高考二轮复习专题限时集训：数学(理) 第15讲 直线与圆

专题限时集训(十五)A
[第15讲 直线与圆]
(时间：10分钟＋25分钟)
1．圆x 2
＋y 2
－4x ＋6y ＝0A ．(2,3) B ．(－2,3)
C ．(－2，－3)
D ．(2，－3)
2．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3
3．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ，则两条直线l 1：x sin 2A ＋y sin A ＝a 与l 2：x sin 2B ＋y sin C ＝c 的位置关系是( )
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．相交不垂直
4．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2
的方程为( )
A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1
D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1
1．直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1l 2的斜率是( )
A.7 B ．－7
7
C.7
7 D ．－7
2．已知等边△ABC 的两个顶点A (0,0)，B (4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是( )
A ．y ＝－3x
B ．y ＝－3(x －4)
C ．y ＝3(x －4)
D ．y ＝3(x ＋4)
3．已知a >0、b <0、c >0，则直线ax ＋by ＋c ＝0必不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2
5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦
⎤－3
4，0 B.⎝
⎛⎦⎤－∞，－3
4∪[0，＋∞)
C.⎣⎡⎦⎤
－
33，
33 D.⎣⎡⎦
⎤－2
3，0 6．已知曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0和曲线C 2：y ＝x cos θ－sin θ(θ为锐角)，则C 1与C 2的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．以上情况均有可能
7．将直线l 1：x －y －3＝0绕它上面一定点(3,0)沿逆时针方向旋转15°得直线l 2，则l 2
的方程为________．
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．
专题限时集训(十五)B
[第15讲 直线与圆]
(时间：10分钟＋25分钟)
1．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x m ＝________.
2．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．
3．已知点A (－1,1)和圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0，一束光线从点A 出发，经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是________．
4．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；
(2)圆C 上任意一点A 到直线l ________．
1．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2
＝4(y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 等于( )
A. 2 B ．2－ 2 C.2＋1 D.2－1
2．已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )
A ．(－22，22)
B ．(－2，2)
C.⎝⎛⎭
⎫－24，2
4
D.⎝⎛⎭
⎫－18，18 3．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝⎛⎭⎫θ≠π
2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切
C ．相交
D ．不能确定
4．方程x －1lg(2＋y 2－1)＝0所表示的曲线图形是( )
图15－5．已知圆的方程为x 2
＋y 2
－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．10 6
B ．20 6
C ．30 6
D ．40 6
6．曲线y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎦⎤512，34
B.⎝⎛⎭⎫5
12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫13，34 D.⎝⎛⎭
⎫0，512 7．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；
④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线．
8．若从点P (－3,3)发出的光线l 经x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，则直线l 的方程是________．
专题限时集训(十五)A
【基础演练】
1．D 【解析】 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，选D.
2．B 【解析】 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.
3．B 【解析】 由已知得sin 2
B ＝sin A sin
C ，故sin 2A sin 2B ＝sin A sin C ＝a
c
，从而两直线重合．
4．B 【解析】 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C 2
的圆心为(a ，b )，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧
a －12－
b ＋12－1＝0，
b －1
a ＋1＝－1，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝2，
b ＝－2，
对
称圆的半径不变，为1，故选B.
【提升训练】
1．A 【解析】 画出图形，根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系，再判断其斜率之间的关系．如图，显然直线l 2的斜率为7.
2．C 【解析】 点A ，B 在x 轴上，第三个顶点在第四象限，说明直线BC 的倾斜角是60°，又直线经过点B (4,0)，故所求的直线方程是y ＝3(x －4)．如图．
3．D 【解析】 斜率大于0，且在x 轴上的截距－c a <0，在y 轴上的截距－c
b >0，由图
形分析即得．如图．
4．C 【解析】 当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率存在，两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的条件为3－k
4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5，但必须满足截距不相
等，检验知满足这个条件．
5．C 【解析】 根据直线与圆的位置关系，问题等价于圆心到直线的距离不大于1.根据已知|2k －3＋3|1＋k 2
≤1，即k 2≤13，
即－
33≤k ≤33，所以k ∈⎣⎡⎦
⎤－33，3
3时，弦长|MN |≥2 3. 6．A 【解析】 圆心坐标是(1,0)，r ＝1，圆心到直线的距离是|cos θ－sin θ|
1＋cos 2θ＝1－sin2θ
1＋cos 2θ
<1.注意其中θ为锐角的限制．
7.3x －y －33＝0 【解析】 已知直线的倾斜角是45°，旋转后直线的倾斜角增加了15°，由此即得所求直线的倾斜角，进而求出斜率和直线方程．直线l 2的倾斜角为60°，斜率为3，故其方程为y －0＝3(x －3)，即3x －y －33＝0.
8．(－13,13) 【解析】 直线12x －5y ＋c ＝0是平行直线系，当圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到该直线的距离等于1时，需保证圆心到直线的距离小于1，即|c |
13<1，故－13<c <13.
本题考查直线与圆的位置关系，这类试题一般是通过圆心到直线的距离作出判断，转化为圆心到直线的距离问题加以解决．
专题限时集训(十五)B
【基础演练】
1．1 【解析】 ∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0， ∴1×2－2×m ＝0，即m ＝1.
2．1或17
7 【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的
方程为y ＋2＝k (x ＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|
1＋k 2
＝
1－⎝⎛
⎭⎫222
＝22
，解得k ＝1或177.
3．8 【解析】 如图，
易知最短距离过圆心，首先找出A (－1,1)关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，则最短距离为|CA ′|－r ，又圆的方程可化为：(x －5)2＋(y －7)2＝22，则圆心C (5,7)，r ＝2，则|CA ′|－r ＝(5＋1)2＋(7＋1)2－2＝10－2＝8，即最短路程为8.
4．(1)5 (2)1
6 【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d ＝|－25|32＋4
2＝5；
(2)当圆C 上的点到直线l 的距离是2时有两个点为点B 与点D ，设过这两点的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，同时可得到的圆心到直线4x ＋3y ＋c ＝0的距离为OC ＝3，
又圆的半径为r ＝23，可得∠BOD ＝60°，由图可知点A 在弧BD 上移动，弧长l BD ＝16×c ＝c
6，圆周长为c ，故P (A )＝l BD c ＝16
. 【提升训练】
1．D 【解析】 根据题意知，圆心到直线的距离为1，即|a －2＋3|2＝1，a >0，解得a
＝2－1.本题要注意条件a >0，考生解题时往往忽视在小括号内的已知条件．
2．C 【解析】 根据圆心到直线的距离小于圆的半径得直线斜率k 的不等式．圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点线距离公式得|k ＋2k |k 2＋1
<1，即k 2<18，解得－24<k <24.
3．A 【解析】 圆心到直线的距离d ＝11＋sin 2θ，根据θ的取值范围知0≤sin 2
θ<1，
故d >
12
＝r .注意条件θ≠π
2＋k π，k ∈Z 时，sin θ≠±1.
4．D 【解析】 x －1lg(x 2＋y 2
－1)＝0等价于⎩⎨⎧
x 2
＋y 2
－1>0，x －1＝0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
lg (x 2＋y 2
－1)＝0，x >1，故选项D 中的图形正确．注意其中的变量的限制条件．
5．B 【解析】 最长弦是过圆心的弦，最短的弦是过点(3,5)和直径垂直的弦．圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，故最长的弦长为10，最短弦为225－1＝4 6.四边形ABCD 的
面积是1
2×10×46＝20 6.对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
6．A 【解析】 曲线y ＝1＋4－x 2为一个半圆，直线y ＝k (x －2)＋4为过定点的直线系，数形结合、再通过简单计算即可．曲线和直线系如图，当直线与半圆相切时，由|－2k －1＋4|1＋k 2
＝2，解得k ＝512，又k AP
＝34，所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.
7．①③⑤ 【解析】 ①正确，比如直线y ＝2x ，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝1
3不通过任何整点；⑤正确，比如直线y ＝3x －3只经过一个整点
(1,0)．
8．3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0 【解析】 方法1：设入射光线所在的直线方程为y －3＝k (x ＋3)，则反射光线所在的直线的斜率k ′＝－k ，点P 关于x 轴的对称点P ′(－3，－3)在反射光线所在的直线上，故反射光线所在的直线方程即为y ＋3＝－k (x ＋3)，该直线
应与圆相切，故得|2k ＋2＋3＋3k |1＋k 2
＝1，所以12k 2
＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43.
所以所求的直线方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.
方法2：设圆C 关于x 轴对称的圆为圆C ′，则圆C ′的圆心坐标为(2，－2)，半径为1.设入射光线所在的直线方程为y －3＝k (x ＋3)，则该直线与圆C ′相切，类似解法1同样可得直线l 的方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.。