浅谈如何形成和发展数学能力

浅谈如何形成和发展数学能力
数学教学曾流行的“精讲多练”“少讲多练”等做法，误以为“熟能生巧”定能促进能力的发展，其结果是“题海战术”淹没了数学思想，具体的技巧性解法淹没了分析思考的过程，这样严重阻碍了学生数学能力的发展，那么，怎样做才能促进学生数学能力的发展呢？
一、大力加强数学思想方法的教学
无论是从数学认知结构的角度还是从数学概括的角度探讨数学能力的实质，都强调了数学思想和数学方法的重要性．实际上，由于数学认知结构是主体对数学知识结构的主观反映，而正是由于数学思想和方法的存在，才使得数学知识不再是孤立的单点或离散的片断，使得解决数学问题的方法不再是刻板的套路和个别的一招一式，因此，数学思想和方法在数学认知结构中起着固定的作用。

另一方面，数学思想和方法是数学概念、理论的相互联系和本质所在，是贯穿于数学的、具有一定概括性的观念，因此，掌握基本数学思想和方法能促进学生数学概括能力的发展。

所以，要培养数学能力，就必须重视数学思想和方法的教学。

1．帮助学生建立良好的认知结构，理解和掌握数学思想和方法。

知识未必能变成能力，可是能力必须有坚实的知识基础，学生要想掌握数学思想和方法，进而具有一定水平的数学解题能力，首先要在头脑中建立良好的认知结构，理解和熟悉知识间的相互关系及内在联系，以便分析、综合、联想、类比，通过转化的方法，逐步将“未知”化归为“已知”，达到解决问题的目的。

例1. 已知点p是椭圆+ =1(a>b>0)上的一点，、为椭圆的焦点，且P=a,求△P的面积。

分析：由三角形面积公式S△P=sin可知问题转化为求的值，从以上八条信息中筛选出有用的知识信息：+=2a要想求只需平方，那么可得
+ 2=4 a2①式; ①式是出现了，但同时也出现了多余项、，与①式类比，联想三角形的余弦定理，有+ +2 cos=4c2②式
这样，①式—②式消去多余项得出所要值：= ，那么S△P =sina=b2 tan 当然，由一个知识信息，通过观察、分析、联想与类比，在自己良好的认知结构中能检索或挖出许许多多的知识信息，但是没有必要将其一一列出，因为无用的信息，反而会干扰解题思路与策略，只要平时善于观察、分析、比较、概括和总结，有用的符号逻辑的知识信息会很快被辨别，筛选提取出来。

所以说知识信息越丰富，解题思路越开阔。

建立良好的认知结构是理解、掌握和运用数学思想的有力
保证。

2．加强基础认识的教学、概括和提炼数学思想方法。

数学学习有知识、有思想的方法，还有技能，而且基本认识是提炼概括数学思想方法的基础。

如：“求曲线的方程即寻找曲线上动点坐标x与y的等号关系“它指出求曲线方程的解题方向。

“当公差d≠0时，等差数列的第n项是n的一次函数=pn+q，前n项和是n 的二次函数=a +bn”,这个认识的牢牢树立，是我们念念不忘用函数的思想或数形结合的思想，去解决等差数列的有关问题，有时会出现别开生面的解题捷径。

3．运用逆向思维，深化数学思想方法。

逆向思维是指与原先思维相反的方向上的思考，它是发散思维的一个主要形式，数学上的逆向思维常常表现在逆用定义、定理、公式、法则，逆向推理与证明，有时也表现在颠倒位置、变换角度与角色，重新思考问题，还表现在对课本上的浓缩的数学知识与方法的还原过程中，逆向思维往往可以克服思维定势中的负迁移，有利于深化思维，甚至还会出现令人惊喜的新思想、新方法、新发现的局面。

如；已知sin+acos -1=0, sin+bcos －1=0其中（sin >0,a≠b),直线L过点(a, )及(b, ),求证直线L恒与定圆相切。

分析：由已知不难看出：a,b为二次方程sin +xcos-1=0的二根，过两点的直线L的方程为y=(a+b)x－ab,再利用根与系数的关系，直线L的方程可化为xcos+ycos－1=0不难证明该直线与单位圆相切.
二、应实施“问题解决“的策略
要培养同学们的数学能力，特别是自学能力和创新能力，无疑要以“问题解决”为突破口。

问题解决的过程可为四个阶段：1．理解问题。

当我们拿到一个问题之后，应首先弄清楚它和条件和结论。

所谓弄清条件，是指罗列明条件；挖掘条件；弄清条件的等价说法；把条件作适合解题需要的转换。

所谓弄清结论，是指罗列目标；分析多目标之间的层次关系；弄清目标的等价说法；追求目标成立的充分条件，然后弄清它的结构，判明题型。

2．制定计划。

在弄清问题之后，我们需要搞清以已知的条件和结论之间的联系，从而探索解题的途径，这是整个解题过程的中心环节。

为了得到问题的解法，应该制定一个计划。

3．执行计划。

当探索到解法之后，要认真地加以整理，用确切的数学语言将解题过程表述出来。

在表述的过程要求层次分明，条理清楚，文字精炼，格式规范，合乎逻辑并仔细地检查每一个步骤。

4．回顾已完成的解答，检查和讨论这个解答。

这是解题的最后一个环节，检查验算主要是看结果是否正确，推理是否合乎逻辑，步骤是否完整，以便及时查缺补漏，纠正正误。

三、正确对待练习
当前，在数学教学中普遍存在“多练”现象，不少人认为练习越多越好，以致出现了所谓“题海战术”。

怎样对待练习呢？所谓练习，就是学生对学习任务的重复接触或重复反应。

这里的“重复”不能仅仅理解为机械的重复，而应当是指学生把已知数学理论、技能和活动经验应用到具体情景中的一种重现。

固然，在一定情况下，免不了有机械重复的现象，但仅仅理解为机械重复则是对练习的误解。

为了培养学生的数学能力，我们并不一概反对多练。

问题在于不能盲目地多练，练习数量的多少应根据具体情况而定，要以有利于学生数学认知结构的发展和完善，以期从根本上发展学生的数学能力为标准。

如何培养学生的数学能力是一个极其复杂的问题，研究的角度不仅要注意认知因素，而且还要注意非认知因素，即要把数学能力的培养与个性心理的全面发展联系起来考虑。

本文谈论的数学能力培养的几个问题，仅仅是当前数学教育界最关注的问题，以期起到抛砖引玉的作用。