直线与曲线相交的弦长问题

基础知识：
1. 已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2),P1,P2 的距离：
2.P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
3.两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0的距离：
4.具有一般通用性的弦长公式是什么？
若直线 l : y kx m与圆(或椭圆、双曲线、抛物线）的 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
2
AB t1 t2 (t1 t2 ) 4t1t2
2
【深入探究】
y 3x 的焦点，过F且倾 题目：设F为抛物线C ： 斜角为30度的直线交C于A、B，则|AB|=____ 解法四：（借助参数方程进行）
2
3 3 x t 4 2 (t为参数） 将{ 1 y t 2 1 2 9 3 3 2 代入y 3x得 t = t， 4 4 2 2 可化为t 6 3t 9=0
所以t1 t2 6 3, t1t2 9 因此 AB t1 -t2 (t1 t2 ) 2 4t1t2 108 36 12
方法规律小结
• 直线以其参数方程标准形式给出时，求直线与 其他曲线相交时的线段长的计算方法。 x x0 t cos 1.需将{ (t为参数）代入所交曲线得关于t的 y y0 t sin
B
解法二：（解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形） y
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
2 d 2 1 (1) 2
| 0 0 1|
2
r A d O
| AB | 2 r d 14
2
总结:求圆的弦长可以利用圆中 半弦长、弦心距d 及半径 r 构成 的直角三角形来求,弦长 2 R2 d 2
【例2深入讨论】（5分钟）
2
y 3x 的焦点，过F且倾 题目：设F为抛物线C ： 斜角为30度的直线交C于A、B，则|AB|=____ 问题1:你能否写出直线AB的标准形式下的参数方 程呢?以t为参数试着写出。 3 3
3 x t cos 30 { (t为参数） 4 y t sin 30 x 即{ 4 2 (t为参数） 1 y t 2 t
| AB | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 | AB | 1 k 2 ( x1 x2 ) 2 1 k 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 1 1 2 2 | AB | 1 2 ( y1 y2 ) 1 2 ( y1 y2 ) 4 y1 y2 k k
A
O
x
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 11 14
2
x x
1
2
2
4 x1 x2
பைடு நூலகம்
2
3 (1) 4 ( ) 2
2
高考真题训练（限时3分钟） 设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于 A，B两点，若|AB|= 2 3 ，则圆C的面积 为多少？
一题多解，多解归一，多题归一，用 “动”的观点考虑问题，拓宽思路，训
练自己发达的头脑，做到“八方联系，
浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼
翔浅底”的境界！同学们，加油！
2
思考讨论（3分钟）（解法三）
y 3x的焦点，过F且倾 题目：设F为抛物线C ： 斜角为30度的直线交C于A、B，则|AB|=____ 在上面的两种解法中是否有可以优化的步骤呢？
2
3 3 解：由题意可知直线AB的方程为y= ( x ), 3 4 21 9 2 代入抛物线方程可得x x 0, 2 16 21 x1 x2 = ， | AB || AF | | BF | ， 2 由抛物线定义得 | AF | | BF | 等价于 A到准线的距离与B到准线的距离之和 3 3 所以 | AB | x1 -（- ） x2 -（- ） =12 4 4
方程，交点A和B对应的参数为t1，t2 时，利用韦达定理 写出t1 t2和t1t2，则 AB t1 -t2 (t1 t2 ) 4t1t2
2
2.若M(x0 , y0 ), 交点A和B对应的参数为t1，t2 时， 则 MA t1 , MB t2 ; MA MB t1 t2 t1t2 .
例1．已知直线 y=x+1 与圆 点，求弦长|AB|的值
x y 4 相交于A,B两
2 2
x 2 y 2 25
解法一：（求出交点利用两点间距离公式）
y x 1 2 y 由 2 消去 y 得 2 x 2 x 3 0 2 x y 4
1 7 1 7 x1 , x2 2 2
高考真题（解法二） 2 y 3x 的焦点，过F且倾斜 设F为抛物线C ： 角为30度的直线交C于A、B，则|AB|=____
3 3 解：由题意可知直线AB的方程为y= ( x ), 3 4 代入抛物线方程可得 4 y 2 12 3 y 9 0 9 所以y1 y2 =3 3，y1 y2 =4 1 因此|AB | 1 2 ( y1 y2 ) 2 4 y1 y2 k 9 1 3 (3 3) 4(- ) 4 12
A
B
1 7 1 7 y1 , y2 2 2
O
x
1 7 1 7 1 7 1 7 A( , ), B( , ) 2 2 2 2
| AB |
14
例1．已知直线 y=x+1 与圆 点，求弦长|AB|的值
x y 4 相交于A,B两
2 2
x 2 y 2 25
方法规律小结
• 归纳直线与椭圆、双曲线、抛物线相交时 的弦长的计算方法。
1.通法弦长公式： | AB | 1 k
2
2.直线若过抛物线
2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
的焦点，注意应用 抛物线的定义的简
1 | AB | 1 2 ( y1 y2 ) 2 4 y1 y2 , 化运算。 k 一般不必求出交点，运用韦达定 理简化计算。
课堂检测
x 2 已知椭圆 +y =1及点（ B 1，3），过椭圆的上 4 顶点且倾斜角135度的直线交椭圆于C、D两点， 求BCD的面积。
2
【课后作业】
• （1）通过今天所学知识修改完善直线与曲 线相交产生的弦长问题的思维导图。 • （2）完成《配套活页卷》（二轮） P93 9，17 P107 2 ， 4 ， 6， 9 《胜券在握》P 52 考题预测 小组讨论任务：思考极坐标系中如何求解直 线与其他曲线相交所截弦长。
。
2 2 2 x y 25y 2 例1．已知直线 y=x+1 与圆 x y
4 相交于A,B两
B
点，求弦长|AB|的值
解法三：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 2 得2 x 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
方法规律小结
求直线与圆相交弦长的求法 （1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 求交点坐标，用两点间距离公式 （2）代数法：
用弦长公式 AB 1 k 2 x1 x 2
韦达定理
2 y 高考真题：例2.设F为抛物线C ： 3x 的焦
点，过F且倾斜角为30度的直线交C于A、B， 则|AB|=____
3 3 解：由题意可知直线AB的方程为y= ( x ), 3 4 21 9 2 代入抛物线方程可得x x 0, 2 16 21 9 x1 x2 = ，x1 x2 = 2 16 因此 | AB | 1 1 3 12 1 k 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 21 2 9 ( ) 4( ) 2 16
问题2:本题中参数t的绝对值的几何意义是什么呢？ 当动点（x,y）对应的参数为t时，|t|表示动点 （x,y）到（ 3 , 0） 的距离.
4
【探究总结】
y 3x的焦点，过F且倾 题目：设F为抛物线C ： 斜角为30度的直线交C于A、B，则|AB|=____ 问题3:在直线AB的标准形式下的参数方程中，A 和B对应的参数为 t1和t2 时，|AB|如何表示呢？
【不忘初心，拼搏高考】
• 中国人民是具有伟大梦想精神的人 民。中国人民相信，山再高，往上 攀，总能登顶；路再长，走下去， 定能到达。
直线与曲线相交的弦长问题
学习目标：
• 1.通过研究直线与圆相交从几何和代数角度 归纳直线与圆相交时弦长计算方法。 • 2.类比圆归纳总结直线与椭圆、双曲线、抛 物线相交时的弦长通用的计算方法。 • 3.通过参数方程研究解决直线与曲线相交时 线段的长度问题。 • 4.在综合运用运算方法解决问题的过程学会 从系统的高度解决数学问题.