郊区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(2)

郊区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则
的值为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 与函数 y=x 有相同的图象的函数是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2
4． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．2
6． （2015秋新乡校级期中）已知
x+x ﹣1=3，则
x 2+x ﹣2等于（ ）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
7． 设集合M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，若M ∩N ≠￠，则k 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣1]
B ．[﹣1，+∞）
C ．（﹣1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）
8． 若等式（2x ﹣1）2014=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2014x 2014
对于一切实数x 都成立，则a 0+
1+
a 2+…+a 2014=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．0
9． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ） A ．（﹣1，2]
B ．（﹣2，2]
C ．[﹣2，2]
D ．[﹣2，﹣1）
10
．双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
11．若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，
若
=
+x
+y ，
则（ ）
A ．x=
﹣ B ．
x= C ．x=
﹣ D ．
x=
二、填空题
13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －5≤0
2x －y －1≥0x －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．
14．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为
|PF|=
． 15．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2
ln f x x x =-的单调递增区间为__________．
16．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧
面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面
AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.
17．若关于x ，y 的不等式组（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则
k= ．
18．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB 1的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…，若从点O 到点A 3的回形线为第1圈（长为7），从点A 3到点A 2的回形线为第2圈，从点A 2到点A 3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为 ．
三、解答题
19．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[
，+∞）上是增
函数．
（1）已知函数f （x ）=x+，x ∈[1，3]，利用上述性质，求函数f （x ）的单调区间和值域；
（2）已知函数g （x ）=
和函数h （x ）=﹣x ﹣2a ，若对任意x 1∈[0，1]，总存在x 2∈[0，1]，
使得h （x 2）=g （x 1）成立，求实数a 的值．
20．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r （],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t a
a ì=+ïí=+ïî
（t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C
的参数方程；
（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝1
2
x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .
（1）记曲线y ＝g （x ）关于直线y ＝x 对称的曲线为y ＝h （x ），且曲线y ＝h （x ）的一条切线方程为mx －y －1＝0，求m 的值；
（2）讨论函数φ（x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a 的取值范围．
22．（本小题满分16分）
给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；
（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
23．全集U=R ，若集合A={x|3≤x ＜10}，B={x|2＜x ≤7}， （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩（∁U B ）；
（2）若集合C={x|x ＞a}，A ⊆C ，求a 的取值范围．
24．已知函数f（x）=的定义域为A，集合B是不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集．（Ⅰ）求A，B；
（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
郊区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：F
1，F 2为椭圆
=1的两个焦点，可得F 1（﹣
，0），F 2（
）．a=2，b=1．
点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，PF 1⊥F 1F 2，
|PF 2|=
=，由勾股定理可得：|PF 1|=
=．
==．
故选：C ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
2． 【答案】D
【解析】解：A ：y=的定义域[0，+∞），与y=x 的定义域R 不同，故A 错误
B ：与y=x 的对应法则不一样，故B 错误
C ：=x ，（x ≠0）与y=x 的定义域R 不同，故C 错误
D ：，与y=x 是同一个函数，则函数的图象相同，故D 正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以
()1
4160,2
λλ+-==
，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 4． 【答案】B
【解析】解：由于α是△ABC 的一个内角，tan α=，
则
=，又sin 2α+cos 2α=1，
解得sin α=，cos α=（负值舍去）．
则cos（α+）=cos cosα﹣sin sinα=×（﹣）=．
故选B．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．
5．【答案】A
【解析】
试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．
考点：几何体的结构特征．
6．【答案】A
【解析】解：∵x+x﹣1=3，
则x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．【答案】B
【解析】解：∵M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，
若M∩N≠￠，
则k≥﹣1．
∴k的取值范围是[﹣1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．
8．【答案】B
【解析】解法一：∵，
∴（C为常数），
取x=1得，
再取x=0得，即得，
∴，
故选B．
解法二：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．
9．【答案】C
【解析】解：由f（x）=x2﹣6x+7=（x﹣3）2﹣2，x∈（2，5]．
∴当x=3时，f（x）min=﹣2．
当x=5时，．
∴函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是[﹣2，2]．
故选：C．
10．【答案】D
【解析】解：双曲线：的a=1，b=2，c==
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==
故选D
11．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，
∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，
即a=1，b=0．
∴a+b=1．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
12．【答案】A
【解析】解：根据题意，得；
=+（+）
=++
=﹣
+，
又∵
=+x
+y
，
∴x=﹣，y=， 故选：A ．
【点评】本题考查了空间向量的应用问题，是基础题目．
二、填空题
13．【答案】 【解析】
约束条件表示的区域如图， 当直线l ：z ＝2x ＋by （b ＞0）经过直线2x －y －1＝0与x －2y ＋1＝0的交点A （1，1）时，z min ＝2＋b ，∴2＋b
＝3，∴b ＝1. 答案：1
14．【答案】 5 ．
【解析】解：P （1，4）为抛物线C ：y 2
=mx 上一点，
即有42
=m ，即m=16， 抛物线的方程为y 2
=16x ，
焦点为（4，0），
即有|PF|==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
15．【答案】⎛ ⎝⎭
【解析】
16．【答案】
⎣⎦【解析】
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
17．【答案】﹣1或0．
【解析】解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：
kx﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）
由关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，
可得直线kx﹣y+1=0与y轴垂直，此时k=0或直线kx﹣y+1=0与y=x垂直，此时k=﹣1
综上k=﹣1或0
故答案为：﹣1或0
【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx﹣y+1=0与y 轴垂直或与y=x垂直，是解答的关键．
18．【答案】63．
【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7
第二圈长为：2+3+4+4+2=15
第三圈长为：3+5+6+6+3=23
…
第n圈长为：n+（2n﹣1）+2n+2n+n=8n﹣1
故n=8时，第8圈的长为63，
故答案为：63．
【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增，
f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=；
f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5
所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]．
（2）y=g（x）==2x+1+﹣8
设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=﹣8，
由已知性质得，
当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]；
由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．
因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．
根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集，
从而有，所以a=．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(222≥=+y y x 相切时 21|
22|2=+-k k
0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B ，2
AB k ==- 故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--.
21．【答案】
【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ，
设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0），
由h （x ）＝ln x 得
h ′（x ）＝1x
，（x ＞0）， 则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝m mx 0－ln x 0－1＝0
， 解得x 0＝m ＝1.
∴m 的值为1.
（2）φ（x ）＝12
x 2＋x ＋a －e x ， φ′（x ）＝x ＋1－e x ，
令t （x ）＝x ＋1－e x ，
∴t ′（x ）＝1－e x ，
当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0，
x ＝0时，t ′（x ）＝0.
∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0，
即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立，
即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减，
且当a ＝1有φ（0）＝0.
∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0，
当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0，
即（a －1）（a －2e －32
）＜0， ∴1＜a ＜2e －32，即a 的取值范围为（1，2e －32
）．
22．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点．
【解析】
试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241
x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <， 4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：（1） ()2a f x x x
=-′
由已知，(1)0f =′即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意 所以 2a = ………………………………………4分
因为(]0,1x ∈，所以[)11,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)22ln 6m x x x x =--+
所以(
)
)()1222221x m x x x x =--+==′ ………12分
当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m
所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分
32
41-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，84248
12(21))0e e e m e e -++-=>（ 4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知： 函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，
所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分
考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性
【思路点睛】
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵A={x|3≤x ＜10}，B={x|2＜x ≤7}，
∴A∩B=[3，7]；A∪B=（2，10）；（C U A）∩（C U B）=（﹣∞，3）∪[10，+∞）；
（2）∵集合C={x|x＞a}，
∴若A⊆C，则a＜3，即a的取值范围是{a|a＜3}．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，化为（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴函数f（x）=的
定义域A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；
由不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0化为（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，又a+1＞a，∴x＞a+1或x＜a，
∴不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集B=（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）；
（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B．
∴，解得﹣1≤a≤1．
∴实数a的取值范围[﹣1，1]．。