正态分布变差系数的置信区间研究

正态分布变差系数的置信区间研究★
徐晓岭1,顾蓓青1,王蓉华2
(1.上海对外经贸大学统计与信息学院,上海
201620;
2.上海师范大学数理学院,上海
200234)
摘要:首先,研究了正态分布均值μ与方差σ2的联合置信域,该联合置信域具有较好的优良性,在大样本
场合其面积和已有的置信域的面积非常接近;然后,给出了变差系数的置信区间、单侧置信下限和单侧置信上限;最后,通过实例说明了该方法的具体应用,同时也说明了原文献中存在的错误。

关键词:正态分布;变差系数;置信区间;联合置信域中图分类号:TB 114.3
文献标志码:A
文章编号:1672-5468(2021)02-0035-07
doi:10.3969/j.issn.1672-5468.2021.02.008Study on Confidence Interval of Variation Coefficient
for Normal Distribution
XU Xiaoling 1,GU Beiqing 1,WANG Ronghua 2
(1.School of Statistics and Information ,Shanghai University of International Business and Economics ,Shanghai 201620,China ;2.Mathematics and Science College ,Shanghai Normal University ,Shanghai 200234,China )
Abstract :Firstly ,the joint confidence region of mean μand variance σ2for normal distribution
is studied.This joint confidence region has better superiority ,and the area of it is very close to that of the existing confidence region in the case of large sample.Then ,the confidence interval ,the one side lower confidence limit and the one-side upper confidence limit of variation coefficient are given.Finally ,the examples are given to illustrate the specific application of the proposed method ,and the error of the original literature is explained .
Keywords :normal distribution ;variation coefficient ;confidence interval ;joint confidence re ⁃
gion
★基金项目:国家自然科学基金项目(11671264)资助。

收稿日期:2020-06-10
作者简介:徐晓岭(1965-),男,江苏宜兴人,上海对外经贸大学统计与信息学院教授,博士,从事应用统计方面的教学
与研究工作。

电子产品可靠性与环境试验
ELECTRONIC PRODUCT RE L IABIL I TY AND ENVI R ONMENTAL TESTING 可靠性与环境适应性理论研究
0引言
在可靠性工程研究中经常要用到变差系数、
可靠度和可靠寿命的特征量,其置信区间的研究引起了广泛兴趣。

变差系数是一个应用较广的参
数,由于这一参数能很好地反映变量取值的分散程度,因此它是衡量产品质量稳定性的一个重要的可靠性指标。

针对全样本场合,周源泉等编制了航天行业标准QJ 1355—1988《正态分布变差系数置信上限》,徐福荣等也编制了相同名称的国家
电子产品可靠性与环境试验2021年
标准GB/T11791—1989。

周源泉与翁朝曦在文献[1]中研究了正态分布变差系数的置信上限插值问题。

周源泉在文献[2]中推导了正态变差系数的经典精确限,为了满足工程实践的需要,利用Odeh和Owen的计算方法及Brent算法,给出了较高精度的近似限。

周源泉与李宝盛在文献[3]中针对正态分布的II型截尾样本在正态均值μ>0时,首次给出了正态变差系数的精确上限。

孙祝岭在文献[4]中研究了正态分布的变差系数估计问题,提出了一个新的枢轴量来构造变差系数的经典置信区间,给出了正态分布变差系数的具有简单表达式的精确置信区间。

但文献[4]也存在一些问题:首先,其认为所给出的表达式很简单,实际上其计算也是较为麻烦的;其次,该计算方法依赖于样本数据出现的次序,也就是说,虽然样本数据相同,但如果出现的次序不一样,则其也会产生不同的计算结果;从其中所给出的算例来看,其不仅在计算置信下限时发生错误,而且其置信区间长度较长,计算结果并不可信。

首先,本文研究了正态分布均值μ与方差σ2的联合置信域,该联合置信域具有较好的优良性,在大样本场合其面积和已有的置信域的面积非常接近。

其次,给出了变差系数的置信区间、单侧置信下限和单侧置信上限,并通过实例说明了该方法的具体应用。

1正态分布均值μ与方差σ2的联合置信域
正态分布参数的联合置信域的研究成果不多,主要原因是其置信域形式复杂。

陈光曙在文献[5]中得到了对数正态分布总体参数的联合置信域和置信域的面积公式。

由此可知,如果将对数正态分布取对数即为正态分布,所以利用文献[5]可以得到两个参数的联合置信域。

马春琳在文献[6]中研究了正态分布两个参数的面积最小的联合置信域。

设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n为总体X的容量为n的一个简单随机样本,记:
X=1n n i=1∑X i
X2=1n n i=1∑X2i
S2=1n-1n i=1∑(X i-X)2(2) 1.1定理1
设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n为总体X的容量为n的一个简单随机样本,则在给定置信水平1-α下,参数(μ,σ2)的联合置信域G1为:
G1=(μ,σ2):X-
σ2
√
n
√
Uβ/2≤μ≤X+σ2√n√Uβ/2
(n-1)S2
χ2β/2(n-1)≤σ2≤
(n-1)S2
χ21-β/2(n-1)⎧
⎩
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⎨⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐
⎫
⎭
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⎬⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐
(3)其面积为:S G1=4(n-1)3/2S3
3n√Uβ/2{[χ21-β/2(n-1)]-3/2-[χ2β/2(n-1)]-3/2}(4)
其中,β=1-1-α
√,Uβ/2为标准正态分布的上侧
β
2分位数,χ2β/2(n-1),χ21-β/2(n-1)分别为χ2(n-1)分布的上侧
β
2,1-β2分位数。

简要证明如下:由费歇定理知,n
√
X-μ
σ~ N(0,1),(n-1)S2σ2~χ2(n-1),且两者相互独立。

于是给定置信水平1-α,则:
-Uβ/2≤n√X-μσ≤Uβ/2
χ21-β/2(n-1)≤(n-1)S2σ2≤χ2β/2(n-1)
⎧
⎩
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⎨⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐
(5)
进而得两个参数(μ,σ2)的置信水平1-α的联合置信域为:
G1=(μ,σ2):X-
σ2
√
n
√
Uβ/2≤μ≤X+σ2√n√Uβ/2
(n-1)S2
χ2β/2(n-1)≤σ2≤
(n-1)S2
χ21-β/2(n-1)⎧
⎩
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⎨⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐
⎫
⎭
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⎬⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐其联合置信域G1的面积为:
S G
1=
(n-1)S2
χ21-β/2(n-1)
(n-1)S2
χ2
β/2(n-1)
∫2σ2√n√Uβ/2dσ2=4(n-1)3/2S33n√Uβ/2{[χ21-β/2
(n-1)]-3/2-[χ2β/2(n-1)]-3/2}(6)仔细观察两个参数(μ,σ2)的联合置信域G1可以发现,其中先给出方差σ2的区间,然后利用两个枢轴量的独立性得到均值μ依赖于方差σ2的一个区间。

由于通常方差σ2的估计S2数值会相对
(1)
第2期大一些,方差σ2的区间也会长一点(造成的原因
是χ2(n -1)分布不对称,如此处理得到的方差σ2的置信区间不是最短的),进而造成均值μ的区间也会相应地变长。

由此联合置信域G 1的面积S G 1
会变
得更大。

引理:设总体X~N (μ,σ2),X 1,X 2,…,X n
为总体X 的一个简单随机样本,则n √(X ⎺
-μ)S
~
t (n -1),1σ2n
i =1∑(X i -μ)2~χ2(n ),且
n √(X ⎺-μ)S 与1σ2
n
i =1
∑
(X i -μ)
2
相互独立。

证明:记Y =X -μσ,Y i =X i -μσ
,i =1,2,…,
n ,则Y ~N (0,1),Y 1,Y 2,…,Y n 独立同分布于N (0,1),记:
Y ⎺=1
n
n
i =1
∑Y
i
(7)
S 2
Y =1
n-1
n
i =1
∑
(Y i -Y ⎺)
2
(8)则:
X ⎺=μ+σY
⎺(9)S 2=σ2S 2
Y ,n √(X ⎺-μ)S =n √Y
⎺
S Y
(10)1
σ2
n
i =1
∑
(X i -μ)2=n
i =1
∑Y 2i
(11)
由费歇定理:Y
⎺~N (0,1/n ),n √Y ⎺~N (0,1),nY
⎺2~χ2(1),(n -1)S 2
Y ~χ2(n -1),且Y
⎺与S 2
Y 相互独立,进而有:
n √Y ⎺S Y ~t (n -1),
n
i =1
∑Y
2i
~χ2(n )(12)即有:
n √(X ⎺-μ)S ~t (n -1),1σ2
n
i =1
∑(X i
-μ)2
~χ
2
(n )(13)
由于
(n -1)S 2
Y =n
i =1
∑
(Y i -Y ⎺)2=n i =1
∑Y 2i -nY 2
(14)n
i =1
∑Y 2
i
=nY ⎺2+(n -1)S 2Y (15)
记Z 1=n √Y
⎺~N (0,1),Z 2=(n -1)S 2
Y ~χ2(n -1)。

由于Z 1,Z 2相互独立,则对-∞<z 1<+∞,z 2≥0,
(Z 1,Z 2)的联合密度为:f z 1
,f z 2
(z 1,z 2)=
12π
√exp (-z 21/2)·1
2
(n -1)
/2
Γ((n -1)/2)
z
(n -1)/2-12
exp (-z 2/2)
=
12π√2(n -1)/2
Γ((n -1)/2)
exp (-z 21/2)z (n -1)/2-1
2exp (-z 2/2)(16)
令T =n √Y ⎺
S Y =n -1√Z 1Z 2√,U =n
i =1∑Y 2i =Z 12+
Z 2。

由于T ~t (n -1),U ~χ2(n ),即T 与U 的密度
函数分别为:
f T (t )=
Γ(n /2)(n -1)π√Γ((n-1)/2)1+t 2n -1()
-n /2
,
-∞<t <+∞
(17)
f U (u )=12n /2
Γ(n /2)u n /2-1exp (-u 2
),u ≥0(18)
由
t =n -1
√y 1
y 2
√u =y 2
1+y 2
⎧⎩
⏐
⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐(19)
可得:
y 1=
t u
√t 2+(n -1)√y 2=(n -1)u t 2
+(n -1)
⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐(20)
J =
(n -1)u √[t 2+(n -1)]3/2
t
2t 2+(n -1)√u
√-2(n -1)ut [t 2
+(n -1)]2n -1t 2
+(n -1)
=(n -1)u √[t 2+(n -1)]3/2
(21)
由此得,对于-∞<t <+∞,u ≥0,
(T ,U )的
联合密度为:
f T ,U (t ,u )=12π√2(n-1)/2Γ((n-1)/2)(n -1)u
√[t 2+(n -1)]
3/2
exp
-t 2u 2[t 2+(n -1)]{
}·(n -1)u t 2
+(n -1)
[]
(n -1)/2-1
exp -(n -1)u 2[t 2+(n -1)]{
}
=
Γ(n /2)(n -1)π√Γ((n-1)/2)
1+t 2
n -1
-n /2
·12n /2Γ(n /2)u n /2-1exp (-u 2
)=f T (t )f U (u )
徐晓岭等院正态分布变差系数的置信区间研究
电子产品可靠性与环境试验2021年
(22)
于是可知:T 与U 相互独立,进而有:n √(X ⎺-u )S 与1σ2n
i =1
∑
(X i -μ)
2
相互独立。

1.2定理2
设总体X ~N (μ,σ2),X 1,X 2,…,X n 为总
体X 的容量为n 的一个简单随机样本,则在给定
置信水平1-α下,参数(μ,σ2)的另一个联合置信域G 2为:
G 2=
(μ,σ2):
X ⎺-S n √t β/2(n -1)≤μ≤X ⎺+S n
√t β/2(n -1)n
i =1
∑(X i -μ)
2
χ2β/2(n )
≤σ2≤n
i
=1
∑(X i -μ)
2
χ
2
1-β/2
(n )
⎧⎩
⏐
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎫⎭
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎬⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐(23)
其面积为:S G 2
={[χ
2
1-β/2
(n )]
-1
-[χ2β/2
(n )]
-1
}2S 3
n
√t β/2(n -1){13
[t β/2(n -1)]2+(n -1)}(24)
其中,β=1-1-α√,t β/2(n -1)为t (n -1)分布
的上侧β2分位数,χ2β/2(n ),χ21-β/2(n )分别为χ2(n )
分布的上侧β2,1-β2
分位数。

证明:由引理知,n √(X ⎺-μ)S
~t (n -1),1
σ2
n
i =1
∑
(X i -μ)2~χ2(n ),且n √(X ⎺
-μ)S 与1σ
2
n
i =1
∑
(X i -μ)
2
相互独立。

于是在给定置信水平
1-α下,有:
-t β/2(n -1)≤n √(X ⎺
-μ)S ≤t β/2(n -1)
χ21-β/2(n )≤1σ
2
n
i =1
∑
(X i -μ)2≤χ2β/2(n )
⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐(25)
进而得两个参数(μ,σ2)的置信水平
1-α的另一个联合置信域为:其联合置信域G 2的面积为:
S G 2
={[χ21-β/2(n )]
-1
-[χ2β/2(n )]
-1
}
X ⎺+S
n
√t β/2(n -1)
X ⎺-
S n
√t β/2
(n -1)
∫
n
i =1∑(X i -μ)2
d μ={[χ
2
1-β/2
(n )]-1-[χ2
β/2(n )]-1}2S 3n √t β/2
(n -1){13
[t β/2(n -1)]2+(n -1)}(27)观察正态分布参数(μ,σ2)的联合置信域G 2
可以发现,其中先给出均值μ的区间,然后利用
两个枢轴量的独立性得到方差σ2依赖于均值μ的一个区间。

由于t (n -1)分布的对称性,所得到的均值μ的区间最短,由此方差σ2的区间也会短一点。

由此置信域G 2的面积S G 2
会变得小一些。

下面定理3说明当样本容量n 很大时,两个联合置信域的面积会非常接近。

1.3定理3
设总体X ~N (μ,σ2),X 1,X 2,…,X n 为总
体X 的容量为n 的一个简单随机样本,在给定置信水平1-α下,得到参数(μ,σ2)的两个联合置
信域分别为G 1和G 2,当样本容量n 很大时有:
lim n →+∞
S G
2S G
1
=1(28)
证明:由于t (n -1)分布当n →+∞时,t (n -
1)近似N (0,1),则有lim
n →+∞t β/2(n -1)U β/2=1,又由于
U 1-β/2=-U β/2,由文献[7]知当n →+∞时,χ21-β/2(n )
≈n +2n √U 1-β/2=n -2n √U β/2,χ2β/2(n )≈n +2n √U β/2,进而χ21-β/2(n -1)≈n -1-2(n -1)√U β/2,χ2β/2
(n -1)≈n -1+2(n -1)√U β/2。

[χ21-β/2(n )]-1-[χ2β/2(n )]-1
[χ21-β/2(n -1)]-3/2-[χ2β/2(n -1)]-3/2
≈
1n -2n √U β/2-1n +2n √U β/2
1[n -1-2(n-1)√U β/2]3/2
-1[n -1+2(n-1)√U β/2]3/2
=
记:
A =[n -1+2(n-1)√U β/2]3/2+[n -1-2(n-1)√U β/2]3/2
(30)
22n √U β/2n 2-2nU 2β/2[n -1-2(n-1)√U β/2]3/2[n -1+2(n-1)√U β/2]3/2[n -1+2(n-1)√U β/2]3/2-[n -1-2(n-1)√U β/2]3/2
(29)
G 2=(μ,σ2):
X ⎺-S n
√t β/2(n -1)≤μ≤X ⎺+S n √t β/2(n -1)
n
i =1
∑(X i -μ)2
χ2
β/2
(n )
≤σ2≤n
i
=1∑(X i -μ)2
χ
2
1-β/2
(n )
⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎫⎭
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎬⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐(26)
第2期则:
[n -1-2(n-1)√U β/2]3/2[n -1+2(n-1)√U β/2]3/2[n -1+2(n-1)√U β/2]3/2-[n -1-2(n-1)√U β/2]3/2
=[n -1-2(n-1)√U β/2]3/2[n -1+2(n-1)√U β/2]3/2A 6(n -1)22(n-1)√U β/2+2[2(n-1)]3/2U 3β/2
(31)
进而:
lim n →+∞
S G
2S G
1
=lim
n →+∞
{
[χ21-β/2(n )]-1-[χ2β/2(n )]-1
[χ21-β/2(n -1)]-3/2-[χ2β/2(n -1)]-3/2
t β/2(n -1)U β/2[t β/2(n -1)]2+3(n -1)
2(n -1)3/2
}=
lim
n →+∞
{
22n √U β/2n 2-2nU 2β/2
[n -1-2(n-1)√U β/2]3/2[n -1+2(n-1)√U β/2]3/2A
6(n -1)2+2(n-1)√U β/2+2[2(n -1)]3/2U 3β/2·
t β/2(n -1)U β/2[t β/2(n -1)]2+3(n -1)2(n -1)3/2
}(32)
观察式(32)中分子、分母的n 的最高次幂及
系数都为122√n 6,由此lim n →+∞S G
2S G
1
=1。

2
变差系数的置信区间
设总体X ~N (μ,σ2
),X 1,X 2,…,X n 为总
体X 的容量为n 的一个简单随机样本。

鉴于可靠性工程的实际情况,在此假设X >0,且均值μ>0,
通常可以保证G 2中的μ的区间不含负值。

总体的变差系数为:CV =σ
μ
易见变差系数的点估计为:CV =S
X
⎺2.1变差系数CV 的置信水平1-α的置信区间由定理2得到的参数(μ,σ2)的置信水平1-α的联合置信域G 2包含于如下矩形区域:由此,变差系数的置信水平1-α的置信区间为:
[CV 1,CV 2]。

其中,CV 1=(n -1)S 2χ2β/2(n )√
X ⎺+S n √t β/2(n -1)=S
X ⎺1χ2β/2(n )√n -1
√1+S X
⎺t β/2(n -1)n √(35)
CV 2=
(n -1)S 2χ21-β/2(n ){1+1n -1[t β/2
(n -1)]2}
√
X ⎺-S n √
t β/2(n -1)=
S X
⎺1χ21-β/2(n )√(n -1)+[t β/2(n -1)]2
√1-S X
⎺t β/2(n -1)n √(36)
2.2变差系数CV 的置信水平1-α的单侧置信下限将参数(μ,σ2)的置信水平1-α的联合置信
域G 2取如下形式:G 2=(μ,σ2):
0≤μ≤X ⎺+S n
√t β(n -1)n
i =1
∑(X i
-μ)
2
χ2β/2
(n )
≤σ2≤n
i
=1∑(X i
-μ)
2
χ
2
1-β/2
(n )
⎧⎩
⏐
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎫⎭
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎬⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐(37)
易见:G 2
0≤μ≤X ⎺+S n
√t β(n -1)1χ2
β/2(n )n
i =1
∑(X i -X ⎺)2≤σ2≤1χ21-β/2(n )n
i =1∑X 2i ⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐(38)
由此,变差系数的置信水平1-α的单侧置信
下限为CV 1。

其中,(39)
2.3变差系数CV 的置信水
平1-α的单侧置信上限
将参数(μ,σ2)的置信
水平1-α的联合置信域G 2取如下形式:
G 2
X ⎺-S n √t β/2(n -1)≤μ≤X ⎺+S n
√t β/2(n -1)
1χ2
β/2(n )n
i =1∑(X i -X ⎺)2≤σ2≤1χ21-β/2(n )n
i =1
∑(X i -X ⎺-S n
√t β/2(n -1)2⎧⎩
⏐
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐(33)
即有:G 2
X ⎺-S n √t β/2(n -1)≤μ≤X ⎺+S n
√t β/2(n -1)
(n -1)S 2χ2β/2(n )≤σ2≤(n -1)S 2χ21-β/2(n )
{1+1n -1[t β/2
(n -1)]2}
⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐(34)
CV 1=
S
n -1χ2
β/2
(n )
√
X ⎺+S n √t β(n -1)=S
X
⎺1χ2β/2(n )√n -1√1+S X
⎺t β(n -1)n √√徐晓岭等院正态分布变差系数的置信区间研究
电子产品可靠性与环境试验
2021年
易见:G 2
X ⎺-S n √t β/2(n -1)≤μ≤X ⎺+S n √t β/2(n -1)
0≤σ2≤
1χ2
1-β
(n )n
i =1
∑(X i -X ⎺-S n
√t β/2(n -1))2⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐(41)
即有:G 2
X ⎺-S n √t β/2(n -1)≤μ≤X ⎺+S n
√t β/2(n -1)
0≤σ2≤(n -1)S 2
χ21-β(n )
{1+1n -1[t β/2(n -1)]2}
⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐(42)由此,变差系数的置信水平1-α的单侧置信
上限为CV 2。

其中,
CV 2
=(n -1)S 2χ21-β(n ){1+1n -1[t β/2
(n -1)]2}
√
X ⎺-S n
√t β/2(n -1)=S X
⎺1
χ2
1-β(n )√(n -1)+[t β/2(n -1)]2
√1-S X
⎺t β/2(n -1)n √(43)
3算例与总结
a )例1
某车间生产钢丝,其折断力可认为服从正态分布,现从产品中随机抽取10根检查折断力,得到如下数据(单位:N ):5664.4,5605.6,5586.0,5566.4,5605.6,5586.0,5605.6,5586.0,
5840.8,5723.2,取置信水平为0.9,利用文献[4]中的方法计算得到变差系数的置信区间为:
[0.198,0.279]。

其实这个结果是错误的,由于变
差系数的点估计为0.0151,所以文献[4]中的结果不可信,究其原因是置信下限计算错了,用其方法计算得置信区间为:
[0.0089,0.279]。

另外,
可以计算得到变差系数的置信水平0.9的置信下限为0.0107、置信上限为0.1399.
利用本文中的方法计算得:置信区间为
[0.0099,0.0317],单侧置信下限为0.0100,单
侧置信上限为0.0288,相比而言利用文献[4]中的方法所得到的置信区间的上限及单侧置信上限要大得多。

b )例2
文献[8]提供了一个模拟算例。

正
态分布总体取为N (1.5,0.12),变差系数CV 的真值为0.06667,通过正态分布
N (1.5,0.12)产生8个随机数:1.3420,1.4921,
1.4318,1.3975,1.3766,1.5289,1.4571,
1.5056,计算得x =1.44145,s =0.06622,变差系
数的点估计为0.04594,置信水平分别取为0.9与0.8,当置信水平取0.9时,利用本文中的方法得到:置信区间为[0.0280,0.1139],单侧置信下限为0.0282,单侧置信上限为0.1017;而利用文献[4]中的方法得到:置信区间为[0.0256,0.8009],单侧置信下限为0.0305,单侧置信上限
为0.3997。

相比而言利用文献[4]中的方法所得到的置信区间的上限及单侧置信上限要大得多。

当置信水平取0.8时,利用本文中的方法得
到:置信区间为[0.0301,0.0918],单侧置信下限为0.0303,单侧置信上限为0.0811。

而利用文献[4]中的方法得到:置信区间为[0.0305,
0.3997],单侧置信下限为0.0392,单侧置信上限为0.1982。

相比而言利用文献[4]中的方法所得到的置信区间的上限及单侧置信上限偏大。

4结束语
从上面给出的正态分布变差系数的置信区间、
单侧置信下限和单侧置信上限的计算公式及算例来看,本文中提出的方法不仅计算简单,而且计算公式仅依赖于样本的变差系数,这为正态分布变差系数置信区间的研究提供了一个较为有效的工具,其将有助于改善已有的正态分布变差系数的应用成果,例如:结构可靠性的设计与估计、质量稳定性的评定等。

参考文献院
[1]周源泉,翁朝曦.正态分布变差系数的置信上限插值问题[J].质量与可靠性,1987(6):25-28.[2]周源泉.正态变差系数的经典限[J].应用数学和力学,1989,10(5):411-418.
[3]周源泉,李宝盛.II 型截尾时正态变差系数的精确上限[J].质量与可靠性,2013(6):1-4.[4]孙祝岭.正态分布变差系数的置信区间[J].兵工学报,2009,30(7):911-914.
总体分布的联合置信域[J].淮阴师范
G 2=(μ,σ2
):
X ⎺-S n √t β/2(n -1)≤μ≤X ⎺+S n
√t β/2(n -1)
0≤σ2≤n
i
=1
∑
(X i -μ)2
χ
2
1-β
(n )
⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎫⎭
⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎬⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐(40)
第2期
学院学报,2004,3(1):1-3.
[6]马春琳.双参数分布参数的联合置信域及最优化研究
[D].上海:华东师范大学,2008.
[7]徐晓岭,王蓉华.概率论与数理统计[M].上海:上海
交通大学出版社,2013:273.
[8]朱炜.小样本下正态分布可靠度评估方法[J].质量与可
靠性,2006(6):17-19.
徐晓岭等院正态分布变差系数的置信区间研究
2021年《电子产品可靠性与环境试验》杂志
增刊征文通知
随着工业和信息化科技与产品的迅速发展,质量与可靠性的科学技术渗透到工业和信息化的各个领域,质量与可靠性和环境适应性问题也越来越受到广泛的关注。

为了扩大质量与可靠性和环境适应性技术的应用范畴,推动科技工作的不断创新和持续发展,起到总结、提高、借鉴和促进的作用,并解决文稿积压过多、文章发表周期过长的问题,由工业和信息化部主管、工业和信息化部电子第五研究所主办的国内外公开发行、质量与可靠性和环境适应性领域中具有权威性、影响力的专业科技期刊——
—《电子产品可靠性与环境试验》杂志决定以增刊的形式,预定在2021年6月底、2021年10月各出版一期增刊。

本刊是科研单位、大专院校等高、中级职称论文资格认定认可期刊。

欢迎专家、学者、工程技术人员积极撰写论文,踊跃投稿,6月增刊征文截止时间为2021年4月30日、10月增刊征文截止时间为2021年7月21日。

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稿件的具体要求请参见本刊“投稿须知”。

《电子产品可靠性与环境试验》编辑部
2021年2月4日
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