2020-2021学年安徽省滁州市天长关塘中学高三数学文下学期期末试题含解析

2020-2021学年安徽省滁州市天长关塘中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程
无解，则实数的取值范围是
A． B． C．
D．
参考答案：
【知识点】抽象函数及其应用．B10
【答案解析】D 解析：由f（x）﹣cos x﹣a=0得f（x）﹣cos x=a，
设g（x）=f（x）﹣cos x，
∵定义在R上的偶函数f（x），
∴g（x）也是偶函数，
当x∈[0，1]时，f（x）=x3，
∴g（x）=x3﹣cos x，则此时函数g（x）单调递增，则g（0）≤g（x）≤g（1），
即﹣1≤g（x）≤1，
∵偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1），
∴f（1﹣x）=f（x+1）=f（x﹣1），
即f（x）满足f（x+2）=f（x），
即函数的周期是2，
则函数g（x）在R上的值域为[﹣1，1]，
若方程f（x）﹣cos x﹣a=0（a＜0）无解，即g（x）=f（x）﹣cos x=a无解，
则a＜﹣1，
故选：D
【思路点拨】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，推出函数的周期性，求出函数的最值即可得到结论．
2. 设函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f （﹣x）=f（x），则（）
A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）在（，）单调递减
C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增
参考答案：
C
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用辅助角公式化积，由周期求得ω，再由函数为偶函数求得φ，求出函数解析式得答案．
【解答】解：f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）．
由T=，得ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+φ﹣）．
又f（﹣x）=f（x），∴sin（﹣2x+φ）=2sin（2x+φ﹣）．
得﹣2x+φ=2x+φ﹣+2kπ或﹣2x+φ+2x+φ﹣=π+2kπ，k∈Z．
解得φ=，k∈Z．
∵|φ|＜，∴φ=．
∴f（x）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x．
则f（x）在（0，）单调递增．
故选：C．
3. 设a＝log0.50.8，b＝log1.10.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为()．
A．a<b<c B．b<a<c
C．b<c<a D．a<c<b
参考答案：
B
4. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的（）
A．垂心B．内心C．外
心 D．重心
参考答案：
C
略
5. 设，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（是自然对数的底数），则( )
A. B. C. D.
参考答案：
【知识点】函数单调性的性质．B3
C 解析：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，
令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，
∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．
【思路点拨】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．
6. 已知点，点在圆：上运动，则直线斜率的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
7. 定义在图象对称轴是x=0，
则（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. 已知体积为的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为( )
A. B. C．1 D.
参考答案：
C
略
9. 设，则a，b，c的大小关系是
A．b>c>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c
参考答案：
D
，故选D
10. 若函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值为，则正数ω的值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】先化简f（x），分别有f（α）=﹣2，f（β）=0解出α，β，由此可表示出|α﹣β|的最小值，令其等于，可求得正数ω的值．
【解答】解：f（x）=2sin（ωx+），
由f（α）=﹣2，得ωα+=，∴，
由f （β）=0，得ωβ+=k 2π，k 2∈Z，∴，
则α﹣β=
==，
当k=0时|α﹣β|取得最小值，则
=
，解得ω=，
故选C ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若f （x ）=2x 2﹣lnx 在定义域的子区间（a ﹣1，a+1）上有极值，则实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
[1，）
【考点】利用导数研究函数的极值． 【专题】导数的综合应用．
【分析】求f （x ）的定义域为（0，+∞），求导f′（x ）；从而可得极值点在（a ﹣1，a+1）；求解即可．
【解答】解：f （x ）=2x 2﹣lnx 的定义域为（0，+∞），
f′（x ）=4x ﹣=；
∵f（x ）=2x 2﹣lnx 在定义域的子区间（a ﹣1，a+1）上有极值，
∴f′（x ）=在区间（a ﹣1，a+1）上有零点，
而，可得导函数的零点为；
故∈（a ﹣1，a+1）； 故a ﹣1＜＜a+1； 解得，＜a ＜； 又∵a﹣1≥0， ∴a≥1；
故答案为：[1，）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点的应用，属于中档题．
12. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f (x )，则的零点是
________.
参考答案：
【分析】
根据余子式定义得到
，换元
，得到方程
，计算得到答案.
【详解】
，则
的零点等于与方程
的解.
设 则 故
故答案为：
【点睛】本题考查了行列式的余子式，函数零点问题，换元可以简化运算，是解题的关键. 13. 已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x ，若f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a 的取值范围
是 ．
参考答案：
（﹣∞，0]
【考点】导数的运算．
【分析】先对函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x 进行求导，转化成f′（x ）在[1，+∞）上恒有f′（x ）≥0问题，进而求出参数a 的取值范围．
【解答】解：y=3x 2
﹣2ax ﹣3， ∵f（x ）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x ）在[1，+∞）上恒有f′（x ）≥0， 即3x 2﹣2ax ﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立． 则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0， ∴a≤0．
实数a的取值范围是（﹣∞，0]．故填：（﹣∞，0]．
14. 曲线在以点为切点的切线方程是
；
参考答案：
答案：
15. 在平面直角坐标系中，定义为,两点之间的“折线距离”．则原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是▲．
参考答案：
设,直线与坐标轴的交点坐标为，直线的斜率为。

过P做于,则原点与直线上一点的“折线距离”为,因为为等腰三角形，所以,由图象可知
，此时在的内部，所以原点与直线上一点的“折线距离”的最小距离为。

16. 正方体的体积为8，则其外接球的面积为（）
A. 8π
B. 12π
C. 16π
D. 24π参考答案：
B
【分析】
根据题意即可求出正方体的外接球的大圆半径，从而根据圆的表面积公式即可求出外接球的面积．【详解】正方体的体积为8，可得正方体的边长为2，正方体的外接球的大圆半径为：
，
∴外接球的面积为：S＝4πR2＝4π?3＝12π．
故选：B．
【点睛】本题考查了球的表面积公式，知道正方体的体对角线是正方体的外接球的大圆直径是关键，考查了计算能力，属于基础题．
17. 已知等比数列{a n}的各项均为正数，若a1=3，前三项的和为21，则a4+a5+a6= ．参考答案：
168
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得公比，而a4+a5+a6=（a1+a2+a3）?q3，代入求解可得．
【解答】解：可设等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）
由题意可得a1+a2+a3=3+3q+3q2=21，
解之可得q=2，或q=﹣3（舍去）
故a4+a5+a6=（a1+a2+a3）?q3=21×8=168
故答案为：168
【点评】本题考查等比数列的性质，整体法是解决问题的关键，属中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
设函数
（1）求函数的单调减区间；
（2）若，求函数的值域；
参考答案：
解：（1）
…………4分
令…………6分
得
因此，函数f(x)的单调减区间为…………8分
(2)当时，
因此，函数f(x)的值域为
…………12分
略
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，∠FAC=60°，AB∥DE，BC∥EF，AB=BC=3，AF=2．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF；（2）求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．
参考答案：
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）设O是AC中点，连结OF、OB、FC，推导出OB⊥AC，OF⊥AC，则∠FOB是二面角F﹣AC ﹣B的平面角，由此能证明平面ABC⊥平面ACDF．
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）设O是AC中点，连结OF、OB、FC，
在△ABC中，AB=BC，∴OB⊥AC，
∵四边形ACDF是菱形，∠FAC=60°，
∴△FAC是等边三角形，∴OF⊥AC，
∴∠FOB是二面角F﹣AC﹣B的平面角，
在Rt△FAO中，AF=2，AO=AC=AF=，
∴OF==，
又∵BF=，∴OF2+OB2=BF2，
∴∠FOB=90°，
∴平面ABC⊥平面ACDF．
解：（2）由（1）知OB、OC、OF两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），F（0，0，3），
=（0，，3），=（0，2，0），
∵AB∥DE，AF∥CD，又AB?平面CDE，AF?平面CDE，
DE?平面CDE，CD?平面CDE，
∴AB∥平面CDE，AF∥平面CDE，
又AB∩AF=A，∴平面ABF∥平面CDE，
∵EF∥BC，∴B、C、E、F四点共面，
又平面ABF∩平面BCEF=BF，平面CDE∩平面BCEF=CE，
∴BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形，
∴==（﹣，0），
∴=（﹣，3），
设平面AEF的法向量=（x，y，z），
则，取x=，得=（），
设平面ACE的法向量=（a，b，c），
则，取a=，得=（），
设平面AEF与平面ACE所成的锐二面角为θ，
则cosθ==．
∴平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为．
20. 已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，且数列{a n}的前n 项和S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2（n≥3）（1）求证：{a n}为等差数列；
（2）记数列b n=，试归纳数列{b n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
【分析】（1）利用递推关系与等差数列的定义即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（1）由S n+S n﹣2=2S n﹣1+2（n≥3）知：S n﹣S n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2+2，
∴a n=a n﹣1+2，∴a n﹣a n﹣1=2（n≥3）．
又∵a2﹣a1=2，
故a n﹣a n﹣1=2（n≥2），
∴{a n}为等差数列．
（2）由（1）知，，
∴①
②
①﹣②得：，
∴，
∴．
21. 如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且
（1）在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明；
（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.
参考答案：
（1）当时，有//平面AMD.
证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，
所以，又，所以，所以在中，OP//AM.
又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.
（2）锐二面角的余弦值为.
试题分析：（1）设Q为AB上的一点，满足.由线面平行的性质证出MD//NB，结合题中数
据利用平行线的性质，得到，从而在中得到OP//AM.最后利用线面平行判定定理，证出// 面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点；
（2）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标.利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出平面CMN的法向量.根据线面垂直的判定定理证出DC平面BNC，从而得到即是BNC的法向量，最后利用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面CMN与平面BNC所成锐二面角的余弦值.
试题解析：（1）当时，有//平面AMD.
证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，
所以，又，所以，所以在中，OP//AM.
又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.
（2）以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2）N（2，2，1），所以=（0，-2，2），=（2，0，1），=（0，2，0），设平面CMN的法向量为=（x，y，z）则，所以，所以=（1，-2，-2）.
又NB平面ABCD，∴NB DC，BC DC，∴DC平面BNC，∴平面BNC的法向量为==（0，2，0），
设所求锐二面角为，则.
考点：利用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定.
22. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E 为棱PC的中点．
（1）证明：BE⊥DC；
（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
参考答案：
解: (1)以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得，，，
由为棱的中点，得，故，
所以·＝0，所以BE⊥DC. ………………4分
(2) ，，，
由点在棱上，设＝λ，，
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得·＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，
即＝(,,) …………………………8分
设为平面的法向量，
则,即
不妨令z＝1，可得为平面FAB的一个法向量．取平面的法向量，
则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角是锐角，所以余弦值为………………………12分。