【2013朝阳一模】北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习-理科数学

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试〔理工类〕
2013.4
〔考试时间120分钟 总分值150分〕
本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两部分
第一部分〔选择题 共40分〕
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项. 〔1〕i 为虚数单位，复数
1
1i
-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2
【答案】A
111111(1)(1)222i i i i i i ++===+--+，所以虚部是1
2
，选A. 〔2〕已知集合{}
23M x x =-<<，{}
lg(2)0N x x =+≥，则M
N =
A. (2,)-+∞
B. (2,3)-
C. (2,1]--
D. [1,3)-
【答案】D
{}lg(2)0{21}{1}
N x x x x x x =+≥=+≥=≥-，所以
{13}M N x x =-≤<，选D.
〔3〕已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.假设//AB OC ，则实数m 的值为
A ．3-
B ．17-
C ．35-
D ．3
5
【答案】A
(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC ，所以3(1)20m m +-=，解得
3m =-，选A.
〔4〕在极坐标系中，直线1
cos 2
ρθ=
与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的大小为
A ．3π
B ．2π
C ．32π
D ．6
5π
【答案】C
直线1cos 2ρθ=
对应的直角方程为12
x =，由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即2
2
2x y x +=，即2
2
(1)1x y -+=。

所以圆心为(1,0)C ，半径为1，所以3
OCA π
∠=，所
以223
AOB OCA π
∠=∠=
，选C. 〔5〕在以下命题中，
①“2
απ
=
”是“sin 1α=”的充要条件； ②34
1()2x x
+的展开式中的常数项为2；
③设随机变量ξ～(0,1)N ,假设(1)P p ξ≥=，则1
(10)2
P p ξ-<<=-． 其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③ 【答案】C
①由sin 1α=，得2,2
k k Z π
απ=
+∈，所以①错误。

②展开式的通项公式
为34412414
411()()()22
k k k k k k
k x T C C x x ---+==，由1240k -=得，3k =，所以常数项为
341()22
C =，所以②正确。

③因为(1)(1)P P p ξξ≥=≤-=，所以
1(1)(1)1
(10)22
P P P p ξξξ-≥-≤--<<==-，所以③正确。

选C.
〔6〕某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如以下图，则这个几何体的体积
为
A. 4
B. 42
C. 62
D. 8
【答案】D
由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方
形，正方形的边长为2.其中3,1HD BF ==,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为
1
22482
⨯⨯⨯=。

〔7〕抛物线2
2y px =〔p ＞0〕的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满
足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||
MN AB 的最大值为 A.
3
3 B. 1 C. 233
D. 2 【答案】A
〔
8
〕
已
知
函
数
*
()21,f x x x =+∈N .假设
*
0,x n ∃∈N ，使
000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.
函数()f x 的“生成点”共有
A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个
【答案】B
由题意
知
0000212(1)12()1(1)(21)63x x x n n x n ++++++++=+++=，因为0,x n N ∈，
所以12n +≥，021+1x n n ++>。

因为79=321=63⨯⨯，所以当13n +=时，
00212321x n x ++=+=，此时解得02,9n x ==，生成点为(9,2)。

当17n +=时，0021279x n x ++=+=，此时解得06,1n x ==，生成点为(1,6)。

所以函数()f x 的“生
成点”共有2个，选B.
第二部分〔非选择题 共110分〕
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
〔9〕在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 . 【答案】2，10
在等比数列中2
32433220a a a a a -=-=，解得32a =。

在等差数列中
332b a ==，所以153
535()525521022b b b S b +⨯=
===⨯=。

〔10〕在ABC ∆中， a ，b ，
c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = .
【答案】
24
由3sin b a B =得sin 3sin sin B A B =，所以1
sin 3
A =
,22cos 3A =，即
2
tan 4
A =
. 〔11〕执行如以下图的程序框图，输出的结果S= .
【答案】20
第一次循环，0,1,i S ==-；第二次循环，2,12212,i S ==-+⨯-=；第
三次循环，4,22419,i S ==+⨯-=；第四次循环，6,926120i S ==+⨯-=；此时满足条件输出，20S =.
〔12〕如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .假设
3CD =，2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的半径是 .
D
B
C
O
A
【答案】1,2
，设AD x =，则2
CD DA DB =⋅，即
2(3)(2)3x x =+=，所以2230x x +-=，解得1x =，即1AD =.所以三角形CDA 为直
角三角形，且//,OC BD 所以60OCA CAD ∠=∠=,所以三角形AOC 为正三角形，所以半径2OC AC ==.
〔13〕函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.假设在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】22
(,)53
由(2)()f x f x +=得函数的周期是 2.由2()0ax a f x +-=得
()2f x ax a =+，设(),2y f x y ax a ==+，作出函数(),2y f x y ax a ==+的图象，如图
，要使方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数
根，则直线2(2)y ax a a x =+=+的斜率满足AH AG k a k <<，由题意可知，
(1,2)(32)(2,0)G H A -，，，，所以22=53AH AG k k =，，所以2253a <<，即22
(,)53
a ∈。

〔14〕在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2
2
40x x y -+=〔2≤x ≤4〕上的一个
动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】[5,5]-
由图象可知，当点A 位于点B 时，点C
的纵坐标最大。

当点A 位于点D 时，点C 的纵坐标最小由图象可知(22)B ，
,(22)D -，。

当点A 位于点B 时，22OB =，因为20OA OC OA OC ⋅=⋅=，所以此时52OC =.由相似性可知
C BM OB
y OC
=，解得5C y =，同理当点A 位于点D 时，解得5C y =-，所以点C 的纵坐标的取值范围是55C y -≤≤，即[5,5]-。

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 〔15〕〔本小题总分值13分〕
已知函数21
()sin 222
x f x x ωω=
-+〔0ω>〕的最小正周期为π. 〔Ⅰ〕求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； 〔Ⅱ〕当[0,]2
x π∈时，求函数()f x 的取值范围. 〔16〕〔本小题总分值13分〕
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验〔设每次试验的结果互不影响〕．
〔Ⅰ〕在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
〔Ⅱ〕在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
〔Ⅲ〕在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ． 〔17〕〔本小题总分值14分〕
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，
2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC
AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为
侧棱,PB PC 上的点，且 PE PF
PB PC
λ==． 〔Ⅰ〕求证：EF 平面PAD ；
〔Ⅱ〕当1
2
λ=
时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； 〔Ⅲ〕是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？假设存在， 试求出λ的值；假设不存在，请说明理由． 〔18〕〔本小题总分值13分〕
已知函数2
()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤． 〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕假设函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.
〔19〕〔本小题总分值14分〕
P
D
A
B
C
F
E
已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点(1,
2,离心率为2
，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，
N .
〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕求EM FN ⋅的取值范围. 〔20〕〔本小题总分值13分〕
设1210(,,
,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义
10
11
()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.
〔Ⅰ〕假设(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； 〔Ⅱ〕求()S τ的最大值；
〔Ⅲ〕求使()S τ到达最大值的所有排列τ的个数.
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数学学科测试答案〔理工类〕
2013.4
三、解答题： 〔15〕〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕1cos 1
()222x f x x ωω-=
-+
1
cos 22
x x ωω=
+ sin()6
x ωπ
=+. …………………………………………4分
因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. ………………………………6分 所以()sin(2)6
f x x π=+.
由222262k x k ππππ-
≤+≤π+，k ∈Z ，得36
k x k πππ-≤≤π+. 所以函数()f x 的单调递增区间为[,36
k k ππ
π-π+]，k ∈Z . ………………8分
〔Ⅱ〕因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ
+∈， …………………………………10分
所以1sin(2)126
x π
-≤+≤. ………………………………………12分
所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1
,12
-]. ……………………………13分
〔16〕〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21
()42
P A =
=． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
1
2
．…………………………3分
〔Ⅱ〕设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．
由〔Ⅰ〕可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
12
． 所以0
41
344
111111()1[()()()]2
2
2216
P B C C =-⋅+⋅=． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为
11
16
．……………7分 〔Ⅲ〕由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为
2,101,--，，,24．
21(2)448P X=-==⨯； 21
(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21
(=1)448P X ==⨯；
21(=2)448P X ==⨯； 11
(=4)4416
P X ==⨯．
所以随机变量X 的分布列为
所以1()2101881688164
E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分
〔17〕〔本小题总分值14分〕 证明：〔Ⅰ〕由已知，PE PF
PB PC
λ==， 所以 EF BC ． 因为BC
AD ，所以EF
AD ．
而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF
平面PAD ． ……………………………………………………4分
〔Ⅱ〕因为平面ABCD ⊥平面PAC ，
平面ABCD
平面PAC AC =，且PA AC ⊥，
所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，
所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分
如以下图，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==， 所以()()0,0,01,0,0,A B ,
()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．
当1
2
λ=
时，F 为PC 中点， 所以11(,,1)22
F ,
所以11
(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-．
设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，
所以11
|(,,1)(1,1,0)|
cos |cos ,|3BF CD θ-⋅-=〈〉==， 所以异面直线BF 与CD 9分 〔Ⅲ〕设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-． 由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，
所以000
,,22.x y z λλλ=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．
设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,
所以110,0.
AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩
令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．
设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,
所以220,
0.
PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩
令21x =，则2(1,1,1)=n ．
假设平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23
λ=． 所以当2
3
λ=
时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分 〔18〕〔本小题总分值1 3分〕
解：函数定义域为{}
0x x >， 且(2)(1)
()2(2).a x a x f x x a x x
--'=-++=…………2分 ①当0a ≤，即
02
a
≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)， 令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.
②当012a <
<，即02a <<时，令()0f x '>，得02
a
x <<或1x >， 函数()f x 的单调递增区间为(0,)2
a
，(1,)+∞.
令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2
a
.
③当12
a
=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分
(Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+， 由于2242222
1121(
)2(1)10e e e e e e a a f =--+=--+>， 要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点， 需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,
f f <⎧⎨
<⎩解得1a =-或2
ln 2a <-. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，
〔ⅰ〕当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增； 且4
8
414
(e )20,(2)22ln 20e e
f f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点.
〔ⅱ〕当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a 上单调递减，在(1,2]上单调递增；
又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2
a
x ∈时，总有()0f x >.
因为22e
12a a
a +-<<+，
所以22222222(e
)e
[e
(2)](ln e
22)0a a a a a
a
a
a
f a a a ++++-
-
-
-
=-++++<.
所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2
a 内单调递增， 从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 综上所述，02a <≤或2
ln 2
a <-
或1a =-时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 〔19〕〔本小题总分值14分〕
解：〔Ⅰ〕设椭圆的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
依题意得2
22
22,1314a b c c a a
b ⎧=+⎪⎪
⎪=⎨
⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=. ………………………………………………4分 〔Ⅱ〕显然点(2,0)A .
〔1〕当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x
轴上方，易得(1,
),(1,22
E F -
，(3,(3,22
M N -
，所以1EM FN ⋅=. …………………………………………6分 〔2〕当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意. 由22
(1),440
y k x x y =-⎧⎨
+-=⎩得2222
(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则2212122
2844
,4141
k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：12
12(2),(2)22
y y y x y x x x =
-=---，
令3x =，则1212(3,
),(3,)22
y y
M N x x --. 所以1111(3)(3,
)2y x EM x x -=--，2222(3)
(3,)2
y x FN x x -=--. ……………………10分
所以11221212(3)(3)
(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+
⋅--
12
1212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+
--
2121212(1)(1)
(3)(3)(1)(2)(2)
x x x x k x x --=--+⋅
--
2121212121212()1
[3()9][1]2()4
x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅
-++
22
22
22222222244814484141(39)(1)4484141
244141
k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++
22
22
1653()(1)414k k k k +-=⋅++
22216511164164
k k k +==+++. ……………………………………………12分 因为2
0k >，所以2
1644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5
(1,)4
EM FN ⋅∈.
综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4
. ……………………………………14分 〔20〕〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕10
11
()|23|7654321012857k
k k S x
x τ+==
-=+++++++++=∑. ……3分
〔Ⅱ〕数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：
20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤.
对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，
所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分 〔Ⅲ〕由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大
的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○
其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ到达最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ到达最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分。