2020-2021学年商丘市高三11月质量检测巩固卷数学(理科)试题及答案解析

2020-2021学年商丘市高三11月质量检测巩固卷数学(理科)试题
一、单选题
1．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 3
a B
b A
c -=，则tan()A B -的最大值为（ ）
A B C D 2．在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =√6，则PC 与平面ABCD 所成角的大小为( ) A ．30∘
B ．45∘
C ．60∘
D ．75∘
3．若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N 等于（ ） A ．{0，1} B ．{﹣1，0，1}
C ．{0，1，2}
D ．{﹣1，0，1，2}
4．已知数列满足a 2=102,a n+1−a n =4n, (n ∈N ∗)，则数列{a n n
}的最小值是
A ．25
B ．26
C ．27
D ．28
5．下列结论中不正确的是（ ）
A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C ．若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上
D ．任意两条直线不能确定一个平面 6．曲线在
处的切线倾斜角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AD DD AB ==,,E F G 分别是1,,AB BC CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若1//D P 平面EFG ，则1BB P 面积最小值为 （ ）
A B ．1
C D ．
12
8．下列条件中，使“0
20x x >⎧⎨-<⎩
”成立的充分不必要条件是（ ）
A ．01x <<
B ．02x <<
C ．03x <<
D ．11x -<<
9．已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的图象的一个最高点为()3,1P ，M ，N 是与P 相邻的两个最低点，且20
tan 21
MPN ∠=-，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．[]310,810()k k k ++∈Z B ．[]810,1310()k k k ++∈Z C ．[]35,85()k k k ++∈Z
D ．[]85,135()k k k ++∈Z
10．两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放在棱长为1的正方体内，各顶点均在正方体的面上，且正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一面平行，则该几何体体积不可能的值是( )
A ．18
B ．16
C ．14
D ．
13
11．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x -=+，且函数()f x 在()0,3上为单调递减函
数，若ln422log 3,a b c e ===，则下面结论正确的是（ ） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f c f a f b << C ．()()()f c f b f a << D ．()()()f a f c f b <<
12．下列运算正确的是（ ） A ．2332
a a a =
B ．
233
2a a a ÷=
C ．
122
0a a -=
D ．2
12a a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
二、填空题
13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若11a =，22a =，()()11211n n n nS n S n S +-=++-(n ≥2)，则{}n a 的通项公式=n a ____________. 14．定义方程()()f x f x '=的实数根
叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，
()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()2
x π
π∈，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的
大小关系是
15．已知实数,x y 满足约束条件则400,23,x y x y z x y x -+≥⎧⎪
+≥=+⎨⎪≤⎩
则的最小值是_______．
16．在ABC ∆中，2
39,AB AC AC AB AC ==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当
222
PA PB PC ++取得最小值时，PA BC ⋅=__________．
三、解答题
17．已知数列{}n a 满足12a =，122
n
n n a a a +=
+. （1）数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是否为等差数列？请说明理由； （2）求数列{}n a 的通项公式.
18．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile ，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向
40 n mile 处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若0sin sin ,5,45c A C c B ===.（1）
求b 的值；（2）求ABC ∆的面积.
20．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =且248,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知1
2n a n n
b S =
+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21．已知函数22()1ln ()f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论()f x 的单调区间； （2）当0a =且(0,1)x ∈，求证：
()1
1x f x x e x
+-<. 22．如图，四棱锥S ABCD -的底面为矩形，平面SAB ⊥平面ABCD ，点E 在线段SC 上，且BE ⊥平面SAC .
（1）求证：AS ⊥平面BCS ；
（2）若点M 是线段SD 上靠近D 的三等分点，点N 在线段AB 上，且//MN 平面
,6,BCS BC SC ==MN 的值.
【答案与解析】
1．A
由正弦定理和诱导公式化简整理2
cos cos 3
a B
b A
c -=，得到tan 5tan A B =，再利用两角差的正切公式展开，运用基本不等式求解最大值即可. 由题意，2
cos cos 3
a B
b A
c -=
， 由正弦定理得，2
sin cos sin cos sin 3
A B B A C -=
， 在ABC ∆中，()()sin sin sin sin cos sin cos C A B A B A B B A π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦， 所以()2
sin cos sin cos sin cos sin cos 3
A B B A A B B A -=+， 所以15
sin cos sin cos 33
A B B A =
，即tan 5tan A B =， 所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
2
tan tan 4tan 4
tan()1
1tan tan 15tan 5tan tan A B B
A B A B B
B B
--=
==+++
5≤=
，
即tan()A B -
. 故选：A
本题主要考查正弦定理的应用、诱导公式、两角差的正切公式和基本不等式求最值，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题. 2．A
连接AC ，则∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成的角.求出AC 即可得出tan∠PCA ，从而得出答案． 连接AC ，∵PA ⊥平面ABCD ，
∴∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成的角．
∵底面ABCD是边长为3的正方形，∴AC=3√2．
∴tan∠PCA=PA
AC =√6
3√2
=√3
3
．
∴∠PCA=30∘．
故选：A．
本题考查了线面角的定义与计算，属于基础题．
3．A
试题分析：根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，
得到M∩N={0，1}．
故选A
点评：此题考查了交集的运算，要求学生理解交集即为两集合的公共元素，是一道基础题．4．B
试题分析：因为数列{a n}中，a2=102,a n+1−a n=4n(n∈N∗)，所以a n−a n−1=4(n−1)，⋯⋯，a4−a3=4×3，a3−a2=4×2，上式相加，可得a n−a2=4×2+4×3+⋯+4×(n−1)
=4(2+3+4+⋯+n−1)=2(n+1)(n−2)，所以a n=2n2−2n+98，所以a n
n =2n+98
n
−2
≥2√2n×98
n −2=26，当且仅当2n=98
n
，即n=7时，等式相等，故选B．
考点：数列的求和和基本不等式的应用．
5．D
由平面基本性质若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，可判断A,C正确，
由直线与直线外一点确定一个平面可得选项B正确；
由两条直线平行或相交，则可以确定一个平面可得选项D错误.
解：由平面基本性质可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A，C正确；
当平面四个点中，有三点共线，由直线与直线外一点确定一个平面可得此四个点共面，
故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B正确；
若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误.
故选D.
本题考查了平面的基本性质、线面关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.
6．D
，所以切线的斜率为
，倾斜角为
.
故选D.
考点：函数导数的几何意义及运算. 7．A
作出平面EFG 与长方体的截面，然后再找出过1D 与平面EFG 平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD 上的位置．从而可得到答案.
如图补全截面EFG 为截面EFGHQR ，
易知E F G H Q R ，，，，，分别为对应边的中点. 易知平面1ACD ∥平面EFGHQR ， ∵直线1D P ∥平面EFG ， ∴P AC ∈ 则△1111
=
22
PBB BP BB BP ⨯=, 当BP 最小时，△1PBB 的面积最小
作BR AC ⊥于点R ，且当P 与R 重合时，PB BR =最短， 此时△1PBB 的面积最小，
由等面积法：
1122BR AC BA BC ⨯=⨯ 得BR =又1BB ⊥平面ABCD ，
∴1BB BP ⊥，△1PBB 为直角三角形，
故1112BB P
S
BB BP =
⨯=
故选：A ．
本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用．属于难题.。