24.40
27.20
24.00市場佔有率
隨機選取（Random Selection）
另外要提醒的是：上述的計算程序，或任何我們所討論包 含抽樣的數學程序，都是以相當重要的隨機選取的程序為 基礎，樣本的選取和彩券中獎被人選取的情況是相同的。 所謂隨機樣本，是說在每次選取時，皆須考慮到這個國家 裡所有每家商店的銷售情形，譬如說，透過包含所有商店 的龐大明細表。然後，每次的取樣每家商店被選取的機會 皆相同。
(範例來源： 範例來源：統計學〈 統計學〈ELEMENTARY STATISTICS〉，原著 Gibson，編譯 林慧姿 張筱梅 黃春松 廖苹邁， 廖苹邁，高立出版社。 高立出版社。)
練習二—提示
因我們所考慮的是64家商店的「平均」的市場佔有率 而非「個別商店的市場佔有率」，所以需利用 x 的分 配。記住：在利用 x 的分配時，須先計算此分配的標 準差 σ x 。
範例一--解答
(1). 先計算直方圖（或分配）的標準差 σ x
σx =
σ
n
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=
12 12 = = 2mm 6 36
x
分配
988mm
996mm 1004mm 998mm 1002mm 1000mm
1012mm
範例一--解答(continue)
(2). 計算 x = 995 mm 與 x =1005所對應的值。
將所求之解繪於下圖：
x
x分 配
98.76% 49.38% 49.38%
x
分配
976mm
988mm
x = 995mm
x = 1005mm
1012mm
1024mm
z = －2.50
z = 1000mm
＋ 2.50
範例一--解答(continue)
答： 假如我們連續選取多組樣本為36塊布的隨機樣本，並計 算每組樣本的平均長度（ x ），則所有的樣本平均數中 有98.76％被期望落於 x = 995mm 與 x = 1005mm之間。
練習一
一家國立健康組織同意供給活性細菌病毒，如小兒麻痺 症和AIDS的病毒，給從事以實驗為目的之研究公司。其 過程是將平均數為9.00公撮，標準差為0.35公撮的細菌 病毒填入上百萬支的小試管裡。假如連續選取樣本為49 支小試管的多組隨機樣本，並計算其填料的平均數 x ， 試求所有樣本平均數中間99％部分所對應的兩個 x 值為 多少？
由此查表可得當為 +2.50時，所對應的面積為49.38％，亦即 所有的 x ′s 中有49.38％落在1000 mm 和1005 mm 之間，因 為常態曲線是對稱的，所以當為－2.50時將產生同為49.38 ％的百分比，亦即也有49.38％的 x ′ s 落於1000 mm和 995 mm之間。
範例一--解答(continue)
( )
1. 分配的平均數等於母體平均數μ。 2. 分配的標準差，稱為 σ x，等於母體標準差（σ）除以樣本 大小（n）的平方根，亦即 σ = σ n
x
中央極限定理（b）
若原族群為常態族群N（μ, σ2），不管選取的樣本大小 為何，這些樣本的平均數 x ′ s 所構成的分布形狀皆為常 態分布，稱此為 x 的分配(sample mean distribution) ，並得
Z= Y −µ , Y → N (µ , σ 2 ) 曲線上的一點
σY
Y − µY
Z= =
σY
Y −µ σ n
σ2 , Y → N µ, n 曲線上的一點
中央極限定理的應用
中央極限定理是統計學上最著名的傑作之ㄧ，它帶領統計 學走出了黑暗期。在中央極限定理被發現且廣泛應用之 前，我們只能收集大量的資料以估計母體特性，但這些資 料的搜集與整理長需花費數月或數年的時間，而往往等到 要做分析時已不合時宜。現在我們可以隨意的應用精確的 數學方法來估計我們想要的目標。也因此可以做更好的決 策。
中央極限定理應用於非常態母體
關於中央極限定理，令人驚奇的是它幾乎適用於任何形狀的母體（常 態或非常態），只要滿足樣本大小超過或等於30（n≧30）即可。亦 即 當樣本≧30時，對於任何型態的母體，其 x 的值將趨近於以μ 為中心的常態分配。 見如下的例子：
中央極限定理之應用
在所有的情況下，當樣本大小大於等於30（n≧30）時，x 的分配將會趨近以μ為中心的常態分配。我們還可利用這 節所描述的方法和技巧來預測的所在位置。這是否隱含若 n小於30，x 就不會是以μ為中心的常態分配呢？不一定， 假如母體為常態分配，則不論n的大小（甚至如n =5或n = 2）， x 也會趨近於以μ為中心的常態分配，然而，對於許 多非常態母體而言，除非樣本大小至少為30或35或一些特 殊情況，否則 x 通常不被假設為常態。
(範例來源： 範例來源：統計學〈 統計學〈ELEMENTARY STATISTICS〉，原著 Gibson，編 譯 林慧姿 張筱梅 黃春松 廖苹邁， 廖苹邁，高立出版社。 高立出版社。)
練習一—提示
因為我們要考慮的是49支試管的「平均」填料值，而不 是單一試管的填料值，所以要利用 x 的分配來處理。這 是常態分布曲線的「逆向運算（已知面積，求z值）」 問題，只是現在討論的是 x 分配，所以必須計算 x 分配 的標準差 σ x ，並指出至少±2標準差之值。