第五章 静态场的边值问题共47页文档
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电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
n 1
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
—Chap5 静态场边值问题解法A
n
则X (x)
c
os
(kx
x）
c
os[(2n 1)
2a
x],n 1,2,
若x是齐次边界条件时(这里认为kx的本征函数是正、余弦函数)，则y=0或y=b 处必有非齐次边界，Y(y)的本征函数采用双曲或指数函数形式，否则解为0
(a)
若
( (
y y
0) b)
0
0或
(
y
b)
0
则
本
征
函
数 为s inh(
Chap. 5 静态场边值问题的解法
§5－1 静态场问题的分类
分布型问题
已知场源分布，求各点场强或位函数 （正问题） 已知场分布，求场源的分布 （反/逆问题）
边值型问题
给定空间某一区域内的场源分布，同时给定该区域边界上的 场强或位函数（即边值条件），在这种情况下求解该区域内的 位函数或场分布；
又
12
y y
b 0， 2b 0
1
x
,
y
Asin
a
x sinh
a
b
y，
2 x,
y
B sin
a
x sinh
a
2b
y
1x, y 0 2 x, y 0
2 x,
y
y
1 x,
y
y
y0
0 0
sin x
a
A
sinh
a
b
B
sinh
a
2b
B
cosh
• 若给定的边界条件不足以确定本征值及本征函数，则应根
据迭加原理，将待求场分解成几个场的迭加，而每个场的边
则X (x)
c
os
(kx
x）
c
os[(2n 1)
2a
x],n 1,2,
若x是齐次边界条件时(这里认为kx的本征函数是正、余弦函数)，则y=0或y=b 处必有非齐次边界，Y(y)的本征函数采用双曲或指数函数形式，否则解为0
(a)
若
( (
y y
0) b)
0
0或
(
y
b)
0
则
本
征
函
数 为s inh(
Chap. 5 静态场边值问题的解法
§5－1 静态场问题的分类
分布型问题
已知场源分布，求各点场强或位函数 （正问题） 已知场分布，求场源的分布 （反/逆问题）
边值型问题
给定空间某一区域内的场源分布，同时给定该区域边界上的 场强或位函数（即边值条件），在这种情况下求解该区域内的 位函数或场分布；
又
12
y y
b 0， 2b 0
1
x
,
y
Asin
a
x sinh
a
b
y，
2 x,
y
B sin
a
x sinh
a
2b
y
1x, y 0 2 x, y 0
2 x,
y
y
1 x,
y
y
y0
0 0
sin x
a
A
sinh
a
b
B
sinh
a
2b
B
cosh
• 若给定的边界条件不足以确定本征值及本征函数，则应根
据迭加原理，将待求场分解成几个场的迭加，而每个场的边
静态场及其边值问题的解课件
qh 2 π rdrd q 2 2 32 0 0 2π (r h )
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
第5章 静态场的边值问题(1)静态场边值问题的基本概念
2
★三类边值问题 ——对应的三类边界条件
第一类：已知整个边界面上的位函数；
第二类：已知整个边界面上的位函数的法向导数;
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。
3
§5.1 静态场边值问题的基本概念
一、静态电磁场的方程
二、三类边值问题 三、基本计算方法
4
§5.1 静态场边值问题的基本概念
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。（1分）
18
8
★三类边界条件
第一类：
已知位函数在整个边界面上的
亦即：
已知 | f1 (S )，S为边界上的点。
9
第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。
（即：已知整个边界面上的位函数的法向导数）
亦即：
f 2 (S ) | n
10
第三类：
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
一、静态电磁场的方程 二、三类边值问题 三、基本计算方法
5
一、静态电磁场的方程
静 电 场：由电 荷（通量源）激发
恒定磁场：由恒定电流（涡旋源）激发
静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 具有相同的基本特性： 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
/ 2 A J
★三类边值问题 ——对应的三类边界条件
第一类：已知整个边界面上的位函数；
第二类：已知整个边界面上的位函数的法向导数;
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。
3
§5.1 静态场边值问题的基本概念
一、静态电磁场的方程
二、三类边值问题 三、基本计算方法
4
§5.1 静态场边值问题的基本概念
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。（1分）
18
8
★三类边界条件
第一类：
已知位函数在整个边界面上的
亦即：
已知 | f1 (S )，S为边界上的点。
9
第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。
（即：已知整个边界面上的位函数的法向导数）
亦即：
f 2 (S ) | n
10
第三类：
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
一、静态电磁场的方程 二、三类边值问题 三、基本计算方法
5
一、静态电磁场的方程
静 电 场：由电 荷（通量源）激发
恒定磁场：由恒定电流（涡旋源）激发
静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 具有相同的基本特性： 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
/ 2 A J
静态场的边值问题PPT课件
因此 是 方程 2 的f解
令 f = 0，即可得到拉普拉斯方程情况的证明
3、应用
求解边界问题时，可以先将复杂边界条件分解成便于求解的几个边界条 件，则总的边界问题解就是这些解的叠加。
第6页/共69页
2 0
例：
s1
C1
s2
C2
s3
C3
分解为三个边界问题
21 0
1
s1
C1
1
s2
U 0
y
U0 b
y
(0 y b)
2
(b y b)
2
第18页/共69页
利用傅立叶展开并比较系数，可求得(B)问题的解
U b
(x,
y)
n1
(1) n
U0
n
2n x
eb
sin 2n
y
b
③利用叠加原理 原问题的解应该是A 问题和B 问题解的线性叠加 所以原问题的电位表达式为
U (x, y) U 0 y
kx2 0
f (x) A1x A2
kx2 0
f (x) A1 sin kxx A2 cos kxx
kx2 kx2 0
f (x) A1 sh kx x A2 ch kx x A1ekxx A2ekx x
第9页/共69页
对 g( y)和 h(z也) 都有与上述相同形式的解。在
各取其一并相乘，即可得到一个解的表达式。
2U (x, y) 2U (x, y) 0
x 2
y 2
①边界条件
U 0 (0 x )
(a)
y0
U yb U0 (0 x )
(b)
第16页/共69页
U
x0
U0 0
静态电磁场边值问题
2 2
49
确定分离变量： 边界y = 0：x = 0与x = a处电位均为零，即沿x方向为周 期性边界条件，因此kx为实数，ky为虚数 kx = k
k y = jk
50
常微分方程的解：
X (x ) = a1 cos kx + a2 sin kx Y ( y ) = b1chky + b2 shky
34
等效电荷密度：
′ = ε1 ε 2 ρ ρ ε1 + ε 2
″ = ε 2 ε1 ρ ρ ε1 + ε 2
由ρ、ρ'、ρ"直接求解电场与电位
35
分离变量法
概述
分离变量法是求解数学物理方程最广泛的解析方 法之一； 分离变量法将待求的多变量函数表示为若干单变 量函数的乘积，从而将求解偏微分方程转化为求 解常微分方程； 应用分离变量法时，通常将边界面与某一坐标面 相重合，或分段重合，使坐标变量成为单变量函 数的自变量
52
由边界条件(1)、(2)可得a1 = 0，b1 = 0
(x, y ) = a2b2 sin kxshky = A sin kxshky
由边界条件(3)
(a, y ) = A sin kashky = 0
sin ka = 0
k= mπ a m = 1,2,
53
电位：
mπ (x, y ) = A sin a mπ x sh y a m = 1,2,
28
镜像法（介质二）：
q的位置再放置点电荷q″； 移去分界面； 同一介质（介质二）； q与q"共同产生电场与电位 q"的值待定 q+q" h r3
ε2 ε2
29
求解：
49
确定分离变量： 边界y = 0：x = 0与x = a处电位均为零，即沿x方向为周 期性边界条件，因此kx为实数，ky为虚数 kx = k
k y = jk
50
常微分方程的解：
X (x ) = a1 cos kx + a2 sin kx Y ( y ) = b1chky + b2 shky
34
等效电荷密度：
′ = ε1 ε 2 ρ ρ ε1 + ε 2
″ = ε 2 ε1 ρ ρ ε1 + ε 2
由ρ、ρ'、ρ"直接求解电场与电位
35
分离变量法
概述
分离变量法是求解数学物理方程最广泛的解析方 法之一； 分离变量法将待求的多变量函数表示为若干单变 量函数的乘积，从而将求解偏微分方程转化为求 解常微分方程； 应用分离变量法时，通常将边界面与某一坐标面 相重合，或分段重合，使坐标变量成为单变量函 数的自变量
52
由边界条件(1)、(2)可得a1 = 0，b1 = 0
(x, y ) = a2b2 sin kxshky = A sin kxshky
由边界条件(3)
(a, y ) = A sin kashky = 0
sin ka = 0
k= mπ a m = 1,2,
53
电位：
mπ (x, y ) = A sin a mπ x sh y a m = 1,2,
28
镜像法（介质二）：
q的位置再放置点电荷q″； 移去分界面； 同一介质（介质二）； q与q"共同产生电场与电位 q"的值待定 q+q" h r3
ε2 ε2
29
求解：
静态场中的边值问题
❖
(4-8)
❖
g ( y ) C s i n h ( k x y ) D c o s h ( k x y )
g (y ) C e k xy D e k xy
(4-9a〕
所以
( x , y ) [ A s i n ( k x x ) B c o s ( k x x ) ] [ C s i n h ( k x y ) D c o s ( k x y ) ]
静态场中的边值问题
本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！
❖ 解边界值问题的方法： 1、理论计算方法 ◆ 解析法 ◆ 近似计算法 数值计算法 图解法
❖ 定解条件=泛定方程+边界条件+初始条件。
❖ 衔接条件：在场域内，媒质参数必须是的，但允许 它们突变〔即存在不同媒质的分界面〕或渐变〔是 空间坐标的函数〕。
❖ 在不同媒质分界面的两侧，场量〔或其位函数〕 应满足边值关系，在偏微分方程定解问题中常被称 为衔接条件。
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点〔既非边界点又不在媒质分 界面上的点〕泛定方程成立；
或 ( x ,y ) ( A 0 x B 0 ) ( C 0 y D 0 )
[ A n e k y n x B n e k y n x ] [ C n s i n ( k y n y ) D n c o s ( k y n y ) ]
〔4-13b〕n 1
拉普拉斯方程的解f：(x)g(y)
，代入上式得
f1 ( r ) r r 2 f ( r r ) g () 1 s i n s i n g () 0
电磁场与电磁波课件第5章 静态场的边值问题
1 2 ，
然后进行 证明.同样可得出结论,其解唯一.
设φ1φ2是同一有源区域的边值问题
2 的解。 | f1 ( S )
即在区域V内，φ1和φ2满泊松方程，即
1 2 2
2
在V的边界S上，φ1和φ2满足同样的边界条件， 即
5.3.1 导体平面镜像
设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h 。 若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半 空间中的电场。 分析：上半空间任一点 P处的电位，应等于点 电荷q和无限大导体平 板上感应的负电荷产生 的的电位总和。因此， 上半空间的电位问题可 表示为 ：
2
C (常数)
0
1 2
C 0
5.3 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边
界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程 大为简化。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界 条件不变。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜 像电荷，而这种方法称为镜像法。
2 A ( A) A J
人为规定
A 0
这个规定被称为库仑规范
于是有
2 A J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
在没有电流的区域有J 0
2 A0
此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。 (2) 磁场的标量位函数 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 H 0 B 0 这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数， 即标量磁位函数
静态场的边值问题
a
xsh
n
a
b
U (x) U0
( x, b)
U0
n1
Dn
sin
n
a
xsh
n
a
b
因上式右边为三角函数级数,要确定 Dn ,
其左边也应展开成三角函数级数,亦称
傅里叶级数,再比较其系数即可确定 Dn .
(n 1,2,3)
(５-２-２７)
(x) 0
2019/7/3
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
2019/7/3
5
电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
ay
ky2
n
a
0
(
n
a
)
2
(
ja
y
)
(n 1,2,3)
2
１３ (５-２-２５)
故
g( y)
n
Bn sh
n1
a
y
(n 1,2,3)
c. (x, y) f (x) g(y)
(５-２-２６)
(x, y)
n
AnBn sin
n1
a
xsh n
将 (５-２-３１) 代入 (５-２-３０) ，并整理得：
1 d (r df ) n2 1 d 2h 0 rf dr dr r 2 h dz2
(５-２-３２)
xsh
n
a
b
U (x) U0
( x, b)
U0
n1
Dn
sin
n
a
xsh
n
a
b
因上式右边为三角函数级数,要确定 Dn ,
其左边也应展开成三角函数级数,亦称
傅里叶级数,再比较其系数即可确定 Dn .
(n 1,2,3)
(５-２-２７)
(x) 0
2019/7/3
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
2019/7/3
5
电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
ay
ky2
n
a
0
(
n
a
)
2
(
ja
y
)
(n 1,2,3)
2
１３ (５-２-２５)
故
g( y)
n
Bn sh
n1
a
y
(n 1,2,3)
c. (x, y) f (x) g(y)
(５-２-２６)
(x, y)
n
AnBn sin
n1
a
xsh n
将 (５-２-３１) 代入 (５-２-３０) ，并整理得：
1 d (r df ) n2 1 d 2h 0 rf dr dr r 2 h dz2
(５-２-３２)
静态场边值问题的求解
静态场边值问题的求解一.静场的态值问题概述边二唯.一定理性三分离.变量法四镜.像法五格林函.数六法.它其析方解法一、静态场的值问题边述概分布型题问：已由场源知电(荷电、流)布分，直从接的场积公分求式空间各的场点布分。
边值问题型：由知已量场场域边界在的上值求场域内，的场分。
布解法析解法(镜法像分离变量法、数)法值有限(分差法数学)理物程方是述描理量随空物间和间时的变规律化对。
于一特某定区域和的刻时方程，的解决于取理量物的初始与边界值，即值初条件和边始界件，条者又两统称为该方程的定条解件静。
场量与时间态无关，因位函数所满足此泊的方松程及拉拉斯方普程的解仅定于边决界条件根据。
给的边定界条件解空间任一点的位函数就求是静态的边值问题场一、静态。
场边值问题概述的2 2 0 微分方程1 2 11 2 2 n n分面衔接界条件第一类S 1f ( s) n f (2s)S边问值边题界条件场域界条件第二边类第三类然自边条界件( ) f (3 )s n Sl i m r 有限r 值、唯二性一定理1.唯一定理性在域场中V的界边面上给S定或值的，泊则方松程拉普或拉n 方程在场斯域内具V有一解惟唯一。
性定理重要意义的判可静断场电题的问的解正确性：例图示板平容器电电的，哪位一解个正确答U? 0 x UdB 2 、0 x U d0U C、3 0 x U 0d A 1、2 .答案( C:)唯性一理定为静电场题问多的种解法(探试解数、值解、解解等析)提供了思及理路论根。
三据、离分变量法分变量法离一种最经典是的微分程法方，它适用求于解一具有类理想界条边件典的边型问题值。
一般情况,下采正用坐标系交可分用变量法得出离普拉斯方程拉波或方动的通解，程而有当场域边只与界正坐交标重合或平面时行才，确可定积分常，数到边得问题的解值。
解题的般一骤：步根据界边几何的形和场的分布特状选征坐标定系写，出应对边的值问(题分方微和边界程条件；)分离变，量将一偏个微方分程分，成离几个微分方程；常解常微方分，并叠加程各解得到特通解;用利定给边的界件确定条积分数常最终，得到位函数电的解。
《静态场的边值问题》PPT课件
nπ a
b
a nπ
sin
0
a
x sin mπ a
xdx
（x,
y)
n1
4U 0 nsh n
b
sin
nπ a
x sh nπ y a
a
(n 1,3,5，)
（2）U
(
x)
U
0
s
in
π a
x
π
U0 sin a
x
n1
Dn
sin
nπ a
x sh nπ b a
D1＝U 0
sh b
a
Dn＝0 (n 0)
双曲函数
例5-1
一长直金属槽的长度方向上平行于Z轴，其横截面如图5-1所示。其侧壁与
底面电位均为0，而顶盖电位 x, b U x。
分别以（1）U
（2）U x U0
sixnxU，求0，槽内电位
a
的解。
解 本例是一个矩形域的二维场问题。在直角坐标系下，位函数
x,
y
的边值问题为
y
2
x
2
2
y 2
（1） （2） （3） （4）
(5）
2) 分离变量 (x, y) 1 (x)2 ( y)
代入式（1）有
1
1
d 21
dx2
1
2
d 22
dy2
设
1
1
d 21
dx2
，
1
2
d 22
dy2
称为分离常数,可以取值 0, 0和 0
根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
边值问题5.1-5.3
2
q 4 0 a 2 d 2 2ad cos
a a d , q q d d 或d d , q q 舍去
d a
球外任意点的电位：
P
q 4 0 R
2
q 4 0 R
a2 a d , q q d d
R r d 2rd cos
导体
En
xx
此式表明，导体表 面的感应电荷分布 是不均匀的。
导体表面总的 感应电荷量？
导体表面总的感应电荷量：
z
q S dS S S dydz
qd
2
2 (d y z )
2 2
3
dydz q
2
x y
注意：
1、应用镜像法求解静电场问 题时，镜像电荷不能出现在 待求位场的区域内。 2、场源是何种类型的，镜像 电荷也是同样类型。
在 x 0 的平 面上，结果如 何？
xd xd 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 [(x d ) y z ] [(x d ) y z ] qy 1 1 ˆy ˆ y 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 [(x d ) y z ] [(x d ) y z ] qz 1 1 ˆz ˆ z 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 [(x d ) y z ] [(x d ) y z ]
(a, , ) 0
球外任意点的电位： q q P 4 0 R 4 0 R
q
R
S
d
P
R
R r 2 d 2 2rd cos
q 4 0 a 2 d 2 2ad cos
a a d , q q d d 或d d , q q 舍去
d a
球外任意点的电位：
P
q 4 0 R
2
q 4 0 R
a2 a d , q q d d
R r d 2rd cos
导体
En
xx
此式表明，导体表 面的感应电荷分布 是不均匀的。
导体表面总的 感应电荷量？
导体表面总的感应电荷量：
z
q S dS S S dydz
qd
2
2 (d y z )
2 2
3
dydz q
2
x y
注意：
1、应用镜像法求解静电场问 题时，镜像电荷不能出现在 待求位场的区域内。 2、场源是何种类型的，镜像 电荷也是同样类型。
在 x 0 的平 面上，结果如 何？
xd xd 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 [(x d ) y z ] [(x d ) y z ] qy 1 1 ˆy ˆ y 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 [(x d ) y z ] [(x d ) y z ] qz 1 1 ˆz ˆ z 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 [(x d ) y z ] [(x d ) y z ]
(a, , ) 0
球外任意点的电位： q q P 4 0 R 4 0 R
q
R
S
d
P
R
R r 2 d 2 2rd cos
静态场及其边值问题的解
R r r
3. 电位差 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl ( dx dy dy) d x y y 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
P
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。
电位差也称为电压，可用U 表示。
电位差有确定值，只与首尾两点位臵有关，与积分路径无关。
4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即
C ( C )
•
• •
静态电磁场：场量不随时间变化，包括：
静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 l 1 ln ，显然这种形式最简单。 如果选择rQ=1，得 P 2 0 rP l 1 由此得到线电荷电位的一般表达式 ln 2 0 r l l 1 1 对于位于r 的线电荷，电位表达式为 ln ln 2 0 r r 2 0 R
线电荷：设线电荷 l 在原点，参考点 Q ，场点 ( 电位考察 点)P，沿如前路径进行积分，有 M Q l Q r P E d l E d l d r 2 P M M 2 0 r
2010—Chap5 静态场边值问题解法C
5-3 镜像法
●依据：唯一性定理
●基本思路：在所研究的场域外的某些适当位置，用一些虚 拟电荷等效替代导体分界面上的感应电荷或媒质分界面上 的极化电荷的影响。等效电荷一般位于原电荷关于边界面 的镜像点处，故称为镜像电荷。
●关键：确定镜像电荷的个数大小符号和位置
●选择原则： 1）位于所求区域外；2）不能改变原问题的边界条件
qin
a d
q
q'
即：感应电荷总量等于镜像电荷，但小 于点电荷q的大小
3、对于柱面的镜像 —— 电轴法
பைடு நூலகம்
➢ 两根细导线产生的电位
P 2 π 10l2n 1 22π 2 0π ln 0l1 2n ((x xC d d))2 2（ y y 以2 2y 轴为参考电位）
令 PC等 位 线 ((x x d d))方 2 2 y y2 2程 K2
q2 a2d'2 q'2 a2d2 0 2a q'2dq2d' 0
d ' a2 d或
q ' a q d
d ' d （不合理舍去） q ' q
4q0R 1da R' ra
4 q 0 r2d2 12 rdco sdr2a4d2 a 2 ra2dco s
可以推出：电荷q在接地导体球面上产生的感应电荷
(xK K2 2 1 1d)2y2(K 22 dK 1)2 为一簇偏心
• 圆心坐标
h,
0，hKK22
1d 1
• 圆半径
a
2dK K 2 1
且a、h、d满足关系
a 2 h 2 d 2 (h d )h ( d )
❖ (h+d)为某等位圆圆心到一个线电荷的距 离；(h-d)为该圆心到另一线电荷的距离；
●依据：唯一性定理
●基本思路：在所研究的场域外的某些适当位置，用一些虚 拟电荷等效替代导体分界面上的感应电荷或媒质分界面上 的极化电荷的影响。等效电荷一般位于原电荷关于边界面 的镜像点处，故称为镜像电荷。
●关键：确定镜像电荷的个数大小符号和位置
●选择原则： 1）位于所求区域外；2）不能改变原问题的边界条件
qin
a d
q
q'
即：感应电荷总量等于镜像电荷，但小 于点电荷q的大小
3、对于柱面的镜像 —— 电轴法
பைடு நூலகம்
➢ 两根细导线产生的电位
P 2 π 10l2n 1 22π 2 0π ln 0l1 2n ((x xC d d))2 2（ y y 以2 2y 轴为参考电位）
令 PC等 位 线 ((x x d d))方 2 2 y y2 2程 K2
q2 a2d'2 q'2 a2d2 0 2a q'2dq2d' 0
d ' a2 d或
q ' a q d
d ' d （不合理舍去） q ' q
4q0R 1da R' ra
4 q 0 r2d2 12 rdco sdr2a4d2 a 2 ra2dco s
可以推出：电荷q在接地导体球面上产生的感应电荷
(xK K2 2 1 1d)2y2(K 22 dK 1)2 为一簇偏心
• 圆心坐标
h,
0，hKK22
1d 1
• 圆半径
a
2dK K 2 1
且a、h、d满足关系
a 2 h 2 d 2 (h d )h ( d )
❖ (h+d)为某等位圆圆心到一个线电荷的距 离；(h-d)为该圆心到另一线电荷的距离；
第五章 静态场的边值问题
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
表面吻合。
电荷守恒：当点电荷 q 位于无限大的导体平面附近时，导体表 面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点 电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个 异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电 荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，
由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一
维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方 程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变
量 x 的常微分方程的通解为
j k x j k x 或者 x x X ( x ) C sin k x D cos k x X ( x ) A e B e x x
E
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
2
该方程称为泊松方程。 对于无源区，上式变为 上式称为拉普拉斯方程。
2 0
例 求同轴电缆在空间任意一点的E。
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
坐标系及球坐标系。
此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量 r 有关， 因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采 用直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边 值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程， 一种有效的方法就是分离变量法。 分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化 为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变
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因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电 位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。
5.2 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有 边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程 大为简化。
依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边 界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等 效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置， 因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
求得
21 drd0
rdr dr
C1lnrC2
利用边界条件： V ra
0 rb
求得
CC11
lna C2 ln b C2
V 0
V C 1 ln a
b
V ln b C 2 ln a
b
最后求得
Vlnbr
lna b
Erˆrˆ V r rlnba
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一 特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这 些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该 方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊 松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条 件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可 以证明电位微分方程解也是惟一的。
静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电
位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导数的
关系为
，可见 S，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数
n
值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其内 半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
a V Ob
解 对于这种边值问题，镜像法不适用， 只好求解电位方程。为此，选用圆柱坐标 系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，电 位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系中 的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电位 微分方程为
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可 能确定其镜像电荷。
（1）点电荷与无限大的导体平面
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变
成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q'
半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为 在上半空间中，源及边界条件未变。
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅
当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。
为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如， 夹角为 的导电π 劈需引入 5 个镜像电荷。
q h 1 2
两种介质中都存在有电场，必须分区求解。设
ε1和ε2两区域的电位分别是
1 2
按静电场的唯一性定理，运用镜象法的等 效条件为
① 除点电荷q所在处外，电位应满足
上半空间区域 下半空间区域
21 0 22 0
② 在介质分界面上， 1 2
ε1n1 ε2n2
应满足分界面衔接条件
1 2
q
r1
1
h
通常给定的边界条件有三种类型：
第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为 狄利克雷问题。
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问 题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上 物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发 生很大的变化。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。 由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值， 因此，解的稳定性具有重要的实际意义。
q r q r
为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值
r r
对于球面
3
q /3q/3来自连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原 理得知，同样可以应用镜像法求解。
例 图中给出介电常数分别为ε1和ε2的两种介质，它们以无限大平面为 分界面，在ε1区域有点电荷q，电场将由点电荷q和介质分界面上的极
化面电荷 共q同P 产生。但分界面上 分布P 情况不清楚，想要借用镜象法 的原理，以虚设镜象电荷来代替 的作q用P 。
5.1 电位微分方程
已知，电位 与电场强度 E 的关系为
E
对上式两边取散度，得
E2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为 E
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
2
该方程称为泊松方程。
对于无源区，上式变为 2 0
上式称为拉普拉斯方程。
例 求同轴电缆在空间任意一点的E。
共同产生，即
q q 4πr 4πr
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得 q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部 分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表 面吻合。
电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将
产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及 导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜 像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理， 镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根据导 体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。
P
1
h
r2
q (b)
q
2 h 2
r1
P
en
(c)
（2）点电荷与导体球
P
a
r
o q
d f
若导体球接地，导体球的电位为 零。为了等效导体球边界的影响， q 令镜像点电荷q' 位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点 电位为
4πqr4πqr
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为