AI4-1归结原理

4.2 命题演算中的归结
4.2.1 归结推理规则 1子句和子句集 一个子句就是一组文字的析取，一个文字或是 一个原子（这时也称为正文字），或者是一 个原子的否定（这时也称为负文字） , 如 P、 Q、 R都是文字，P∨Q∨R是子句。
4.2 命题演算中的归结
文字是原子或其否定 • 子句是文字的析取 • 完备连接符集合： • 合取范式（CNF） （L11 … L1n1) … (Lm1 … Lmnm) • 析取范式（DNF） （L11 … L1n1) … (Lm1 … Lmnm) • 定理： 对任意公式，都有与之等值的合取范式
4.2.3 归结反演合理性和完备性
• 归结原理是合理的 • 归结原理是完备的
4.2.4 归结反演策略
• 有序策略（Order strategies） • Refinement strategies 1.支持集（Set of support）: 每次归结时，参与归结的子句中至少应有一个是由目 标公式的否定所得到的子句，或者是它们的后裔 该策略是完备的 2.线性输入（Linear Input）： ห้องสมุดไป่ตู้参与归结的两个子句中至少有一个是初始子句集中的 子句 该策略是不完备的 3.祖先过滤（Ancestry Filtering） ： 参与归结的两个子句中至少有一个是初始子句集中的 句子，或者是另一个子句的祖先 该策略是完备的
子句集： (1) P (2) ~P~QR (3) ~SQ (4) ~TQ (5) T (6) ~R（目标求反）
归结： (7) ~P~Q (8) ~Q (9) ~T (10) nil
(2, 6) (1, 7) (4, 8) (5, 9)
4.3 谓词演算中的归结
4.3.1 字句型
子句形--SKOLEM标准型
4.2 命题演算中的归结
• 归结方法是一种机械化的,可在计算机 上加以实现的推理方法 • 可认为是一种反向推理形式 • 提供了一种自动定理证明的方法
4.2化子句集的方法
例：(z) (x)(y){[(P(x) Q(x)) R(y)] U(z)} 1, 消蕴涵符 理论根据：a b => ~a b (z) (x)(y){[~(P(x) Q(x)) R(y)] U(z)} 2, 移动否定符 理论根据：~(a b) => ~a ~b ~(a b) => ~a ~b ~(x)P(x)=>(x)~P(x) ~(x)P(x)=>(x)~P(x) (z) (x)(y){[(~P(x) ~Q(x)) R(y)] U(z)}
7, 隐去全程量词
{[~P(x) R(f(x))U(a)] [~Q(x)) R(f(x))U(a)]}
4.2化子句集的方法
8, 表示为子句集
{~P(x) R(f(x))U(a), ~Q(x)) R(f(x))U(a)}
9, 变量标准化（变量换名）
{~P(x1) R(f(x1))U(a), ~Q(x2)) R(f(x2))U(a)}
4.1 引言
归结法的本质上就是一种反证法，它是在归结 推理规则的基础上实现的。为了证明一个命 题P恒真，就证明其反命题 P恒假，即不存在 使得 P为真的解释，由于量词，以及嵌套的 函数符号，使得谓词公式往往有无穷的指派， 不可能一一测试 P是否为真或假。那么如何 来解决这个问题呢？幸运的是存在一个域， 即Herbrand域，它是一个可数无穷的集合， 如果一个公式基于Herbrand解释为假，则就 在所有的解释中取假值。
• 前束范式 (Q1x1)…(Qnxn)M(x1,…,xn) 前束形== ( 前 缀 ) { 母 式 } 量词串 无量词公式 • 定理4.3.1：任何公式G都等价于一个前束范式 • Skolem函数： – 存在量词不出现在全称量词的辖域内,此时只要用一 个新的个体常量(称为Skolem常量)替换受该存在量 词约束的变元就可消去存在量词 – 存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内.此时需 要Skolem函数,该函数的变元就是由那些全称量词所 约束的全称量词量化的变量.Skolem函数所使用的函 数符号必须是新的.
命题逻辑的归结规则可以陈述如下。 设有两个子句：设子句： C1=LC1’,C2=(~L) C2 从中消去互补对,则归结式C为：C=C1’ C2’ ， 这个过程称为归结。没有互补对的两子句 没有归结式。 C1,C2 称为母字句。 因此归结推理规则指的是对两子句作归结， 即求归结式。
归结原理
定理4.1 子句C1和C2的归结式是C1和C2的逻辑推 论。
＝C
得 C1 C2 => C
4.2.2 归结反演
若两个单位子句C1和C2存在归结式，则该归结 式为空子句□，并且C1∧C2等价于□。作为 特殊情况，此时也视□为C1和C2的逻辑推论。 更重要的是，若子句集 S 是不可满足的，则 可以使用归结规则由S产生□。
4.2 命题归结反演过程
• 一般过程: 1)建立子句集S 2)从子句集S出发,仅对S的子句间使用归结推理 规则 3)如果得出空子句• , 则结束;否则转下一步 4)将所得归结式仍放入S中 5)对新的子句集使用归结推理规则 6)转(3) • 空子句不含有文字,它不能被任何解释满足,所以 空子句是永假的,不可满足的 • 归结过程出现空子句,说明出现互补子句对,说明S 中有矛盾,因此S是不可满足的.
子句形--SKOLEM标准型
• Skolem标准型： 没有存在量词的公式。 • 设G是一阶逻辑中的公式，将其 化为Skolem标准型，母式M给出 的子句集S称为公式G的子句集
子句形—化子句集-1
• 谓词公式化为子句形的步骤 x [P(x) [y [P(y) P(f(x,y))] ~y [Q(x,y) P(y)]]] (1)消去蕴含符号:PQ ~P Q x [~P(x)[y[~P(y) P(f(x,y))] ~y [~Q(x,y) P(y)]]] (2)减少否定符号的辖域,把“~”移到紧靠谓词的位置 上 ~(~P) P ~(P Q) ~P ~Q ~(P Q) ~P ~Q ~(x)P (x) ~P ~(x) P (x) ~P x [~P(x)[y [~P(y) P(f(x,y))] y [Q(x,y) ~ P(y)]]]
4.2化子句集的方法
3, 变量标准化 即：对于不同的约束，对应于不同的变量 (x)A(x) (x)B(x) => (x)A(x) (y)B(y) 4, 量词左移 (x)A(x) (y)B(y) => (x) (y) {A(x) B(y)} 5, 消存在量词 (skolem化） 原则：对于一个受存在量词约束的变量，如果他 不受全程量词约束，则该变量用一个常量代替， 如果他受全程量词约束，则该变量用一个函数代 替。 (z) (x)(y){[(~P(x) ~Q(x)) R(y)] U(z)} => (x) {[(~P(x) ~Q(x)) R(f(x))] U(a)}
和析取范式
• 转换方法：一般方法 真值表方法
4.2 命题演算中的归结
定理证明的任务: 由前提A1 A2 ... An 推出结论B 即证明:A1 A2 ... AnB 永真 转化为证明: A1 A2 ... An ~B为永假式 归结推理就是:从A1 A2 ... An ~B出 发,使用归结推理规则来找出矛盾,最后证 明定理A1 A2 ... AnB的成立
证明：设子句：C1=LC1’,C2= ~L C2’,归结式C为：C=C1’ C2’ 因为： LC1’ <=> ~ C1’ L， ~L C2’ <=> L C2’ 所以 C1 C2 ＝ （~ C1’ L） （L C2’） 根据假言三段论（P Q，Q R => P R） （~ C1’ L） （L C2’） => ~ C1’ C2’ ~ C1’ C2’ <=> C1’ C2’
4.1 引言
基于 Herbrand 域， Herbrand 给出了重要的定理， 为不可满足的公式判定过程奠定了基础。 Robinson给出了用于从不可满足的公式推出F 的归结推理规则，使定理机械证明取得了重 要的突破，达到了应用的阶段。
4.1 引言
• 证明的基本思想是： 设F1、…、Fn、G为公式，G为F1、…、Fn的 逻辑推论，当且仅当公式（（F1…Fn）G） 是有效的 • 也可以采用反证法的思想： 设F1、…、Fn、G为公式，G为F1、…、Fn的 逻辑推论，当且仅当公式（F1…Fn G） 是不可满足的 • 归结法的本质上就是一种反证法，它是在归结 推理规则的基础上实现的： 为了证明一个命题P恒真，它证明其反命 题～P恒假，即不存在使得P为真的解释
子句形—化子句集-3
(5)化为前束形: – 把所有的全称量词移到公式的左边,并使每个 量词的辖域包含这个量词后面公式的整个部 分.即得前束形 – 上例变为: x y [~P(x) [[~P(y) P(f(x,y))] [Q(x,g(x))~P(g(x))]]] (6)把母式化为合取范式: – 上例变为: x y [[~P(x) ~P(y) P(f(x,y))] [~P(x) Q(x,g(x))] [~P(x) ~P(g(x))]]
子句形—化子句集-2
(3)变量标准化:重新命名变元名,使不同 量词约束的变元有不同的名字. x[~P(x) [y [~P(y) P(f(x,y))] w [Q(x,w) ~P(w)]]] (4)消去存在量词: x[~P(x) [y[~P(y)P(f(x,y))] [Q(x,g(x))~P(g(x))]]]
4.2化子句集的方法
6, 化为合取范式 即(ab) (cd) (ef)的形式
(x){[(~P(x) ~Q(x)) R(f(x))]U(a)} => (x){(~P(x) ~Q(x)) R(f(x))U(a)} => (x){[~P(x) R(f(x))U(a)] [~Q(x)) R(f(x))U(a)]}
第4章 归结原理及其应用
1930年Herbrand为定理证明建立了一种重要方 法，他的方法奠定了机械定理证明的基础。 机械定理证明的主要突破是1965年由 J.A.Robinson做出的，他建立了所谓的归结原 理，使机械定理证明达到了应用阶段。
4.1 引言
因此，为了证明一组公式蕴涵某个推论，可以 采用反证法的思想，即：F1、…Fn、G为公 式，G为F1、…Fn的逻辑推论，当且仅当公 式（F1∧…∧Fn∧ G）是不可满足的。这样 如果公式F1∧…∧Fn是无矛盾的，那么就证 明了 G的加入产生了矛盾，所以G就是与 F1∧…Fn无矛盾的。
4.2 命题演算中的归结
可以使用各种等价式将任意一个公式 G 转化为 一个合取范式。例如，可以把公式：转化为 如下的合取范式：
一个子句的合取范式（CNF形式）常常表示为 一个子句的集合，即： S= S 称为对应公式的子句集，其中每个元素都是 一个子句。把公式表示为子句集只是为了说 明上的方便。
子句上的归结
归结的例子
设公理集： P, (PQ) R, (ST) Q, T 求证：R 子句集： (1) P (2) ~P~QR (3) ~SQ (4) ~TQ (5) T (6) ~R（目标求反） 化子句集： (PQ) R => ~(PQ)R => ~P~QR (ST) Q => ~ (ST)Q => (~S~T)Q => (~SQ) (~TQ) => {~SQ, ~TQ}
子句形—化子句集-4
(7)消去全称量词: [[~P(x) ~P(y) P(f(x,y))] [~P(x) Q(x,g(x))] [~P(x) ~P(g(x))]] (8)消去连结词符号