高考数学压轴专题盘锦备战高考《矩阵与变换》知识点总复习附答案解析

数学高考《矩阵与变换》复习资料
一、15
1．已知函数()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x παα
παα
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
.
（1）求()f x 的单调增区间. （2）函数()f x 的图象F 按向量,13a π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
v 平移到'F ，'F 的解析式是()'y f x =.求()'f x 的零点.
【答案】（1）42,233k k ππππ⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；（2）23
x k π
π=±，k Z ∈. 【解析】 【分析】
（1）由题意根据二阶行列式的运算法则及利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()2cos 1f x x '=-，再根据函数零点的定义和求法求得()f x '的零点． 【详解】
解：（1）()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x παα
π
αα
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
=
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
Q
()2cos cos 2sin sin 33f x x x ππαααα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2cos 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令223
k x k π
πππ-≤+
≤，k Z ∈，求得42233
k x k ππ
ππ-
≤≤-，k Z ∈， 则()f x 的单调增区间42,233k k ππππ⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈. （2）()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 按向量,13a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
r 平移到'F
'F ∴的解析式是()'2cos 1y f x x ==-，令2cos 10x -=，
解得23
x k π
π=±
，k Z ∈.
所以()'f x 的零点为23
x k π
π=±
，k Z ∈.
本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．
2．（1）计算行列式34
912，5111022
，28728--的值；
（2）你能否从（1）中的结论得出一个一般的结论？试证明你的结论； （3）你发现的（2）的结论，在三阶行列式中是否成立？ 【答案】（1）三个行列式的值都为0；（2）0a b
ka kb
=或
()0a ka k b kb =∈R ；证明见解析；（3）成立 【解析】 【分析】
（1）分别进行化简计算即可求得；
（2）观察可知对应行或列应成比例关系，化简求值即可证明； （3）可假设成立，再结合运算关系进行求证即可 【详解】 （1）
34
36360912
=-=，
511
11011001022
=-=，
28565607
28
-=-=-；
（2）由（1）可知0a b
ka kb =或
()0a ka k b kb =∈R ，证明如下： 0a
b kab kab ka kb =-=，
0a ka kab kab b kb
=-=，即
0a b
ka kb
=或
()0a ka k b kb
=∈R 成立；
（3）假设三阶行列式中成立，即0a
b c
ka
kb
kc na nb nc =或0a ka na
b kb nb
c kc nc
=
证明如下：
0a b c
ka
kb
kc knabc knabc knabc knabc knabc knabc na nb nc =++---=
0a ka na
b kb nb knab
c knabc knabc knabc knabc knabc c kc
nc
=++---= 得证，故三阶行列式也成立
本题考查行列式的简单计算，结论的类比推理，属于基础题
3．已知P :
矩阵图511
0x x ⎛⎫+
⎪
+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2；Q :行列式114
2031
2
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围.
【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】
先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】
因为矩阵图511
0x x ⎛⎫+
⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2，所以5
21x x +≥+，解得 13x -≤≤；
因为行列式1
1
4
2
031
2
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以23
2321
1
m
m x x --=-+≤，即21m x ≤-； 因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞.
【点睛】
本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.
4．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；
（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．
【答案】（1）2011⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】
（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵
M ；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】
解：（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， 由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
g ，
所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =；
所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，
在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x =
'，1
2
y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】
本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5．已知矩阵11m A m ⎛⎫
=
⎪
-⎝⎭
（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）． （1）求m 的值；
（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）m （2）1)1)40x y ''--=（3）存在，1:l y x =
，
2:l y =．
【解析】 【分析】
（1）计算2A ，由24A I =可求得m ；
（2
）由1
1x x y y ⎛'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎭
，得x x y y ⎧=+⎪⎨=-''⎪⎩
，解得44x x y y ⎧=+⎪⎨='
-''
'⎪⎩．代入1y x =+可得；
（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l 方程为
(0)y kx b k =+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k ，可分类
0b ≠和0b =．
【详解】
（1）0m >Q ，22
21110104110101m m m A m m m ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
m ∴=（2
）1
1x x x y y y ⎛⎛⎫
'+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎪⎪'--⎝⎭⎝⎭⎭⎭
Q ，
即x x y y ⎧=⎪⎨=-''⎪⎩
，44x x y y ⎧=+⎪∴⎨='
-''
'⎪⎩． ∵点(,)P x y 在直线1y x =+上，
4y x ''''-=++，
即点()','Q x y
的轨迹方程1)1)40x y ''--+-=． （3）垂直于坐标轴的直线不合要求．
设:(0)l y kx b k =+≠，(,)P x y
，()Q x y +-
()y k x b -=++Q ，
1)(y k x b ∴-+=+
当0b ≠
时，1)1,k k -+==，无解． 当0b =
220k =⇒+-=,
解得3
k =
或k =
∴所求直线是1:3
l y x =
，2:l y =． 【点睛】
本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为
(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')
(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩
，
把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．
6．定义()111111n n n n x x n N y y +*
+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v
； （2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v
的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v
；（2）(
)25216,0. 【解析】 【分析】
（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u u
r .
（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*
n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r
、2017OP u u u u u u r
的坐标.
【详解】
（1）因为()12,3P ，故123OP
⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设2x OP y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
u u u r ， 则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()3
6,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n n
n x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,
()911616,0OP OP ==u u u r u u u r
所以()252252
201711616
,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】
本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.
7．已知命题P ：lim 0n n c →∞
=，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式5
236418x c x ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
中第一行，第二列元素的代数余子式记为()f x ，且函数()f x 在1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
上单调递增，若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围.
【答案】112
c -<< 【解析】 【分析】
先由已知命题P 是真命题，得：11c -<<，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代
数余子式写出2
()4f x x cx =-+-，结合函数()f x 在上单调递增．求得c 的取值范围，最
后即可解决问题． 【详解】
由已知命题:lim 0n
n P c →∞
=，其中c 为常数，是真命题，得：11c -<<。

三阶行列式5
23
641
8x c
x
-中第一行、第二列元素的代数余子式记为()f x ，则2()4f x x cx =-+-，且函数()f x 在上单调递增．
∴函数()f x 在1(,]4-∞上单调递增，11
242c c ⇒厖，
Q 命题Q 是假命题，1
2
c ∴<
． ∴命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，
实数c 的取值范围是112
c -<<． 【点睛】
本题主要考查极限及其运算、三阶行列式的代数余子式，解答的关键是代数余子式的符号问题．
8．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ∆的面积.
【答案】
312
【解析】 【分析】
解法一：用行列式求解，面积公式为1
12
23
31
11
ABC x y S x y x y ∆=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用1
2
ABC S BC d ∆=⋅⋅计算即可. 【详解】
解法一：行列式求解，
1
12
23
315013113
312
1
2
1
ABC x y S x y x y ∆-==-=
； 解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC 的方程为：
33
53
y x +-=-，即：5360x y +-=， 点A 到直线BC
的距离34d =
=
=，
BC ==
所以1131
222
ABC S BC d ∆=⋅⋅==. 【点睛】
本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.
9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 9
01
lg 4
m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】
由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，
则2
lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭
，
又由lg 919
lg ln 9lg ln 1
44lg 4
m m n m n n
=-⨯=-，所以lg 9
01lg 4m n <. 【点睛】
本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
10．
已知函数2sin ()1
x x
f x x -=
．
（1）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域； （2）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，若2A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
4a =，5b c +=，求ABC V 的面积． 【答案】（1
）0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
；（2
【解析】 【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域． （2）由条件求得A ，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积． 【详解】 解：（1
）
21()sin cos cos 2)sin 2sin 22232f x x x x x x x π⎛
⎫=+=
++=++
⎪⎝⎭
Q ， 又02
x π
≤≤，得
4
23
33
x π
π
π≤+
≤，
所以sin 21,0sin 2123322x x ππ⎛⎫⎛
⎫-
≤+≤≤++≤+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
即函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域为30,1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
； （2）∵32A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 3sin 32A π⎛
⎫∴+=
⎪⎝⎭
， 由(0,)A π∈，知4
3
33
A π
π
π<+
<， 解得：2
33A π
π+
=，所以3
A π=． 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-，
216( c)3b bc ∴=+-．
因为5b c +=，所以3bc =，
13
sin 324
ABC S bc A ∆∴==.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．
11．已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】
【解析】 【分析】 【详解】 设
则
即
此直线即为
则.
.
12．已知圆C 经矩阵332a
M ⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦
变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. 【答案】2a = 【解析】 【分析】
设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax y
y x y =+⎧⎨=-''⎩，代入计算得到答案.
【详解】
设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则33
2x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥'-⎣⎦
⎣
⎦⎣⎦
， 则332x ax y y x y
=+⎧⎨
=-''⎩，由(),x y ''在22
:13C x y '+=上，
可得22
(3)(32)13ax y x y ++-=，即(
)
2
22
92(36)1313a x a xy y ++-+=，
由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】
本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.
13．解关于x 、y 的方程组(1)20
24160
x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论.
【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】
将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解． 【详解】 解：Q (1)20
24160
x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩化成矩阵形式Ax b =
则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
()()()24212242111
24
2m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,
()()()421611221
164
22412x D m m m m m m =
=-++-=-+=++,
()()()162222412216
y D m m
m m m m =
=----+-=-
当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m =
=-，4
1y D m y D m
-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．
当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，
当1m =时，原方程组为210
24160x y x y +-=⎧⎨++=⎩
，无解．
【点睛】
本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．
14．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】()1,4- 【解析】
试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
确定：A B ''u u u u r
.因为
，所以1
{
4
x y =-= 试题解析：解：设(),B x y '， 依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得()1,2A ' 则
．
记旋转矩阵0110N -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， 则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，解得1{4x y =-=， 所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵
15．已知矩阵111A a -⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，求矩阵A 的两个特征值.
【答案】矩阵A 的特征值为1-或3． 【解析】 【分析】
根据点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，列出方程求出a ，从而可确定矩阵A ，再求出矩阵A 的特征多项式，令其等于0，即可求出矩阵A 的特征值． 【详解】
由1110113a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得13a +=-，所以4a =-， 故1141A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
， 则矩阵A 的特征多项式为221
1
()(1)4234
1
f x -=
=--=---λλλλλ，
令()0f λ=，解得1λ=-或3λ=， 所以矩阵A 的特征值为1-或3． 【点睛】
本题主要考查矩阵的特征多项式及特征值的求法，属于中档题．
16．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （1）求矩阵M ；
（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.
【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
（2）2
92y x x =- 【解析】 【分析】
（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；
（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】
解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅=⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
即31
333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，
所以2130M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(
)
,P x y '
''
，
则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2
y x ''
=，所以2
92x x y =+， 所以曲线C 的方程为2
92y x x =-． 【点睛】
本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．
17．己知矩阵1221M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
. （1）求1M -；
（2）若曲线22
1:1C x y -=在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.
【答案】（1）1
12332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
；（2）223y x -= 【解析】 【分析】
（1）根据逆矩阵的求法，求得M 的逆矩阵1M -.（2）设出1C 上任意一点的坐标，设出其在矩阵M 对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入1C 方程，化简后可求得2C 的方程. 【详解】
解（1）设所求逆矩阵为a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则122210212201a b a c b d c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即
21202021
a c
b d a
c b
d +=⎧⎪+=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-
⎩
，所以1
12332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）设曲线1C 上任一点坐标为()00,x y ，在矩阵M 对应的变换作用下得到点(),x y ， 则001221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即000022x y x x y y
+=⎧⎨+=⎩， 解得0023
23y x x x y y -⎧=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩
. 因为220
1x y -=，所以22
22133y x x y --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，整理得22
3y x -=， 所以2C 的方程为22
3y x -=. 【点睛】
本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.
18．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，
属于特征值的一个特征向量为
.求矩阵.
【答案】
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得
，
，，
.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
19．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .
【答案】1102-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线
220x ay bx y +++-=，对比得到答案.
【详解】
设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点， 其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨
+=⎩，解得0
1b a =⎧⎨=-⎩
，
故1102A -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠.
（1）求二价行列式
1
3
24
a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132
43
2a x a y a x a y +=⎧⎨
+=⎩.
【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t
y t ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
，t R ∈；当23q ≠且
0q ≠时，方程组无解.
【解析】 【分析】
（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】
（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =，
∴13
24
a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解．
当241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439
x y +=， 解为439x t y t
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
当2
3q ≠
且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】
本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．。