2014北京66中高二(下)期中数学(理科)
北京66中高二数学下学期期中试题 理(含解析)
2012-2013学年北京66中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2010•湖南）复数的值为（）．2．（3分）（）32，∴a=4．（3分）若，则实数x的值为（），得①或36．（3分）（2007•杭州二模）在的展开式中的常数项是（）：32）在）在n9．（3分）（2012•昌图县模拟）若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则10．（3分）已知一个命题P（k），k=2n（n∈N），若n=1，2，…，1000时，P（k）成立，且二．填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）函数f（x）=1﹣lnx在x=1处的切线方程是y=2﹣x ．12．（4分）（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= 2 ．13．（4分）由0，1，3，5，7，9这六个数字组成480 个没有重复数字的六位奇数．5×4×=480 14．（4分）若（2x﹣1）7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，则a7+a5+a3+a1= 1094 ．=109415．（4分）已知x＞0，观察下列几个不等式：；；；；…；归纳猜想一般的不等式为，（n是正整数）．≥1+1，≥2+1，x+≥1+1，≥2+1，x+≥n+1，≥n+1（本题考查归纳推理，解题的关键在于发现左式中16．（4分）记f（1）（x）=[f（x）]′，f（2）（x）=[f（1）（x）]′，…，f（n）（x）=[f（n﹣1）（x）]′（n∈N+，n≥2）．若f（x）=xcosx，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+L+f（2013）（0）的值为1007 ．三．解答题（4道题，共36分）17．（6分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2x+5（1）求函数的单调区间．（2）求函数在[﹣1，2]区间上的最大值和最小值．得故函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣得故函数的单调递减区间为（端点的函数值18．（10分）用数学归纳法证明：当n为正整数时，13+23+33+…+n3=．=+•（+k+1•19．（10分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（l）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲不站左端，乙不站右端．方法有个人，全排列共有••）先把甲乙排好，有种方法，再从其余的任意排，有4×4×个人任意排，共有=120种，故共有••方法共有=480）先把甲乙排好，有种方法，再从其余的种．•=144任意排，有4×4×个人任意排，共有=12020．（10分）已知函数f（x）=x﹣alnx+在x=1处取得极值．（I）求a与b满足的关系式；（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．，然后对参数﹣﹣在=。
北京市第六十六中学14—15学年上学期高二第一次质量检测数学(理)试题(附答案) (1)
北京市第六十六中学14—15学年上学期高二第一次月考数学（理）试题2014.10—、选择题（每小题5分，共40分）1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝22．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为 A ．2 2 B.2－1 C ．22－1 D ．13．若022=-+-+m y x y x ，表示一个圆的方程，则m 的取值范围是 A. 21->m B. 21-≥m C. 21-<m D. 2->m 4．若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相交，则点),(b a P 与圆的位置关系是 A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定5．椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若△12PF F 的面积的最大值为12，则该椭圆的标准方程为A.221259x y += B. 2212516x y += C. 221169x y +=D. 161022=+y x 6． 设动点),(y x M 到)0,4(A 的距离与它到)0,4(-B 距离的差等于6，则点M 的轨迹方程是A ． 17922=-y xB ．)3(17922≥=-x y xC ．)3(17922-≤=-x y xD ．192522=-y x7．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C.[]－3，3 D.⎣⎡⎦⎤－23，08．若椭圆122=+n y m x 与双曲线q p n m qy p x ,,,(122=-均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅等于A ．2m p -2B ．m p -C ．p m -D ．22p m -二、填空题：（每小题5分，共25分） 9．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________．10．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． 11．)1,1(P 到圆1)5()4(22=-+-y x 上的任意点的最大距离是 . 12.过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为 .13．双曲线22:12x C y -=的离心率为____ __；若椭圆2221(0)x y a a +=>与双曲线C 有相同的焦点，则a =___ ___.三、解答题：（14、15题每题12分，16题11分）14．（本小题满分12分）求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程．15．（本小题满分12分）已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程； (3)圆C 上有一动点M (x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程．16．（本小题满分11分）椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一条直线l 经过点1F 与椭圆交于,A B 两点． （1）求2ABF ∆的周长； （2）若l 的倾斜角为4π，求2ABF ∆的面积．北京市第六十六中学2012—2013学年第一学期月考考试高二年级数学学科（理科）答案及评分标准2014.10—、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共25分）三、解答题（14、15题12分，16题11分）14.解：法一 设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，…………1分 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2，……………3分∴r 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|a －b |22＋(7)2，即2r 2＝(a －b )2＋14，①……………5分由于所求的圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2.②……………7分又因为所求圆心在直线3x －y ＝0上，∴3a －b ＝0.③……………9分 联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9. ……………11分 故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9. ……………12分 法二 设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，…………1分 圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F .…………3分 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由圆与x 轴相切，得Δ＝0，即D 2＝4F . ④ …………5分 又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22.由已知，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 222＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )⑤…………7分又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线3x －y ＝0上，∴3D －E ＝0.⑥…………9分联立④⑤⑥，解得D ＝－2，E ＝－6，F ＝1或D ＝2，E ＝6，F ＝1. …………11分故所求圆的方程是x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，或x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0. …………12分15解：(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，…………1分 则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，…………3分 从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0. …………4分16．解：（1）由椭圆的定义，得12122,2AF AF a BF BF a +=+=，又AB BF AF =+11， 所以，2ABF ∆的周长a BF AF AB 422=++=．………………2分又因为42=a ，所以2=a ，故2ABF ∆点周长为8．………………………………4分 ⑵由条件，得)0,1(1-F ，因为AB 的倾斜角为4π，所以AB 斜率为1， 故直线AB 的方程为1+=x y ．………………………………………………………5分。
北京市重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试 理科数学 含答案
2013——2014学年度第二学期期中练习高 二 数 学（理） 试 卷姓名 班级 学号 成绩一．选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. i 是虚数单位，52ii =-（ ） A 。
12i + B. 12i -+C.12i -- D 。
12i -2. 由直线1,2,0x x y ===与抛物线2y x =所围成的曲边梯形的面积为( ）A ．13B ．53C ．73D ．1133.8(2)x y - 的展开式中62x y 项的系数是( ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-4。
若曲线()2ln f x ax x =-在点()1,M a 处的切线平行于x 轴,则a 的值为（ )A ．2-B ．2C ．12- D ．125. 22(1cos )x dx ππ-+⎰等于 ( ）A ．πB 。
2 C. 2π- D 。
2π+6。
5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 （ ) A ．80 B ．80- C ．40 D ．40-7。
6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序 共有 （ ）A.240种 B 。
360种 C 。
480种 D 。
720种8。
下列命题中，假命题为（ ）A. 存在四边相等的四边形不是正方形 B 。
设12,z zC ∈，则12z z +为实数的充要条件是12,z z 互为共轭复数C 。
若,x y R ∈,且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 D. 对于任意n N *∈，012nn n n nCC C C ++++都是偶数 9．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( )A ．324B ．328C ．360D ．648 10。
函数()241xf x x =+()x R ∈ ( )A ．既有最大值2 ,又有最小值2-B ．无最大值,但有最小值2-C ．有最大值2 ,但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二．填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.将答案填在题中横线上）11. 如果复数()()2i 1i z m m =++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________．12。
北京市第六十六中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
2013.5试卷说明：1．本试卷共 三 道大题，共 3 页。
2．卷面满分 100 分，考试时间 90 分钟。
3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效。
—.选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．复数i-12等于 A . 1＋i B. 1－iC. －1＋iD. －1－i2．⎰212xdx 等于A. 6B. 5C. 4 D . 33. 函数f(x)=ax 3+3x 2+2,若(1)4f '-=,则a 的值是 ( )A.319 B.316 C.313 D . 310 4．若2121515x x C C ++=，则实数x 的值为 ( )A ．4B ．1C ．4或1D ．其它 5．曲线324y x x =-+在点(13)，处切线的倾斜角为 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°6．在8312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A .7 B ．7- C ．28 D ．28-7．函数()x x x x f 2323+-=的极值点的个数是（ ）.A.0B.1C.2D.38．在()nx y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于（ ） A.13,14 B ．14,15 C ．12,13 D ．11,12,139．若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ),3(+∞ B ),3[+∞- C ),3(+∞- D )3,(--∞10．已知一个命题P(k),k=2n(n ∈N),若n =1,2,…,1000时,P(k)成立,且当11000+=n 时它也成立,下列判断中,正确的是( )A.P(k)对k=2013成立B.P(k)对每一个自然数k 成立C.P(k)对每一个正偶数k 成立D.P(k)对某些偶数可能不成立二．填空题（每小题4分，共 24 分）11．函数()1ln 1f x x x =-=在处的切线方程是 .12．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则_____.13．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数. 14．若(2x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 5＋a 3＋a 1＝_____________． 15．已知0x >，观察下列几个不等式：12x x +≥；243x x +≥；3274x x +≥；42565x x+≥；……；归纳猜想一般的不等式为 16．记)]'([)()1(x f x f=，)]'([)()1()2(x f x f =，…，)]'([)()1()(x f x f n n -= )2,(≥∈+n N n ．若x x x f cos )(=，则(1)(2)(2013)(0)(0)(0)(0)f f f f ++++的值为 .三．解答题（4道题，共36分）17．(6分)已知函数f(x)=x 3-12x 2-2x+5.(1)求函数的单调区间;(2）求函数在[-1,2]区间上的最大值和最小值.18．（10分）用数学归纳法证明：当n 为正整数时，13＋23＋33＋……＋n 3＝22(1)4n n +19．（10分） 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（l ）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲不站左端，乙不站右端．20．(10分) 设函数xbx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值。
北京66中-学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)北师大版
2012-2013学年北京66中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2010•湖南）复数的值为（）解：2．（3分）（）32．，∴a=4．（3分）若，则实数x的值为（）解：由①或②36．（3分）（2007•杭州二模）在的展开式中的常数项是（）32∈∈）在n9．（3分）（2012•昌图县模拟）若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值10．（3分）已知一个命题P（k），k=2n（n∈N），若n=1，2，…，1000时，P（k）成立，且当n=1000+1二．填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）函数f（x）=1﹣lnx在x=1处的切线方程是y=2﹣x ．﹣12．（4分）（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= 2 ．13．（4分）由0，1，3，5，7，9这六个数字组成480 个没有重复数字的六位奇数．5×4×14．（4分）若（2x﹣1）7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，则a7+a5+a3+a1= 1094 ．=15．（4分）已知x＞0，观察下列几个不等式：；；；；…；归纳猜想一般的不等式为，（n是正整数）．x+x+≥3+1，…，类推可得变化，右式为x+x+≥3+1，…，x+x+本题考查归纳推理，解题的关键在于发现左式中的变化规律．16．（4分）记f（1）（x）=[f（x）]′，f（2）（x）=[f（1）（x）]′，…，f（n）（x）=[f（n﹣1）（x）]′（n∈N+，n≥2）．若f（x）=xcosx，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+L+f（2013）（0）的值为1007 ．三．解答题（4道题，共36分）17．（6分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2x+5（1）求函数的单调区间．（2）求函数在[﹣1，2]区间上的最大值和最小值．或故函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）故函数的单调递减区间为（）知18．（10分）用数学归纳法证明：当n为正整数时，13+23+33+…+n3=．=1=•（…819．（10分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（l）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲不站左端，乙不站右端．种；其余的人任意排，方法有种，再根据个人，全排列共有•方法共有•（种））先把甲乙排好，有种方法，再从其余的人放到甲乙中间，方法有种．把排个人进行排列，方法有种方法，最后，其余的人任意排，有4×4×=120种，故共•=480个人，全排列共有•=240方法共有•）先把甲乙排好，有人放到甲乙中间，方法有个人进行排列，方法有••种方法，最后，其余的人任意排，有4×4×=384个人任意排，共有20．（10分）已知函数f（x）=x﹣alnx+在x=1处取得极值．（I）求a与b满足的关系式；（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．，﹣，alnx+=．。
北京市重点中学年高二下期中数学试题(理)及答案(经典版)
北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高 二数学（理）试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。
A.120B.16C.64D.393．已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．124．由直线12y =,2y =,曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．2ln 2 B ．2ln 21- C ．1ln 22D ．545．以下说法正确的是（ ）A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6．设函数()ln =f x x x ，则()f x 的极小值点为（ ） A.=x e B.ln 2=x C.2=x e D.1=x e7．已知1212⨯=，221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯,．．．，以此类推，第5个等式为（ ）A ．4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯B ．521357956789⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯C ．4213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯D ．5213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯8．在复平面内，复数34i -，()2i i +对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）A ．22i -+B ．22i -C ．1i -+D ．1i - 9．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）10．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()54112012f x x mx =-22x -在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9C ．(,3]-∞D ．(),5-∞ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11．函数3()2f x x ax =+-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是12．设集合{}A b a A ∈=,,5,4,3,2,1,则方程122=+by a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有 个.13．设sin ,0,2()1,,22x x f x x ππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，则20()f x dx ⎰为 。
2013-2014年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2013-2014学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．（4分）复数z＝i（i+2）的虚部是（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i2．（4分）计算dx的结果是（）A．e B．1﹣e﹣2C．1D．e﹣13．（4分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么下面说法正确的是（）A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数B．在（1，3）内f（x）是减函数C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x＝2时，f（x）取得极小值4．（4分）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g （x）在x＝x0处的瞬时变化率D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率5．（4分）用反证法证明命题“已知A，B，C，D是空间中的四点，直线AB与CD是异面直线，则直线AC和BD也是异面直线．”应假设（）A．直线AC和BD是平行直线B．直线AB和CD是平行直线C．直线AC和BD是共面直线D．直线AB和CD是共面直线6．（4分）已知函数f（x）＝x sin x，记m＝f（﹣），n＝f（），则下列关系正确的是（）A．m＜0＜n B．0＜n＜m C．0＜m＜n D．n＜m＜0 7．（4分）已知曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝2x+1，设函数f（x）＝g（2x﹣1），则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线方程为（）A．y＝2x+1B．y＝4x﹣1C．y＝2x﹣1D．y＝4x+1 8．（4分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（）A．f（1）＞ef（0）B．f（1）＜ef（0）C．f（1）＞f（0）D．f（1）＜f（0）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）函数f（x）＝x﹣2lnx的单调递增区间为．10．（4分）已知复数z满足|z|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形的面积是．11．（4分）曲线y＝x2与直线y＝x所围成图形的面积为．12．（4分）设正三棱柱（底边为等边三角形的直棱柱）的体积为2，那么其表面积最小时，底面边长为．13．（4分）观察不等式：1++＜2，1+++…+＜3，1+++…+＜4，1+++…+＜5，…，由此归纳第n个不等式为．要用数学归纳法证明该不等式，由n＝k（k≥1）时不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的项数为．14．（4分）根据“已知点A（a0，0）是圆C1：+＝1外一点，设不垂直于x轴的直线l与圆C1交于P，Q两点，若x轴是∠P AQ的平分线，则直线l过定点A′（，0）”，通过类比可推知“已知点B（b0，0）是椭圆C2：+＝1（a＞b＞0）外一定点，设不垂直于x轴的直线l′与椭圆C2交于P′，Q′两点，若x轴是∠P′BQ′的平分线，则直线l′过定点B′”．（将点的坐标填入前面的横线上）三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱P A的中点，PD⊥BC．求证：（Ⅰ）PC∥平面BED；（Ⅱ）△PBC是直角三角形．16．（11分）已知函数f（x）＝ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值和最小值．17．（12分）已知函数f（x）＝e a﹣x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）求函数g（x）＝xf（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定函数h（x）＝f（x）+x的零点个数，并说明理由．18．（11分）在平面直角坐标系中，对于一条折线C：A1﹣A2﹣…﹣A n，若能再作出一条折线C′：A1﹣B2﹣B3﹣…﹣B n﹣A n，使得A1B2⊥A1A2，B2B3⊥﹣1A2A3，…，B n﹣1A n⊥A n﹣1A n（其中A1，A2，A3，…，A n，B2，B3，…，B n﹣1都是整点），则称折线C′是折线C的一条共轭折线（说明：横、纵坐标均为整数的点成为整点）．（Ⅰ）请分别判断图（1），（2）中，虚折线是否是实折线的一条个，共轭折线；（Ⅱ）试判断命题“对任意的n∈N且n＞2，总存在一条折线C：A1﹣A2﹣…﹣A n有共轭折线”的真假，并举例说明；（Ⅲ）如图（3），折线C：A1﹣A2﹣A3﹣A4，其中A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）．求证：折线C无共轭折线．2013-2014学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．（4分）复数z＝i（i+2）的虚部是（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i【解答】解：∵z＝i（i+2）＝﹣1+2i．∴复数z＝i（i+2）的虚部是2．故选：B．2．（4分）计算dx的结果是（）A．e B．1﹣e﹣2C．1D．e﹣1【解答】解：dx＝．故选：C．3．（4分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么下面说法正确的是（）A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数B．在（1，3）内f（x）是减函数C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x＝2时，f（x）取得极小值【解答】解：①在（﹣3，﹣），（2，4）上，f′（x）＜0，∴f（x）是减函数，②在（﹣，2），（4，5）上，f′（x）＞0，∴f（x）是增函数，③x＝2时，取到极大值；故选：C．4．（4分）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g （x）在x＝x0处的瞬时变化率D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率【解答】解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是，g（x）在a到b之间的平均变化率是，∴＝，即二者相等；∴选项A、B错误；对于C、D，∵函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x）在x＝x0处的导数，即函数f（x）在该点处的切线的斜率，同理函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数g（x）在x＝x0处的导数，即函数g（x）在x＝x0处的切线的斜率，由图形知，选项C错误，D正确．故选：D．5．（4分）用反证法证明命题“已知A，B，C，D是空间中的四点，直线AB与CD是异面直线，则直线AC和BD也是异面直线．”应假设（）A．直线AC和BD是平行直线B．直线AB和CD是平行直线C．直线AC和BD是共面直线D．直线AB和CD是共面直线【解答】解：用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”应假设直线AC、BD是共面直线，故选：C．6．（4分）已知函数f（x）＝x sin x，记m＝f（﹣），n＝f（），则下列关系正确的是（）A．m＜0＜n B．0＜n＜m C．0＜m＜n D．n＜m＜0【解答】解：∵f（x）＝x sin x，∴f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）是偶函数，∴m＝f（﹣）＝f（）当0时，函数y＝x，单调递增，y＝sin x单调递增，且此时f（x）＞0，∴此时f（x）＝x sin x在0上单调递增，∵＞，∴f（）＞f（）＞0，即f（﹣）＞f（）＞0，∴0＜n＜m，故选：B．7．（4分）已知曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝2x+1，设函数f（x）＝g（2x﹣1），则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线方程为（）A．y＝2x+1B．y＝4x﹣1C．y＝2x﹣1D．y＝4x+1【解答】解：曲线y＝g（x）在（1，g（1））处的切线是y＝2x+1，则：切点是（1，3），斜率是k＝2，得：g（1）＝3、g'（1）＝2，由f（x）＝g（2x﹣1），得：f′（x）＝2g′（2x﹣1），切线斜率k＝f′（1）＝2g′（1）＝2×2＝4．f（1）＝g（1）＝3，切点是（1，3），得切线是：y﹣3＝4（x﹣1），即：y＝4x﹣1．故选：B．8．（4分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（）A．f（1）＞ef（0）B．f（1）＜ef（0）C．f（1）＞f（0）D．f（1）＜f（0）【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝＝，∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（1）＞g（0），即，∴f（1）＞ef（0），故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）函数f（x）＝x﹣2lnx的单调递增区间为（2，+∞）．【解答】解：由题意知函数的定义域为（0，+∞）．函数f（x）＝x﹣2lnx的导数为，由f'（x）＞0，即，解得x＞2．此时函数单调递增．所以函数f（x）＝x﹣2lnx的单调增区间为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．10．（4分）已知复数z满足|z|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形的面积是4π．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），由|z|≤2，得，即x2+y2≤4．∴复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形是半径为2的圆．其面积为4π．故答案为：4π．11．（4分）曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积为 ．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y ＝x 与曲线y ＝x 2所围图形的面积S ＝∫01（x ﹣x 2）dx而∫01（x ﹣x 2）dx ＝（ ﹣）|01＝﹣＝∴曲边梯形的面积是故答案为：．12．（4分）设正三棱柱（底边为等边三角形的直棱柱）的体积为2，那么其表面积最小时，底面边长为 2 ．【解答】解：设正三棱柱的底面边长为x ，高为h ，∵体积为2，∴×x 2×h ＝2，∴h ＝，∴棱柱的表面积S ＝2××x 2+3xh ＝x 2+＝x 2++≥6， 当x 3＝8时，即x ＝2时，取“＝”．故答案为：2．13．（4分）观察不等式：1++＜2，1+++…+＜3，1+++…+＜4，1+++…+＜5，…，由此归纳第n 个不等式为．要用数学归纳法证明该不等式，由n＝k（k≥1）时不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的项数为2k+1．【解答】解：第一空：∵不等式的右侧：2＝1+1，3＝2+1，4＝3+1，…左侧：每一项分别有：22﹣1，23﹣1，24﹣1，…项，每一项中最后一项的分母为：．∴由此归纳第n个不等式为：，第二空：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n＝k，末项为，到n＝k+1，末项为，∴应增加的项数为2k+1．故答案为：；2k+1（注：每空2分）14．（4分）根据“已知点A（a0，0）是圆C1：+＝1外一点，设不垂直于x轴的直线l与圆C1交于P，Q两点，若x轴是∠P AQ的平分线，则直线l过定点A′（，0）”，通过类比可推知“已知点B（b0，0）是椭圆C2：+＝1（a＞b＞0）外一定点，设不垂直于x轴的直线l′与椭圆C2交于P′，Q′两点，若x轴是∠P′BQ′的平分线，则直线l′过定点B′”．（将点的坐标填入前面的横线上）【解答】解：根据“已知点A（a0，0）是圆C1：+＝1外一点，设不垂直于x轴的直线l与圆C1交于P，Q两点，若x轴是∠P AQ的平分线，则直线l 过定点A′（，0）”中，A′点横坐标的分子为的分母，分子是A点的横坐标，可以类比得到：“已知点B（b0，0）是椭圆C2：+＝1（a＞b＞0）外一定点，设不垂直于x轴的直线l′与椭圆C2交于P′，Q′两点，若x轴是∠P′BQ′的平分线，则直线l′过定点B′，故答案为：（注：回答出给（4分）；答案为或或给（3分）；其它答案酌情给1～（2分）；未作答，给0分）三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱P A的中点，PD⊥BC．求证：（Ⅰ）PC∥平面BED；（Ⅱ）△PBC是直角三角形．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE．在矩形ABCD中，AO＝OC．因为AE＝EP，所以OE∥PC．因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．（Ⅱ）在矩形ABCD中，BC⊥CD．因为PD⊥BC，CD∩PD＝D，PD⊂平面PDC，DC⊂平面PDC，所以BC⊥平面PDC．因为PC⊂平面PDC，所以BC⊥PC．即△PBC是直角三角形．16．（11分）已知函数f（x）＝ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ax3+3x+2，∴f'（x）＝3ax2+3．∵函数f（x）的一个极值点是1，∴f'（1）＝3a+3＝0．解得：a＝﹣1．经检验，a＝﹣1满足题意．∴f（x）＝﹣x3+3x+2，∴f（2）＝0，f'（2）＝﹣9．∴曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y＝﹣9（x﹣2），即9x+y﹣18＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f'（x）＝﹣3x2+3．令f'（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝1．当x在[﹣2，3]上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表∴函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值为4，最小值为﹣16．17．（12分）已知函数f（x）＝e a﹣x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）求函数g（x）＝xf（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定函数h（x）＝f（x）+x的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）＝xe a﹣x，x∈R，∴g'（x）＝（1﹣x）e a﹣x．令g'（x）＝0，得x＝1．当x变化时，g（x）和g'（x）的变化情况如下：故g（x）的单调递减区间为（1，+∞）；单调递增区间为（﹣∞，1）．（Ⅱ）∵h（x）＝e a﹣x+x，∴h'（x）＝1﹣e a﹣x．令h'（x）＝0，得x＝a．当x变化时，h（x）和h'（x）的变化情况如下：即h（x）的单调递增区间为（a，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，a）．∴h（x）的最小值为h（a）＝1+a．①当1+a＞0，即a＞﹣1时，函数h（x）不存在零点．②当1+a＝0，即a＝﹣1时，函数h（x）有一个零点．③当1+a＜0，即a＜﹣1时，h（0）＝e a＞0，下证：h（2a）＞0．令m（x）＝e x﹣2x，则m'（x）＝e x﹣2．解m'（x）＝e x﹣2＝0得x＝ln2．当x＞ln2时，m'（x）＞0，∴函数m（x）在[ln2，+∞）上是增函数．取x＝﹣a＞1＞ln2，得：m（﹣a）＝e﹣a+2a＞e ln2﹣2ln2＝2﹣2ln2＞0．∴h（2a）＝e﹣a+2a＝m（﹣a）＞0．结合函数h（x）的单调性可知，此时函数h（x）有两个零点．综上，当a＞﹣1时，函数h（x）不存在零点；a＝﹣1时，函数h（x）有一个零点；当a＜﹣1时，函数h（x）有两个零点．18．（11分）在平面直角坐标系中，对于一条折线C：A1﹣A2﹣…﹣A n，若能再﹣A n，使得A1B2⊥A1A2，B2B3⊥作出一条折线C′：A1﹣B2﹣B3﹣…﹣B n﹣1A2A3，…，B n﹣1A n⊥A n﹣1A n（其中A1，A2，A3，…，A n，B2，B3，…，B n﹣1都是整点），则称折线C′是折线C的一条共轭折线（说明：横、纵坐标均为整数的点成为整点）．（Ⅰ）请分别判断图（1），（2）中，虚折线是否是实折线的一条个，共轭折线；（Ⅱ）试判断命题“对任意的n∈N且n＞2，总存在一条折线C：A1﹣A2﹣…﹣A n有共轭折线”的真假，并举例说明；（Ⅲ）如图（3），折线C：A1﹣A2﹣A3﹣A4，其中A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）．求证：折线C无共轭折线．【解答】解：（Ⅰ）（1）不是，因为线段A1B2与线段A1A2不垂直；（2）不是，因为线段B2B3与线段A2A3不垂直．…（2分）（Ⅱ）命题“对任意n∈N且n＞2，总存在一条折线C：A1﹣A2﹣…﹣A n有共轭折线”是真命题．理由如下：当n为奇数时，不妨令n＝2k﹣1，k＝2，3，4，…，取折线C：A1﹣A2﹣…﹣A2k．其中A i（a i，b i）（i＝1，2，…，2k﹣1），﹣1＝0（i＝1，2，…，k），b2i＝1（i＝1，满足a i＝i﹣1（i＝1，2，…，2k﹣1），b2i﹣12，…，k﹣1）．则折线C的共轭折线为折线C关于x轴对称的折线．如图所示．当n为偶数时，不妨令n＝2k，k＝2，3，4，…，取折线C：A1﹣A2﹣…﹣A2k．其中A i（a i，b i）（i＝1，2，…，2k），满足a i＝i﹣1（i＝1，2，…，2k﹣1），a2k＝2k，b2i＝0（i＝1，2，…，k），b2i﹣1＝1（i＝1，2，…，k）．折线C的共轭折线为折线C'：B1﹣B2﹣…﹣B2k．其中B i（x i，y i）（i＝1，2，…，2k）满足：x i＝i﹣1（i＝1，2，…，2k﹣3），x2k﹣2＝2k﹣1，x2k﹣1＝2k+1，x2k＝2k，y2i﹣1＝0（i＝1，2，…，k﹣1），y2i＝﹣1（i＝1，2，…，k﹣2），y2k﹣2＝﹣3，y2k﹣1＝﹣1，y2k＝1．如图所示．…（7分）注：本题答案不唯一．证明：（Ⅲ）假设折线B1﹣B2﹣B3﹣B4是题设中折线C的一条共轭折线（其中B1＝A1，B4＝A4），设（t＝1，2，3），显然x t，y t为整数．则由B t B t+1⊥A t A t+1，得：由①②③式得这与⑤式矛盾，因此，折线C无共轭折线．…（11分）。
第六十六中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学试题及答案(理)
北京市第六十六中学2012-2013学年高二下学期期中考试（理）—.选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．复数i-12等于（ ） A. 1＋i B. 1－iC. －1＋iD. －1－i2．⎰212xdx 等于（ ）A. 6B. 5C. 4D. 33. 函数f(x)=ax 3+3x 2+2,若(1)4f '-=,则a 的值是 ( )A.319 B.316 C.313 D. 310 4．若2121515x x C C ++=，则实数x 的值为 ( )A ．4B ．1C ．4或1D ．其它 5．曲线324y x x =-+在点(13)，处切线的倾斜角为 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°6．在82x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．函数()x x x x f 2323+-=的极值点的个数是（ ）. A.0 B.1 C.2 D.38．在()nx y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于（ ） A.13,14 B ．14,15 C ．12,13 D ．11,12,139．若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ),3(+∞ B ),3[+∞- C ),3(+∞- D )3,(--∞10．已知一个命题P(k),k=2n(n ∈N),若n =1,2,…,1000时,P(k)成立,且当11000+=n 时它也成立,下列判断中,正确的是( )A.P(k)对k=2013成立B.P(k)对每一个自然数k 成立C.P(k)对每一个正偶数k 成立D.P(k)对某些偶数可能不成立二．填空题（每小题4分，共 24 分）11．函数()1ln 1f x x x =-=在处的切线方程是 . 12．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则_____.13．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数. 14．若(2x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 5＋a 3＋a 1＝_____________． 15．已知0x >，观察下列几个不等式：12x x +≥；243x x+≥； 3274x x +≥；42565x x +≥；……；归纳猜想一般的不等式为16．记)]'([)()1(x f x f =，)]'([)()1()2(x f x f =，…，)]'([)()1()(x f x f n n -= )2,(≥∈+n N n ．若x x x f cos )(=，则(1)(2)(2013)(0)(0)(0)(0)f f f f ++++的值为 .三．解答题（4道题，共36分）17．(6分)已知函数f(x)=x 3-12x 2-2x+5.(1)求函数的单调区间;(2）求函数在[-1,2]区间上的最大值和最小值.18．（10分）用数学归纳法证明：当n 为正整数时，13＋23＋33＋……＋n 3＝22(1)4n n +19．（10分） 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（l ）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲不站左端，乙不站右端．20．(10分) 设函数xbx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值。
北京市重点中学年高二下期中数学试题(理)及答案-精
北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高 二数学（理）试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。
A.120B.16C.64D.393．已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．124．由直线12y =,2y =,曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．2ln 2B ．2ln 21-C ．1ln 22D ．545．以下说法正确的是（ ）A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6．设函数()ln =f x x x ，则()f x 的极小值点为（ ） A.=x e B.ln 2=x C.2=x e D.1=x e7．已知1212⨯=，221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯,．．．，以此类推，第5个等式为（ ）A ．4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯B ．521357956789⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯C ．4213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯D ．5213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯8．在复平面内，复数34i -，()2i i +对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）A ．22i -+B ．22i -C ．1i -+D ．1i -9．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）10．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()54112012f x x mx =-22x -在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9C ．(,3]-∞D ．(),5-∞二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11．函数3()2f x x ax =+-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是12．设集合{}A b a A ∈=,,5,4,3,2,1,则方程122=+by a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有 个.13．设sin ,0,2()1,,22x x f x x ππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，则20()f x dx ⎰为 。
北京市第六十六中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
高二上学期期中考试数学（理）试题2014.11—、选择题（每小题5分，共40分）1. 已知命题 :p x ∀∈R ，2x >，那么命题p ⌝为（ ）A ．2R x x ∀∈<，B ．2R x x ∃∈≤，C ．2R x x ∀∈≤，D ．2R x x ∃∈<， 2. 圆22240x y x y ++-=的半径为（ ）A ． 3B ．C ．D ． 53． “0ab >”是“方程221ax by +=表示椭圆”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不是充分条件又不是必要条件4( ) A.22124y x -= B.22142y x -= C.22146y x -= D.221410y x -= 5. 抛物线22y x =的焦点坐标是 （ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛081，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛021，D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛810，6．设椭圆22221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211216x y += B ．2211612x y +=C ．2214864x y += D ．2216448x y +=7．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．28．已知直线:34120l x y +-=，若圆上恰好存在两个点P Q 、，它们到直线l 的距离为1，则称该圆为“理想型”圆．则下列圆中是“理想型”圆的是（ ）A ．221x y +=B ．2216x y += C ．22(4)(4)1x y -+-= D ．22(4)(4)16x y -+-= 二、填空题（每小题4分，共20分）9．双曲线22149x y -=的实轴长为 .10．命题“若2x <，则3x <”的否命题是 .11．已知双曲线22221(0-=>,x y a a bb>0)的一条渐近线方程是y =,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为 .12．已知1(0)2A B -,,是圆F:221()4(2x y F -+=为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为 .13．如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是 .三、计算题（每小题10分，共40分）14．已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=，圆C 关于直线10x y +-=对称，圆心在第二象． （1）求圆C 的方程；（2）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．15．抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为2(3-． （1）求抛物线的方程和椭圆C 的方程；（2）若双曲线与椭圆C 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线的方程． 16．已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点．（1）求证 ：OB OA ⊥； （2）当OAB ∆的面积为10时，求k 的值．17．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.2014.11 —、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题4分，共20分）三、解答题（每小题10分，共40分）14．解：（Ⅰ）由知圆心C的坐标为又∵圆心C在第二象限∴由①②解得D=2，E=－4 …………4分∴所求圆C的方程为：…………………………5分（Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设：………6分圆C:15．解：由题意可知抛物线开口向左，故设抛物线的标准方程为…1分，…………2分，…………4分故准线方程为，，…………5分………7分（2）因为双曲线与椭圆C共焦点，所以双曲线的焦点也在轴上，且则设双曲线的方程为由题意可知：………8分解得，………10分16．解：（1）设…………2分易得，所以，………3分∴=0，∴…………5分（2）∵，…………6分17．解:(1)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1). ……1分设点P的坐标为(x,y).由题意得…………3分化简得. …………4分故动点P的轨迹方程为. …………5分(2)解法一:设点P的坐标为点M (3,y,(3,y||. …………7分又直线AB的方程为x+y=0,|AB|点P到直线AB的距离于是△PAB的面积|AB|||. …………8分当时,得||.又||所以||,解得.…………9分因为所以.故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为. ………10分解法二:若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,设点P的坐标为则|PA||PB|sin|PM||PN|sin. ………6分因为sin sin所以.………7分故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为.…10分。
北京市第六十六中学高二下学期期中考试(数学理)(无答案)
北京市第六十六中学—第二学期期中检测高 二 数 学 试 卷 （理科）—、选择题（本大题共10小题， 共40分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将你认为正确的答案前面的字母填写在题末括号内。
1.复数i-12等于（ ） A. -2i B. 2i C. 1-i D. 1+i2.在导数定义中，自变量x 在x 0处的增量△x 的取值是 （ ）A. △x>0B. △x<0C. △x=0D. △x ≠03．已知函数1)(3++=x ax x f ，若4)1(/=f ，则a 的值等于 （ ）A. 1B. -1C.35 D.- 35 4．函数x x x y 9323--=的递减区间是 （ ）A. （-1，+∞）B. （-∞，3）C.（-1，3）D.（-∞，-1）和（3，+∞）5．若曲线f(x)＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为 （ ） A. (1，－3) B. (1，5) C. (1，0) D. (－1，2)6．若复数i z +=31，i z -=12，则21z z z =在复平面内的对应点位于 （ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限7．用数学归纳法证明),1(11112*∈≠--=+++++N n x x x x x x n n，在验证n=1时，等式左边的项是 （ ）A. 1B.1+xC. 21x x ++D.x8．直线x y =与抛物线2x y =所围成的图形面积是 （ ）A. 1B. 2C.32 D.61 9．若a,b 是任意实数,且a ＞b,则A. a 2＞b 2B. (21)a ＜(21)bC. lg(a-b)＞0D. ab ＜1 10．设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是 （ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共16分）11．计算⎰10dx x = 。
12．复数)23)(2(i i -+的实部是 。
2014北京66中高二(下)期中(数学)理
2014北京66中高二（下）期中数学（理）一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）下列极坐标方程表示圆的是（）A．ρ=1B．C．ρsinθ=1D．ρ（sinθ+cosθ）=12．（4分）在复平面内，复数的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）椭圆（φ是参数）的离心率是（）A． B．C．D．4．（4分）若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定5．（4分）如图，已知曲边梯形ABCD的曲边DC所在的曲线方程为，e是自然对数的底，则曲边梯形的面积是（）A．1 B．e C．D．6．（4分）如图所示，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD=25°，则∠C为（）A．45°B．40° C．35° D．30°7．（4分）数列{a n}满足a1=，a n+1=1﹣，则a2014等于（）A． B．﹣1 C．2 D．38．（4分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）复数z=的虚部是．10．（4分）圆C：（θ为参数）的圆心坐标为；直线l：y=2x+1被圆C所截得的弦长为．11．（4分）如图，B，C为圆O上的两个点，P为CB延长线上一点，PA为圆O的切线，A为切点．若PA=2，BC=3，则PB= ；= ．12．（4分）如图，已知点，点P（x0，y0）（x0＞0）在曲线y=x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等时，则x0= ．13．（4分）若f（x）=2xf′（1）+x2，则f′（0）= ．14．（4分）设函数f0（x）=sinx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，f n+1（x）=f′n（x），n∈N，则= ．三、解答题（本题共4小题，共44分）15．（10分）设复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，问当m为何值时：（1）z是实数？（2）z是纯虚数？16．（10分）已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．17．（10分）设f（x）=，x1=1，x n=f（x n﹣1）（n≥2，n∈N*）（1）求x2，x3，x4的值；（2）归纳并猜想{x n}的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想．18．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式f（x）＜mx的解集为P，若M={x|≤x≤2}，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．。
2014北京66中高二(下)期中数学(文)含答案
2014北京66中高二（下）期中数学（文）一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．（4分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=33．（4分）若集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，5，7}，B={1，3，5，6，7}，则集合∁U（A∩B）是（）A．{2，4，6} B．{1，3，5，7} C．{2，4} D．{2，5，6}4．（4分）函数的图象和函数g（x）=log2x的图象的交点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（4分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b36．（4分）已知命题p：∃x≥0，2x=3，则（）A．¬p：∀x＜0，2x≠3 B．¬p：∀x≥0，2x≠3 C．¬p：∃x≥0，2x≠3 D．¬p：∃x＜0，2x≠37．（4分）函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．b＞0 B．b＜1 C．0＜b＜D．0＜b＜8．（4分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共28分）9．（4分）计算= ．10．（4分）设函数f（x）=则f[f（）]= ．11．（4分）函数y=x2﹣x（﹣1≤x≤1）的值域是．12．（4分）已知直线y=ex与函数f（x）=e x的图象相切，则切点坐标为．13．（4分）函数是幂函数，当x＞0时，f（x）单调递减，则m= ．14．（4分）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1=0的两个实根，则ab= ．15．（4分）设A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，A∩B=B，则实数a= ．三、计算题（本题共40分）16．（10分）若函数y=3mx2﹣（2m+6）x+m+3在（﹣∞，1）上单减，求实数m的取值范围．17．（10分）已知A={x|x2﹣ax﹣2a2＜0}，B={y|0＜y≤3}，B⊆A，求实数a的取值范围．18．（10分）已知函数f（x）=（x2﹣mx+m）•e x（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调区间．19．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣2x+5．（Ⅰ）若f（x）在区间（﹣，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的值；（Ⅱ）求正整数a，使得f（x）在区间（﹣3，）上为单调函数．2014北京66中高二（下）期中数学（文）参考答案一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．【解答】根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．2．【解答】根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故选A3．【解答】因为A={1，3，5，7，}，B={1，3，5，6，7}，∴A∩B={1，3，5，7}．∵U={1，2，3，4，5，6，7}；∴C U（A∩B）={2，4，6}．故选：A．4．【解答】在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点故选B5．【解答】a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．6．【解答】∵存在性命题”的否定一定是“全称命题∴命题p：∃x≥0，2x=3的否定为：∀x≥0，2x≠3故选B7．【解答】因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x）=3x2﹣6b=0，得x2=2b，显然b＞0，∴x=±，又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜．故选D．8．【解答】∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，B 存在f′（x′）＞f′（x″），C 对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），D 对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选A．二、填空题（每小题4分，共28分）9．【解答】===故答案为：10.【解答】因为函数f（x）=，所以f（）=，所以f[f（）]=f（﹣1）=5．故答案为：5．11．【解答】∵函数y=x2﹣x（﹣1≤x≤1）的开口向上，对称轴为x=，顶点为，据此做出其图象，∴函数y=x2﹣x（﹣1≤x≤1）在[﹣1，]上单调递减，在[，1]上单调递增，∴当x=时，y min=﹣，又∵x=﹣1时，y=2；x=1时，y=0，∴y max=2所以函数y=x2﹣x（﹣1≤x≤1）值域为．故答案为12．【解答】设切点P（x，y）∵f′（x）=e x由导数的几何意义可得切线的斜率k=e=e x∴x=1，y=e即切点坐标（1，e）故答案为（1，e）13．【解答】∵函数是幂函数，当x＞0时，f（x）单调递减，∴可得m2﹣3m＜0解得0＜m＜3，又m∈Z，当m=1，2满足条件故答案为：1或2．14．【解答】∵lga，lgb是方程2x2﹣4x+1=0的两个实根，∴lga+lgb=﹣，即lgab=2，则ab=100，故答案为：10015．【解答】∵x2﹣2x﹣3=0，∴（x+1）（x﹣3）=0，∴x=﹣1或x=3．∴A={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}．∵A∩B=B，∴B⊆A．∵B={x|ax﹣1=0}，∴当a=0时，方程ax﹣1=0无解，B=∅，适合题意；当a≠0时，方程ax﹣1=0的解，∵，∴，．∴实数a=．故答案为：．三、计算题（本题共40分）16．【解答】当m=0时，y=﹣6x+3在R上是减函数，满足条件．当m≠0，时，由题意得解得，，终上所述，实数m的取值范围为[0，]．17．【解答】由x2﹣ax﹣2a2＜0⇔（x﹣2a）（x+a）＜0．当a＞0时，A=（﹣a，2a），B=（0，3]，由得；当a=0时，A=∅，不符合题意，舍去；当a＜0时，A=（2a，﹣a），B=（0，3]，由得a＜﹣3．综上所述，．18．【解答】（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，即f（x）=（x2﹣mx+m）•e x=0有解，则等价为x2﹣mx+m=0有解，即△=m2﹣4m≥0，解得m≥4或m≤0，即实数m的取值范围m≥4或m≤0；（Ⅱ）当m＜0时，函数的导数f′（x）=[x2+（2﹣m）x]e x=x[x﹣（m﹣2）]•e x，∵m＜0，∴由f′（x）＞0，得x＞0或x＜m﹣2；由f′（x）＜0，得m﹣2＜x＜0；故f（x）的递增区间为（0，+∞）和（﹣∞，m﹣2），f（x）的递减区间为（m﹣2，0）．19．【解答】（Ⅰ）∵f′（x）=3x2+2ax﹣2由函数f（x）=x3+ax2﹣2x+5在区间（﹣，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增可得f′（1）=0即2a+1=0∴a=﹣；（Ⅱ）令f′（x）=3x2+2ax﹣2=0，可得，．当a是正整数时，x1＜0＜x2．使得f（x）在区间（﹣3，）上为单调函数，只需f′（﹣3）≤0，且f′（）≤0，即25﹣6a≤0，且≤0，所以由已知a为正整数，得a=5．。
北京市重点中学年高二下期中数学试题(理)及答案
北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高 二数学（理）试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。
A.120B.16C.64D.393．已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．124．由直线12y =,2y =,曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．2ln2B ．2ln 21-C ．1ln 22D ．545．以下说法正确的是（ ）A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6．设函数()ln =f x x x ，则()f x 的极小值点为（ ） A.=x e B.ln 2=x C.2=x e D.1=x e7．已知1212⨯=，221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯,．．．，以此类推，第5个等式为（ ）A ．4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯B ．521357956789⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯C ．4213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯D ．5213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯8．在复平面内，复数34i -，()2i i +对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）A ．22i -+B ．22i -C ．1i -+D ．1i -9．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）10．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()54112012f x x mx =-22x -在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9C ．(,3]-∞D ．(),5-∞二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11．函数3()2f x x ax =+-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是12．设集合{}A b a A ∈=,,5,4,3,2,1,则方程122=+by a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有 个.13．设sin ,0,2()1,,22x x f x x ππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，则2()f x dx ⎰为 。
北京市第六十六中学2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年北京六十六中高二（下）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）已知数列满足，且，那么（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．（4分）已知函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．（4分）已知某离散型随机变量服从的分布列如表，则随机变量的方差等于（）01A ．B ．C ．D ．5．（4分）已知曲线的一条切线斜率是3，则切点的横坐标为（ ）A ．B ．C ．1D ．26．（4分）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（ ）A ．B ．C ．3D ．87．（4分）已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）A ．15B ．31C ．63D ．648．（4分）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（4分）设是各项均为正数的等比数列，为其前项和．已知，，若存在使得，，，的乘积最大，则的一个可能值是（ ）{}n a 12n n a a +=+12a =5a =()ex xf x =()f x '=1e xx -1e xx +1e x x -1exx +-{}4A =两次的点数之和为{}B =两次的点数均为奇数()P B A =112142923X X ()D X X Pm2m19291323()212f x x x =+2-1-{}n a 2a 3a 6a {}n a 24-3-{}n a 11a =4581258a a a a a a ++=++5S {}n a {}n a 0N 0n N >0n a >{}n a n S n 1316a a ⋅=314S =0n 1a 2a ⋅⋅⋅0n a 0nA ．4B ．5C ．6D ．710．（4分）为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．给出下列四个结论：①在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；②在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；③在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；④在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③④C ．②③D ．①③二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数，则______．12．（5分）设是等差数列，且，，则数列的前项和的最大值是______．13．（5分）某一批种子的发芽率为．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为______．14．（5分）已知数列的首项，，则______，猜想其通项公式是______．15．（5分）设随机变量的分布列如下：12345c t ()c f t =t 1t 2t []23,t t []12,t t []23,t t ()cos f x x =π6f ⎛⎫=⎪⎝⎭'{}n a 13a =12n n a a +=-{}n a n n S 35{}n a 11a =()11,2,3,1nn na a n a +==⋅⋅⋅+4a =n a =ξξ①；②当时，；③若为等差数列，则；④的通项公式可能为．其由所有正确命题的序号是______．三、解答题（本题共6小题，共85分）16．（13分）已知是等比数列，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前项和．17．（15分）某单位有，两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：选择餐厅（早餐，午餐）甲30204010乙20251540假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．（Ⅰ）估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；（Ⅱ）记为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）判断甲、乙两人在早餐选择餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择餐厅用餐？说明理由．18．（15分）已知函数．（Ⅰ）求函数在区间上的平均变化率；（Ⅱ）求函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（Ⅲ）设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值．19．（15分）2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展P1a 2a 3a 4a 5a ()()213P P ξξ≤=-≥()11,2,3,42n n a n ==5412a ={}n a 315a ={}n a ()11n a n n =+{}n a 11a =48a ={}n a {}n b 23b a =45b a ={}n b n n S A B (),A A (),A B (),B A (),B B X X ()E X A B ()322f x x x =-+()f x []0,2()f x ()()2,2f ()2kg x x x=+()y f x =()()1,1f ()y g x =()()1,1g k会以“拥抱汽车行业新时代”为主题在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果，为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分．问卷结束后，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如图频率分布直方图．（1）求图中的的值；（2）在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用表示分数在中的人数，求的分布列及数学期望；（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为，若中位数的估计值为，写出与的大小关系．（直接写出结果）20．（15分）已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（Ⅲ）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）．21．（12分）已知是公差不为0的无穷等差数列．若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质．（Ⅰ）已知，，判断数列，是否具有性质；（Ⅱ）若数列具有性质，证明：的各项均为整数；[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100a X [)50,60X m n m n {}n a n n S ()*23n n S a n n =-∈N 123a a a 、、{}3n a +{}n a {}n a {}n a {}n a m a n a {}n a i a i m n a a a ={}n a P 3n a n =()321,2,n b n n =+=⋅⋅⋅{}n a {}n b P {}n a P {}n a（Ⅲ）若，求具有性质的数列的个数．2023-2024学年北京六十六中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【答案】【解答】解：，且，数列是等差数列，公差为2，首项为2．那么．故选：．2．【答案】【解答】解：，．故选：．3．【答案】【解答】解：由题意记事件，包含的基本事件数是，，，共3个基本事件，在发生的条件下，事件：，包含的基本事件数是，，共2个基本事件，所以．故选：．4．【答案】【解答】解：由题意可得：，所以，所以，所以．故选：．5．【答案】【解答】解：由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值．令导数，曲线的一条切线斜率是3，可得，故切点的横坐标为2，故选：．6．【答案】【解答】解：等差数列的首项为1，公差不为0．，，成等比数列，，，且，，解得，120a =P {}n a C12n n a a +=+ 12a =∴{}n a ()5225110a =+⨯-=C C()e x xf x = ()()2e e 1e ex x x x x x f x --∴=='C D{}4A =两次的点数之和为()1,3()2,2()3,1A B {}两次的点数均为奇数()1,3()3,1()23P B A =D B21m m +=13m =12201333EX =⨯+⨯=22212220133339DX ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B D1y x '=+()212f x x x =+2x =D A{}n a 2a 3a 6a 2326a a a ∴=⋅()()()211125a d a d a d ∴+=++11a =0d ≠2d =-前6项的和为．故选：．7．【答案】【解答】解：设公比为，，且，，，，故选：．8．【答案】【解答】解：因为数列是公差不为0的无穷等差数列，当为递增数列时，公差，令，解得，表示取整函数，所以存在正整数，当时，，充分性成立；当时，，，则，必要性成立；是充分必要条件．故选：．9．【答案】【解答】解：等比数列中，公比；由，所以，又，所以，解得：，或，若时，可得，可得，，，的值为2，4，8，，不会存在使得，，，的乘积最大（舍去），若时，可得，可得，，，的值为8，4，2，1，，，观察可知存在，使得的乘积最大，综上，可得的一个可能是4．故选：．10．【答案】{}n a ∴()61656566122422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-A Bq 11a =4581258a a a a a a ++=++3473481q q q q q q ++∴==++2q ∴=()551123112S -∴==-B C{}n a {}n a 0d >()110n a a n d =+->11a n d >-11a d ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1011a N d ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦0n N >0n a >0n N >0n a >10n a -<10n n d a a -=->C A{}n a 0q >213216a a a ⋅==24a =314S =13131610a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩1328a a =⎧⎨=⎩1382a a =⎧⎨=⎩1328a a =⎧⎨=⎩2q =1a 2a ⋅⋅⋅0n a 16⋅⋅⋅0n 1a 1a 2a ⋅⋅⋅0n a 1382a a =⎧⎨=⎩12q =1a 2a ⋅⋅⋅0n a 1214⋅⋅⋅04n =8421⨯⨯⨯0n A D【解答】解：①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④错误．故选：．二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11．【答案】见试题解答内容【解答】解：，，，故答案为：12．【答案】4．【解答】解：是等差数列，且，，数列是首项为3，公差为的等差数列，，时，数列的前项和取最大值4．故答案为：4．13．【答案】．【解答】解：设事件表示“恰有2颗种子发芽”，则．故答案为：．14．【答案】见试题解答内容【解答】解：数列的首项，，，同理可得：，．1t 2t ()2f t '()()3232f t f t t t --[]12,t t ()()2121f t f t t t --[]23,t t ()()3232f t f t t t --D ()cos f x x = ()sin f x x ∴=-'ππ1sin 662f ⎛⎫=-'=- ⎪⎝⎭12-{}n a 13a =12n n a a +=-∴{}n a 2-()()()221324242n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+2n ∴={}n a n n S 54125A ()2233254C 55125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭54125{}n a 11a =()11,2,3,1nn na a n a +==⋅⋅⋅+121112a a a ∴==+313a =414a =猜想其通项公式是．故答案为：，．15．【答案】①②③．【解答】解：对于①，，，，故①正确；对于②，当时，，故②正确；对于③，若为等差数列，则，，故③正确；对于④，当的通项公式为时，，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本题共6小题，共85分）16．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）在等比数列，由，，得，；（Ⅱ），，则等差数列的公差，．的前项和．17．【答案】（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）分布列见解析，期望为3；（Ⅲ）乙更有可能在午餐选择餐厅用餐．【解答】解：（Ⅰ）由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为；（Ⅱ）易知的可能值是2，3，4，，，1n a n =141n()()()212P P P ξξξ≤==+=()()()()()()13134512P P PP P P ξξξξξξ-≥=-=-=-===+=()()213P P ξξ∴≤=-≥()11,2,3,42n n a n ==5234411111112222162a =----=={}n a 12345351a a a a a a ++++==315a ∴={}n a ()11111n a n n n n ==-++123451111111111511122334455666a a a a a ++++=-+-+-+-+-=-=≠12n n a -=235n S n n =-{}n a 11a =48a =2q ==12n n a -∴=31223224b a -====514452216b a -===={}n b 4216464242b b d --===--12462b b d ∴=-=-=-{}n b ∴n ()2126352n n n S n n n -=-+⨯=-B 600.6100P ==X ()406020.24100100P X ==⨯=()4040606030.52100100100100P X ==⨯+⨯=，的分布列为2340.240.520.24．（Ⅲ）甲在早餐选择餐厅用餐的条件下午餐选择餐厅用餐的概率为，乙在早餐选择餐厅用餐的条件下午餐选择餐厅用餐的概率为，所以乙更有可能在午餐选择餐厅用餐．18．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解答】解：（Ⅰ）在上的平均变化率为；（Ⅱ）因为，，，所以函数在点处的切线方程为，即，令，则，令，则，则切线与两坐标轴围成的三角形面积；（Ⅲ），，由题意得，，即．19．【答案】（1）0.018；（2）的分布列为：123；（3）．【解答】解：（1）由题意可得，，解得；（2）由题意可得，分数在60（分）以下的参观者人数为人，()604040.24100100P X ==⨯=X X P()20.2430.5240.243E X =⨯+⨯+⨯=A B 1200.450P ==A B 22550.4459P ==>B 4951k =()322f x x x =-+[]0,2()()206222020f f --==--()232f x x ='-()26f =()210f '=()f x ()()2,2f ()6102y x -=-1014y x =-0x =14y =-0y =75x =174914255S =⨯⨯=()22kg x x='-()12g k '=-21k -=1k =X X P328152851494n m >()0.0040.0120.0140.0240.028101a +++++⨯=0.018a =()0.0040.01210508+⨯⨯=因为，所以在中人数有2人，在中人数有6人，故随机变量的所有可能取值为1，2，3，，，，所以的分布列为：123故；（3）平均数，因为，，所以中位数，所以，解得，故．20．【答案】（Ⅰ）3，9，21；（Ⅱ）证明见解答，；（Ⅲ）数列中不存在三项，它们可以构成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，解得，时，，即，解得，时，，即，解得；（Ⅱ）证明：当时，由，可得，两式相减可得，化为，即有，则数列是首项为6，公比为2的等比数列，可得，即；（Ⅲ）假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列，设，，成等差数列，且，，，，即有，即为，化为，可得，上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立．0.004:0.0121:3=[)40,50[50,60）X ()212638C C 31C 28P X ===()122638C C 152C 28P X ===()3638C 53C 14P X ===X X P3281528514()315591232828144E X =⨯+⨯+⨯=450.04550.12650.14750.24850.28950.1876.4m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.040.120.140.30.5++=<0.040.120.140.240.540.5+++=>[)70,80n ∈()700.0240.50.040.120.140.2n -⨯=---=78.33n =n m >1623n n a -=⨯-{}n a 23n n S a n =-11123a S a ==-13a =2n =122226a a S a +==-22326a a +=-29a =3n =1233329a a a S a ++==-331229a a +=-321a =2n ≥23n n S a n =-()11231n n S a n --=--()123231n n n a a n a n -=--+-123n n a a -=+()1323n n a a -+=+{}3n a +1362n n a -+=⨯1623n n a -=⨯-{}n a k a l a m a k l m <<k l *m ∈N 2l k m a a a =+()1112623623623l k m ---⨯-=⨯-+⨯-1112222l k m ---⨯=+2212l k m k --⨯=+故数列中不存在三项，它们可以构成等差数列．21．【答案】（Ⅰ）数列具有性质，数列不具有性质；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）12个．【解答】（Ⅰ）解：因为，所以，所以对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，所以数列具有性质，因为，所以取，，则，因为，所以不存在一项，所以数列不具有性质；（Ⅱ）证明：设数列的公差为，因为数列具有性质，所以存在使得，同理，存在使得，两式相减，得，即，因为，所以，所以的各项均为整数．（Ⅲ）解：由题意结合（Ⅱ）知的各项均为整数，所以为整数，首先证明为正整数，否则假设为负整数，则为递减数列，所以中各项的最大值为，由题设，中存在某项，且，所以，从而对任意正整数，，这与具有性质矛盾；其次证明为的约数，由得，，所以，所以为整数，即为的约数，由为正整数，所以为的正约数，因为，所以的正约数共有个，{}n a {}n a P {}n b P 3n a n =()3333mn m n =⨯{}n a m a n a {}n a 3i mn a a =i m n a a a ={}n a P 32n b n =+1n =2m =5840m n a a =⨯=403131=⨯+40i a ={}n b P {}n a d {}n a P i a 1i n n a a a +=j a 2j n n a a a +=()21j i n n n a a a a a ++-=-()n j i d a d -⋅=⋅0d ≠n a j i =-{}n a {}n a d d d {}n a {}n a 1a {}n a 0k a <1k a a >11k k a a a +>i 1i k k a a a +≠{}n a P d ()111a a -i m n a a a =()()()111111a i d a m d a n d ⎡⎤⎡⎤+-=+-+-⎣⎦⎣⎦()()()()11111211a a i m n a m n d d --=++-+--()111a a d -d ()111a a -d d 2019⨯201922519⨯=⨯⨯⨯2019⨯32212⨯⨯=对于首项为20，的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质，所以具有性质的数列共有12个．2019⨯P P {}n a。
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，点 P（x0，y0）（x0＞0）在曲线 y=x2 上，若阴影部分面积与△ OAP
13．（ 4 分）若 f（ x） =2xf （′1）+x2，则 f ′（0）= ． 14．（4 分）设函数 f0（ x）=sinx，f1（ x）=f ′0（x），f 2（x）=f ′1（x），…，fn+1（x）=f ′n（x），n∈ N，则 =．
7．【解答】 ∵a1= ， an+1=1﹣ ，
∴ a2=1﹣
，
a3=1 =1+1=2， a4=1﹣ = ， … ∴ { an} 的取值具备周期性，周期性 3， 则 a2014=a671×3+1=a1= ， 故选： A．
8．【解答】 由导数的图象可得，导函数 f ′（x）的值在 [ ﹣1， 0] 上的逐渐增大， 故函数 f（x）在 [ ﹣1， 0] 上增长速度逐渐变大，故函数 f （x）的图象是下凹型的． 导函数 f ′（ x）的值在 [ 0，1] 上的逐渐减小， 故函数 f（x）在 [ 0，1] 上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的， 故选 B．
）
A．1 B．e C． D． 6．（4 分）如图所示， AB 为⊙ O 直径， CD切⊙ O 于 D，AB 延长线交 CD于点 C，若∠ CAD=25°，则∠ C 为（ ）
A．45°B．40°C． 35°D．30°
7．（4 分）数列 { an} 满足 a1= ，an+1=1﹣ ，则 a2014 等于（
11．【解答】 ∵PA是圆 O 的切线， PBC是割线，∴ PA2=PB?PC， ∵ PA=2、 BC=3， ∴ 22=PB?（PB+3），解得 PB=1（舍负）． ∵ PA切圆 O 于点 A，∴∠ BAP=∠C， 又∵∠ APB=∠CPA， ∴△ CPA∽△ APB，可得 = =2．
3．（4 分）椭圆
（ φ是参数）的离心率是（
）
A． B． C． D．
4．（4 分）若 P= +
，Q=
+
（a≥0），则 P，Q 的大小关系是（
）
A．P＞Q C．P＜Q
B．P=Q D．由 a 的取值确定
5．（4 分）如图， 已知曲边梯形 ABCD的曲边 DC所在的曲线方程为
，e 是自然对数的底，
则曲边梯形的面积是（
（θ为参数）的圆心坐标为
；直线 l： y=2x+1 被圆 C 所截得的弦
长为 ． 11．（ 4 分）如图， B，C为圆 O 上的两个点， P 为 CB延长线上一点， PA为圆 O 的切线， A 为切点．若 PA=2，BC=3，则 PB= ； = ．
12．（ 4 分）如图，已知点 面积相等时，则 x0= ．
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参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）
1．【解答】 ∵ρ2=x2+y2，x=ρcos，θy=ρsin，θ
∴ ρ=1即 ρ2=x2+y2=1，表示圆；
表示直线 x=0；
ρ sin θ表=1示直线 y=1； ρ（ sin θ+cos θ）=1 表示直线 x+y﹣ 1=0， 故选： A．
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三、解答题（本题共 4 小题，共 44 分） 15．（ 10 分）设复数 z=lg（ m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，问当 m 为何值时： （ 1） z 是实数？ （ 2） z 是纯虚数？ 16．（ 10 分）已知函数 f（x）=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 ． （ 1）求 a，b 的值； （ 2）判断函数 y=f（x）的单调性并求出单调区间． 17．（ 10 分）设 f（x）= ， x1=1，xn=f（xn﹣1）（n≥2，n∈N*） （ 1）求 x2， x3，x4 的值； （ 2）归纳并猜想 { xn} 的通项公式； （ 3）用数学归纳法证明你的猜想． 18．（ 14 分）已知函数 f（x）=ex﹣ax（ e 为自然对数的底数） ． （Ⅰ）当 a=2 时，求曲线 f（x）在点（ 0， f（0）处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅲ）已知函数 f（ x）在 x=0 处取得极小值，不等式 f（x）＜ mx 的解集为 P，若 M={ x| ≤ x≤ 2} ， 且 M∩ P≠?，求实数 m 的取值范围．
＜2a+7+2
，
只要证： a2+7a＜a2+7a+12，
只要证： 0＜ 12，
∵ 0＜ 12 成立，
∴ P＜ Q 成立．
故选 C
5．【解答】 根据积分的几何意义可知所求的面积为： ，
故选： A．
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6．【解答】 连结 BD， ∵ AB为⊙ O 直径， CD切⊙ O 于 D， AB 延长线交 CD于点 C，∠ CAD=25°， ∴∠ CDB=∠CAD=2°5，∠ADB=9°0 ， ∴∠ CBD=2°5+90°=115°， ∴∠ C=180°﹣115°﹣25°=40°． 故选： B．
2．【解答】 复数 =
，
∴复数 在复平面内对应的点为（ 1，﹣ 2），
故复数
的对应点位于第四象限．
故选： D．
3．【解答】 椭圆 ∴ e= = ， 故选 B．
（φ是参数） 消去参数化为普通方程为
+ =1，∴a=5，b=3，∴c=4，
4．【解答】 ∵要证 P＜Q，只要证 P2＜Q2，
只要证： 2a+7+2
2014 北京 66 中高二（下）期中数学（理科）
一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）
1．（4 分）下列极坐标方程表示圆的是（
）
A．ρ =1B．
C．ρ sin θ =D1．ρ（sin θ+cos θ）=1
2．（4 分）在复平面内，复数
的对应点位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
9．【解答】 z=
=
=
=﹣1﹣2i，
故答案为：﹣ 2．
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10．【解答】 圆的普通方程为： x2+（y﹣1）2=4， ∴圆心坐标为（ 0， 1）， ∴圆心到直线 l：y=2x+1 的距离为 0，即圆心在直线 l 上，则直线 l：y=2x+1 被圆 C 所截得的弦长为直 径即 4． 故答案为：（ 0， 1）；4．
）
A． B．﹣ 1 C． 2 D．3
8．（4 分）已知函数 y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数
该函数的图象是（
）
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y=f （′x）的图象如图所示，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 9．（4 分）复数 z= 的虚部是 ．
10．（ 4 分）圆 C：