2022-2023学年江苏省南通市如皋中学高一上学期8月综合测试数学试题(解析版)

2022-2023学年江苏省南通市如皋中学高一上学期8月综合
测试数学试题
一、单选题
1．设集合(){},|20A x y x y =-=，{}2
|23B y y x x =-=+，则A B =（ ）
A ．{}1,3
B ．()(){}1,2,3,6
C ．{}2|y y ≥
D ．∅
【答案】D
【分析】根据两集合元素的特征判断即可；
【详解】解：因为集合A 为点集，集合B 为数集，所以A B =∅， 故选：D
2．命题“21,0x x x ∀>->”的否定为（ ） A ．21,0x x x ∀>-≤ B ．21,0x x x ∃>-≤ C ．21,0x x x ∀≤-≤ D ．21,0x x x ∃≤-≤
【答案】B
【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可． 【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：1x ∃>，20x x -≤， 故选：B.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定问题，正确解题的关键是要明确全称命题的否定是特称命题，注意表达形式即可. 3．设R x ∈，则“0x >”是“3x >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又非必要条件 【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的概念以及集合之间的关系进行判断. 【详解】因为x ∈R ，所以集合{|3}x x >是集合{|0}x x >的真子集， 所以“0x >”是“3x >”的必要非充分条件，故A ，C ，D 错误. 故选：B.
4．若非空且互不相等的集合M ，N ，P 满足：M N M ⋂=，⋃=N P P ，则M P =（ ）
. A ．∅ B ．M
C ．N
D ．P
【答案】D
【分析】根据集合间的关系分析即可. 【详解】由M N M ⋂=可得，M N ⊆
⋃=N P P 可得N P ⊆
故M P ⊆ 故M
P P =
故选：D
5．不等式23180x x -++<的解集为（ ） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<<
【答案】A
【分析】根据二次不等式的解法求解即可. 【详解】23180x x -++<可化为23180x x -->， 即()()630x x -+>，即6x >或3x <-． 所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-. 故选：A
6．若全集U =R ，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{3,4,5}
B ．{0,1,2}
C ．{0,1,2,3}
D ．{4,5}
【答案】A
【分析】根据图象判断出阴影部分为(
)R
A B ，由此求得正确答案.
【详解】{}R |3B x x =≥，
由图象可知，阴影部分表示(){}R 3,4,5A B ⋂=. 故选：A
7．命题“2R,(2)2(2)40x a x a x ∃∈-+--≥”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．{2|a a <-或2}a ≥
B ．{}22a a -<<
C ．{}22a a -<≤
D ．{}2a a <
【答案】C
【分析】先得出2R,(2)2(2)40x a x a x ∀∈-+--<为真命题，再分2a =与2a ≠两种情况，得到不等式，求出实数a 的取值范围.
【详解】由题意得：2R,(2)2(2)40x a x a x ∀∈-+--<为真命题， 当2a =时，40-<，满足要求，
当2a ≠时，要满足()()()2
20
Δ424240a a a -<⎧⎪⎨=---⨯-<⎪⎩
， 解得：22a -<<，
综上：实数a 的取值范围是{}22a a -<≤ 故选：C
8．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是
A ．6
B
C ．4
D ．23
【答案】B
【分析】根据2
2x y xy +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，将等式转化为不等式，求x y +的最大值.
【详解】()2
2211x y xy x y xy ++=⇒+-=,
2
2x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，
()2
2
12x y x y +⎛⎫
∴+-≤ ⎪⎝⎭
，
解得
()2
314
x y +≤，x y +≤
x y ∴+故选B.
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.
二、多选题
9．已知,,R a b c ∈，下列命题为真命题的是( )
A ．若0a b <<，则22a ab b <<
B ．若a b >，则22ac bc
C ．若22ac bc >，则a b >
D ．若1a b >>，则
11b b
a a
+>+ 【答案】BCD
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】对于选项A ，若0a b <<，则22a ab b >>，故A 错误； 对于选项B ，若a b >，∵20c ，∴22ac bc ，故B 正确； 对于选项C ，若22ac bc >，则20c >，故a b >，故C 正确； 对于选项D ，若1a b >>，则(1)(1)ab a ab b a b b a +>+⇒+>+⇒11b b
a a
+>+，故D 正确． 故选：BCD ． 10．若p ：
511
x
x -≤+，则p 成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．12x -≤≤ B ．21x -<≤- C ．25x << D ．25x ≤≤
【答案】CD
【分析】解出不等式，然后根据条件p 成立的一个充分不必要条件，转化为子集关系，即可得到结果. 【详解】
()()4210542101110x x x x
x x x ⎧-+≤--≤⇒≤⇒⎨+++≠⎩
，解得1x <-或2x ≥ 又
()()[)2,5,12,⊆-∞-⋃+∞
[]()[)2,5,12,⊆-∞-⋃+∞
则p 成立的一个充分不必要条件是()2,5和[]2,5 故选:CD.
11．下列命题中，真命题的是（ ） A ．x ∀∈R ，都有21x x x -≥-
B ．()1,x ∃∈+∞，使得4
61
x x +=- C ．任意非零实数,a b ，都有2b a
a b +≥
D ．函数2y 2
【答案】AB
【分析】对于A ，配方即可判断；对于B ，当2x =即可判断；对于C ，令a b =-，即可判断；对于D ，由基本不等式即可判断. 【详解】对于A ，()2
2110x x x x -≥-⇒-≥， 所以x ∀∈R ，都有21x x x -≥-成立，故为真命题.
对于B ，显然当2x =时，4
61
x x +
=-成立，故为真命题. 对于C ，当a b =-时，则()112b a
a b
+=-+-=-，故不成立，为假命题.
对于D ，2
2y =
≥=
即291x +=，显然无解，即取不到最小值2，故不成立，为假命题. 故选:AB.
12．设所有被4除余数为(0k k =，1，2，3)的整数组成的集合为k A ，即{}4,Z k A x x n k n ==+∈，则下列结论中正确的是（ ）
A ．22022A ∈
B ．若3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈
C ．31A -∈
D ．若k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈ 【答案】ACD
【分析】根据题目给的定义，逐一分析即可．
【详解】解：202245052=⨯+，所以22022A ∈，故A 正确；
若3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈或2a A ∈，1b A ∈或0a A ∈，3b A ∈或3a A ∈，0b A ∈，故B 错误；
()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；
令4a n k =+，4b m k =+，,m n ∈Z ，则()40a b n m -=-+，Z n m -∈，故0a b A -∈，故D 正确． 故选：ACD ．
三、填空题
13．设集合{}2421A m m =--，，，{}951B m m =--，，，又{}9A B ⋂=，求实数m =_____．
【答案】3-
【分析】根据{}9A B ⋂=得出219m -=或29m =，再分类讨论得出实数m 的值. 【详解】因为{}9A B ⋂=，
所以9A ∈且9B ∈，
若219m -=，即5m =代入得{}{}4925904A B =-=-，
，，，，， {}49A B ∴⋂=-，不合题意；
若29m =，即3m =±．
当3m =时，{}459A =-，
，，{}922B =--，，与集合元素的互异性矛盾； 当3m =-时，{}479A =--，
，，{}984B =-，，，有{}9A B ⋂=符合题意； 综上所述， 3m =-． 故答案为：3-
14．已知集合M 满足{1,2}⊆M {1,2,3,4,5,6}，则满足条件的集合M 有________个.
【答案】15
【分析】根据子集及真子集的概念，确定M 的个数为{3,4,5}子集个数去掉1个即可求解.
【详解】因为{1,2}⊆M
{1,2,3,4,5,6}，
所以M 中含有元素1，2，且M 是{1,2,3,4,5,6}真子集，
所以M 可以是集合{}1,2与集合{3,4,5,6}的子集的并集，且不能为{1,2,3,4,5,6}， 所以M 共有42115-=个， 故答案为：15.
15．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{2x x ≤-或}3x ≥，则关于x 不等式20cx bx a ++<的解集为_________.
【答案】1123x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭
【分析】由已知可知0a <，且2-和3是方程20ax bx c ++=的两根，再根据根与系数的关系得到,6b a c a =-=-，将不等式20cx bx a ++<等价转化求解即可. 【详解】解：由关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{2x x ≤-或}3x ≥， 可知0a <，且2-和3是方程20ax bx c ++=的两根， 故由根与系数的关系得1,6b c
a a
-
==-， ,6b a c a ∴=-=-，又0a <
故关于x 不等式20cx bx a ++<等价为260ax ax a --+<，
即2610x x +-<，即()()31210x x -+<，解得1123x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭，
故答案为：1123x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭
16．若集合2
14x a A x x ⎧⎫
+==⎨⎬-⎩⎭
为单元集，则实数a 的取值集合为_________. 【答案】172,2,4⎧⎫--
⎨⎬⎩
⎭
【分析】根据方程
214
x a
x +=-只有一个根求解即可． 【详解】由题可知关于x 的方程2
14
x a
x +=-只有一个解， 方程变形为
()()
122x a
x x +=+-，
当a =±2时，方程均仅有一个解，满足题意； 当a ≠±2时，方程化为240x x a ---=， 由0∆=得17
4
a =-
； 综上，实数a 的取值集合为172,2,4⎧⎫--⎨⎬⎩
⎭
． 故答案为：172,2,4⎧⎫--
⎨⎬⎩
⎭
．
四、解答题
17．设全集U =R ，集合{}14A x x =≤<，{}23B x a x a =≤<-． （1）若2a =-，求B A ⋂，U B C A ⋂； （2）若A B A =，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[)1,4B
A =，或}45x ≤<；（2）1a ≤-
【分析】(1)由集合A 求出其补集，直接利用集合的运算即可； (2)由A B A =即A B ⊆，求参数的取值范围. 【详解】（1）集合{}14A x x =≤<，或}4x ≥，
2a =-时，{}45B x =-≤<， 所以[)1,4B
A =，
或}45x ≤<
（2）若A B A =则A B ⊆，所以2134a a ≤⎧⎨-≥⎩
，解得1a ≤-，
所以所求a 的取值范围为1a ≤-．
【点睛】本题考查了集合交、补集的运算以及集合的关系，属于较易题. 18．（1）求函数234
(1)1
x x y x x ++=
>-+的最小值. （2）已知0a >，0b >，且2ab a b =+，求2+a b 的最小值.
【答案】（1）1；（2）9
【分析】（1）利用配凑法再分离常数得到()2
111
y x x =++
++，利用基本不等式即可； （2）对条件变形得到2
11b
a
+=，利用基本不等式“1”的妙用求最值.
【详解】（1）解：()()()()2
2
2
13112342
111111
x x x x x x y x x x x x +++++++++====+++++++ ，
1,10x x >-∴+>，
()2
1111
y x x =++
+≥+，
当且仅当2
11
x x +=
+时，即1x 时，函数有最小值1； （2）由题意2ab a b =+， 21
1b a
∴+=，又0a >，0b >，
()212222559a b
a b a b b a b a ⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪⎝⎭，
当且仅当
22a b b a
=，即a b =是等号成立， 结合2ab a b =+，知3a b ==时，2+a b 有最小值为9.
19．定义一种新的集合运算∆：Δ{A B x x A =∈，且}x B ∉．若集合{}
24920A x x x =++< ，{}12B x x =-<< ，M B A =∆．
(1)求集合M ；
(2)设不等式()()220x a x a -+-<的解集为P ，若x P ∈是x M ∈的必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)1
24x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭
(2)1{|8a a <-或9
}4
a >
【分析】（1）先化简集合A ，再根据题中定义的新集合运算求解即可；
（2）由若x P ∈是x M ∈的必要条件得到M 与P 的关系，对集合P 对于方程的跟2,2a a -大小分类讨论得到集合P ，再写出满足条件的不等式组，解不等式即可.
【详解】(1)解：
{}
21492024A x x x x x ⎧⎫
=++<=-<<-⎨⎬⎩
⎭，{}12B x x =-<< ，
故Δ{,M B A x x B ==∈ 且}x A ∉R
A B =⋂
{}12{2x x x x =-<<⋂≤-或1
}4
x ≥-
1
24x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭
；
(2)若x P ∈是x M ∈的必要条件，则M P ⊆，
①当22a a >-即23a >时，{}22P x a x a =-<<，则124222
3a a a ⎧
-<-⎪⎪≥⎨⎪⎪>
⎩，即9
4a >，
②当22a a <-即2
3<a 时，{}22P x a x a =<<-，则124222
3a a a ⎧<-⎪⎪-≥⎨⎪⎪<
⎩，即18a <-，
③当22a a =-即2
3
a =
时，P 是空集，此时不满足条件， 综上，所求实数a 的取值范围为1{|8a a <-或9
}4
a >．
20．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】(1)10米 (2)(424806)+平方米
【分析】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，则200
y x
＝
由题意，列出关于x 的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为26x +米，宽为200
4x
+米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．
【详解】(1)设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为200平方米，得200
y x
=， 因为矩形草坪的长比宽至少多10米， 所以
200
10x x
≥+，又0x >， 所以2102000x x +-≤，解得010x <≤， 所以宽的最大值为10米；
(2)记整个绿化面积为S 平方米，由题意得，
200150
(26)(4)(26)44248424S x y x x x x ⎛⎫⎛
⎫=++=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
x =(424+平方米
21．设a b c ､､为ABC 的三边，求证：方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有公共根的充要条件是90A ∠= 【答案】证明见解析
【分析】先证明充分性，利用90A ∠=可得22b a c =-，代入两个方程进行求根，发现有公共根；再证明必要性，先把公共根假设为α，代入两个方程，两式相减能得到
()2220a c αα++=，再因为0α≠，所以可以整理得222c b a +=，即90A ∠=
【详解】解：充分性： 因为90A ∠=，
所以方程2220x ax b ++=可化为22220x ax a c ++-=，
所以()()2
20x ax a c a c +++-=，所以()()0x a c x a c +++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
所以该方程有两个根()()12,x a c x a c =-+=--，
同理，另一方程2220x cx b +-=可化为22220x cx c a ++-=，
所以()()2
20x cx c a c a +++-=，所以()()0x c a x c a ⎡⎤⎡⎤+++-=⎣⎦⎣⎦，
所以该方程有两个根()()34,x a c x c a =-+=--， 可以发现13x x =，所以这两个方程有公共根； 必要性：
设α是两方程的公共根，所以2222
2020a b c b αααα⎧++=⎨+-=⎩
①②， 由①②得：()2
220a c αα++=，
若0α=，①式得到20b =即0b =与三角形的边长矛盾，所以0α≠，
所以()a c α=-+，
代入①式得()()2
220a c a a c b +-++=，整理得222c b a +=，
所以90A ∠=；
综上所述，方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有公共根的充要条件是90A ∠=. 22．已知二次函数2()22f x x ax =++．
(1)若15x 时，不等式()3f x ax >恒成立，求实数a 的取值范围．
(2)解关于x 的不等式2(1)()a x x f x ++>（其中R)a ∈．
【答案】
(1)a <
(2)答案见解析.
【分析】（1）结合分离常数法、基本不等式求得a 的取值范围；
（2）将原不等式转化为()()210x ax -+>，对a 进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【详解】(1)不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，
当[1x ∈，5]时，可变形为：222x a x x x
+<=+， 即min 2a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭
，又222x x x x +⋅=
当且仅当2x x
=，即[1,5]
x 时，等号成立， ∴min 2x x ⎛⎫+=
⎪⎝
⎭， 即
a <
∴实数a 的取值范围是：a <
(2)不等式2(1)()a x x f x ++>，即22(1)22a x x x ax ++>++，
等价于2(12)20ax a x +-->，即(2)(1)0x ax -+>，
①当0a =时，不等式整理为20x ->，解得：2x >；
当0a ≠时，方程(2)(1)0x ax -+=的两根为：11x a =-
，22x =， ②当0a >时，可得102a -<<，解不等式(2)(1)0x ax -+>得：1x a
<-或2x >； ③当102
a -<<时，因为12a ->，解不等式(2)(1)0x ax -+>得：12x a <<-； ④当12
a =-时，因为12a -=，不等式(2)(1)0x ax -+>的解集为∅；
⑤当12a <-时，因为12a
-<，解不等式(2)(1)0x ax -+>得：12x a -<<； 综上所述，不等式的解集为：
①当0a =时，不等式解集为(2,)+∞；
②当0a >时，不等式解集为()1,2,a ∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝
⎭； ③当102
a -<<时，不等式解集为1(2,)a -； ④当12
a =-时，不等式解集为∅； ⑤当12a <-时，不等式解集为1(,2)a
-.。