高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线2.2.2抛物线的简单性质(1)导学案北师大版选修1-1

2.2.2 抛物线简单性质(一)
学习目标 1.了解抛物线范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线性质解决一些简单抛物线问题.
知识点一抛物线简单性质
思考1 类比椭圆、双曲线简单性质，结合图像，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)中x范围、对称性、顶点坐标吗？
答案范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0，0).
思考2 参数p对抛物线开口大小有何影响？
答案因为过抛物线焦点F且垂直于对称轴弦长度是2p，所以p越大，开口越大.
梳理
标准方程
y2＝
2px(p＞
0)
y2＝－
2px(p>0)
x2＝
2py(p>0)
x2＝－
2py(p>0)
图形
性质范围
x≥0，
y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，
y≥0
x∈R，y≤0对称
轴
x轴y轴
顶点(0，0)
离心e＝1
设过抛物线焦点弦端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么
类型一
例1 抛物线焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，假设△OAB 面积等于4，求此抛物线标准方程.
解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 焦点F (m 2，0).直线l ：x ＝m
2
，
所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m
2，－m )，
所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 面积为4，
所以12·|m
2|·2|m |＝4，
所以m ＝±2 2.
所以抛物线标准方程为y 2＝±42x . 引申探究
等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线顶点，
OA ⊥OB ，那么△AOB 面积是
___________________________________________________________. 答案 4p 2
解析 因为抛物线对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线对称性知，直线AB 与抛物线对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴夹角为45°.
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，y 2
＝2px ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝0
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2p ，
y ＝2p ，
所以易得A ，B 两点坐标分别为(2p ，2p )与(2p ，－2p ). 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝1
2×4p ×2p ＝4p 2.
反思与感悟 把握三个要点确定抛物线简单性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x 还是y ，一次项系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线距离为p ；过焦点垂直于对称轴弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.
跟踪训练1 抛物线关于x 轴对称，它顶点在坐标原点，其上一点P 到准线及对称轴距离分别为10与6，求抛物线方程. 解 设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0). 因为点P 到对称轴距离为6， 所以y 0＝±6.
因为点P 到准线距离为10， 所以|x 0＋a
2
|＝10.
①
因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0，
②
由①②，得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
x 0＝9
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝18，
x 0＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－18，
x 0＝－1
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
x 0＝－9.
所以所求抛物线方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x . 类型二 抛物线焦点弦问题
例2 直线l 经过抛物线y 2＝6x 焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.
(1)假设直线l 倾斜角为60°，求|AB |值； (2)假设|AB |＝9，求线段AB 中点M 到准线距离. 解 (1)因为直线l 倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.
又F ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫32，0，所以直线l 方程为y ＝3⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪
⎧
y 2
＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x －32，消去y 得x 2
－5x ＋9
4
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).那么x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2
＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，
所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 中点M 横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32
，
所以M 到准线距离等于3＋32＝9
2.
反思与感悟 (1)抛物线焦半径
②假设抛物线y 2
＝－2px (p >0)，那么|PF |＝p
2
－x 0；
③假设抛物线x 2
＝2py (p >0)，那么|PF |＝y 0＋p
2
；
④假设抛物线x 2
＝－2py (p >0)，那么|PF |＝p
2
－y 0
(2)过焦点弦长求解方法
设过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝x 1＋x 2＋p .然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数关系求出x 1＋x 2即可.
跟踪训练2 直线l 过抛物线y 2＝4x 焦点，与抛物线交于A ，B 两点，假设|AB |＝8，那么直线
l 方程为
_________________________________________________________________.
答案 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0
解析 ∵抛物线y 2＝4x 焦点坐标为(1，0)， 假设l 与x 轴垂直，那么|AB |＝4，不符合题意. 所以可设所求直线l 方程为y ＝k (x －1).
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －1，
y 2
＝4x ，
得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
那么由根与系数关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k
2
. 又AB 过焦点，由抛物线定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k
2
＋2＝
8，即2k 2＋4k
2
＝6，解得k ＝±1. 所以所求直线l 方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0. 类型三 与抛物线有关最值问题
例3 设P 是抛物线y 2＝4x 上一个动点，F 为抛物线焦点.
(1)求点P 到点A (－1，1)距离与点P 到直线x ＝－1距离之与最小值； (2)假设点B 坐标为(3，2).求|PB |＋|PF |最小值.
解 (1)如图，易知抛物线焦点为F (1，0)，准线方程是x ＝－1.由抛物线定义知，点P 到直线x ＝－1距离等于点P 到焦点FP ，使点P 到点A (－1，1)距离与点P 到F (1，0)距离之与最小.显然，连接AF ，
AF 与抛物线交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1，1)距离与点P 到直线x ＝－1距离之与最小值为 5.
(2)如图，把点B 横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±2 3.因为23>2，所以点BB 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接
P 1F .此时，由抛物线定义知，|P 1Q |＝|P 1F |.所以|PB |＋
|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4， 即|PB |＋|PF |最小值为4.
反思与感悟 抛物线定义在解题中作用，就是灵活地对抛物线上点到焦点距离与到准线距离进展转化，另外要注意平面几何知识应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间不等关系，点与直线上点连线垂线段最短等.
跟踪训练3 点P 是抛物线y 2＝2x 上一个动点，那么点P 到点A (0，
2)距离与点P 到该抛物线准线距离之与最小值为( ) A.172
C. 5
D.92
答案 A
解析 如图，由抛物线定义知 |PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |，
那么所求距离之与最小值转化为求|PA |＋|PF |最小值， 那么当A 、P 、F 三点共线时，|PA |＋|PF |取得最小值. 又A (0，2)，F (1
2，0)，
∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AF | ＝
0－
12
2
＋2－0
2
＝172
.
AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦，那么|AB |最小值为( )
A.p
2
B.p
p
答案 C
解析 当AB 垂直于对称轴时，|AB |取最小值，此时AB 为抛物线通径，长度等于2p .
y 2＝8x 上一点P 到y 轴距离是4，那么点P 到该抛物线焦点距离是
( )
A.4
B.6 C 答案 B
解析 由抛物线定义可知，点P 到抛物线焦点距离是4＋2＝6.
y ＝ax 2准线方程是y ＝－2，那么此抛物线上点到准线距离最小值为
( )
A.1
B.2 C 答案 B
解析 由题意知抛物线顶点到准线距离最短，故最小值为2.
y 2＝8x 焦点作倾斜角为45°直线，那么被抛物线截得弦长为( )
A.8
B.16 C 答案 B
解析 由y 2＝8x 得焦点坐标为(2，0)， 由此直线方程为y ＝x －2，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝8x ，y ＝x －2，
联立得x 2－12x ＋4＝0，
设交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由方程知x 1＋x 2＝12，
∴弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.
5.正三角形一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形边长. 解 如图OAB 为正三角形，
设|AB |＝a ，那么OD ＝3
2a ，
∴A (32a ，a
2)代入y 2＝2px ，
即a 2
4＝2p ×3
2a ，解得a ＝43p .
∴正三角形边长为43p .
1.讨论抛物线简单性质，一定要利用抛物线标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线方程.
2.抛物线中最值问题：注意抛物线上点到焦点距离与点到准线距离转化，其次是平面几何知识应用.
40分钟课时作业
一、选择题
x 轴为对称轴抛物线通径(过焦点且与对称轴垂直弦)长为8，假设抛物
线顶点在坐标原点，那么其方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝－8x
C.y 2＝8x 或y 2＝－8x
D.x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C
解析 设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，
依题意得x ＝p
2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px ，
得|y |＝p ，
∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4. 即抛物线方程为y 2＝±8x .
y 2＝x 上一点P 到准线距离等于它到顶点距离，那么点P 坐标为( )
A.(14，±24)
B.(18，±2
4)
C.(14，24)
D.(18，24
)
答案 B
解析 由题意知，点P 到焦点F 距离等于它到顶点O 距离，因此点P 在线段OF 垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 横坐标为1
8，代入抛
物线方程得y ＝±24，故点P 坐标为(18，±2
4
)，应选B.
y 2＝4x 焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )
A.6 C.9
答案 B
解析 因为直线AB 过焦点F (1，0)， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.
l 1：4x －3y ＋6＝0与直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到
直线l 1与直线l 2距离之与最小值是( ) A.2
C.115
D.3716
答案 A
解析 如下图，动点P 到l 2：x ＝－1距离可转化为PF 距离，由图可知，距离与最小值即F 到直线l 1距离d ＝
|4＋6|－3
2
＋4
2
＝2.
y 2＝2px (p >0)焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，那么y 1y 2
x 1x 2
值是( )
A.4
B.－4
C.p 2
D.－p 2 答案 B
解析 采用特例法，当直线与x 轴垂直时，
易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫p 2，－p ，∴y 1y 2x 1x 2＝－4.
y 2＝4x ，A (－1，0)，F (1，0)，点B 在抛物线上，且|BF |＝5，那
么cos ∠BAF 等于( )
A.54141
B.541
C.4141
D.441
41
答案 A
解析 由抛物线定义知，过B 作BG 垂直准线于G ， |BG |＝|BF |＝5，设B (x 1，y 1)， 那么x 1＋1＝5，得x 1＝4.
∵B 点在抛物线y 2＝4x 上， ∴y 21＝4×4，得|y 1|＝4，
在Rt△ABG 中，|AG |＝|y 1|＝4， |BG |＝5，∴|AB |＝42＋52＝41， cos∠ABG ＝|BG ||AB |＝541＝54141，
∵∠BAF ＝∠ABG ， ∴cos∠BAF ＝541
41
.
F 为抛物线C ：y 2＝3x 焦点，过F 且倾斜角为30°直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 面积为( )
A.334
B.939
C.6332
D.94
答案 D
解析 由得焦点坐标为F ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
34，0， 因此直线AB 方程为y ＝33(x －34).
即4x －43y －3＝0.
联立直线与抛物线方程，并化简得x 2
－212x ＋9
16
＝0，
故x A ＋x B ＝21
2
.
根据抛物线定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋3
2＝12，
同时原点到直线AB 距离为h ＝|－3|
42＋－432＝3
8，
因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝9
4.
二、填空题
y 2＝16x 上一点P 到对称轴距离为12，那么点P 与焦点F 距离|PF |
＝
________________________________________________________________________. 答案 13
解析 设P (x 1，y 1)，|y 1|＝12， ∵点P 在抛物线y 2＝16x 上 ，
∴16x 1＝y 21＝122
，即x 1＝9，
由抛物线定义，可得|PF |＝x 1＋4＝9＋4＝13.
y 2＝4x 焦点为F ，过F 直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |＝3，那么
|BF |＝________. 答案 32
解析 由题意知F (1，0)，且AB 与x 轴不垂直， 那么由|AF |＝3，知x A ＝2.
设l AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，
得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 所以x A ·x B ＝1，故x B ＝1
2，
故|BF |＝x B ＋1＝3
2
.
10.对于顶点在原点抛物线，给出以下条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；
③抛物线上横坐标为1点到焦点距离等于6； ④抛物线通径长为5；
⑤由原点向过焦点某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
符合抛物线方程为y 2＝10x 条件是________.(要求填写适宜条件序号) 答案 ②⑤
解析 由抛物线方程y 2＝10x ，知它焦点在x 轴上，所以②符合.
又∵它焦点坐标为F ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫52，0，原点O (0，0)， 设点P (2，1)，可得k PO ·k PF ＝－1，∴⑤也符合. 而①显然不符合，通过计算可知③、④不合题意. 故答案为②⑤. 三、解答题
11.假设抛物线顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线标准方程.
解 设所求抛物线标准方程为x 2＝2py (p >0)，A (x 0，y 0)，由题知
M ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫0，－p 2. ∵|AF |＝3，∴y 0＋p
2＝3.
∵|AM |＝17，∴x
20
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫y 0＋p 22＝17， ∴x 20＝8，代入方程x 2
0＝2py 0得，
8＝2p ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4. ∴所求抛物线标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .
C ：y 2＝2px (p >0)，其准线为l ，过M (1，0)且斜率为3直线与l 相
交于A 点，与C 一个交点为B ，假设AM
→＝MB →，求抛物线方程. 解 由题意知，准线l ：x ＝－p
2
，过M (1，0)且斜率为3直线方程为
y ＝
3(x －1)，联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－p 2，
y ＝3x －1
，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－p
2，
y ＝－3p
2
＋1
.
∴点A 坐标为(－p
2，－3(p
2
＋1)).
又∵AM
→＝MB →，∴M 是AB 中点，
∴B 点坐标为(p 2＋2，3(p
2
＋1))，
将B (p 2＋2，3(p
2＋1))代入y 2＝2px (p >0)，得
3(p 2＋1)2
＝2p (p
2
＋2)，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)， ∴抛物线方程为y 2＝4x .
y 2＝2x .
(1)设点A 坐标为(2
3，0)，求抛物线上距离点A 最近点P 坐标及相应
距离|PA |；
(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0距离最短，并求出距离最小值.
解 (1)设抛物线上任一点P 坐标为(x ，y )， 那么|PA |2
＝(x －23
)2
＋y 2
＝(x －23)2
＋2x
＝(x ＋13)2＋13
.
∵x ≥0，且在此区间上函数是增加， 故当x ＝0时， |PA |min ＝23
，
故距离点A 最近点坐标为(0，0). (2)设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点， 那么P 到直线x －y ＋3＝0距离为 d ＝|x 0－y 0＋3|
2＝|y 20
2－y 0＋3|2
＝|y 0－12＋5|
22
，
当y 0＝1时，d min ＝5
22
＝524，∴点P 坐标为(1
2，1).。