唐山市高考数学易错解答题含解析

唐山市高考数学易错解答题
解答题含答案有解析
1．已知函数()sin y A ωx φ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫
>><<
⎪⎝
⎭
的图象如图所示.
（1）求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相； （2）求函数在区间,212π
π⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x 的值． 2．已知ABC ∆的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，B 的平分线BN 所在直线方程为250x y --=，求： （Ⅰ）顶点B 的坐标； （Ⅱ）直线BC 的方程
3．已知向量()()4,3,1,2a b ==-． (1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；
(2)若向量a b λ-与2a b +垂直，求λ的值．
4．在ABC ∆中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1a =，45B =，ABC ∆的面积2S =. （1）求边c 的长；
（2）求ABC ∆的外接圆的半径R . 5．已知函数()3cos 22f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间.
6．据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长220%，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）
按照[)50,60，[)60,70，…，[)90,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中x 的值并估计样本数据的中位数；
（2）已知满意度评分值在[)50,60内的男女司机人数比为3:2，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.
7．如图，在△ABC 中，cosC ＝
3
5
，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，设∠CBD ＝θ，其中tanθ＝2﹣1．
（1）求sinA 的值；
（2）若21CA CB ⋅=，求AB 的长．
8．已知直线:(0)l y kx k =≠与圆22:230C x y x +--=相交于A ，B 两点． （1）若||14AB =，求k ；
（2）在x 轴上是否存在点M ，使得当k 变化时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0，若存在，求出点M 的坐标：若不存在，说明理由． 9．设函数
.
（1）当时，函数的图像经过点，试求的值，并写出（不必证明）的单调递减
区间； （2）设
，，，若对于任意的，总存在，
使得，求实数的取值范围.
10．设等差数列的前n 项和为n S ，已知312a =，120S >，130S <； （1）求公差d 的取值范围；
（2）判断67a a ⋅与0的大小关系，并说明理由； （3）指出1S 、2S 、⋅⋅⋅、12S 中哪个最大，并说明理由； 11．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，*n N ∈. （1）求证数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()221log 1n n b a +=+，数列11n n b b +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T
，求证：11
156n
T ≤< 12．已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-. （1）求函数()y f x =的最小正周期和值域； （2）设,,A B C 为ABC ∆的三个内角，若1
cos 3
B =
，()22C f =，求cos A 的值.
13．已知1a =，2b =，且向量a 与b 的夹角为θ． （1）若3
π
θ=
，求a b ⋅；
（2）若a b -与a 垂直，求θ．
14．已知集合{
}2
230A x x x =--<，集合{
}
2
680B x x x =-+>. （1）求A
B ；
（2）若不等式20x ax b ++<的解集为A
B ，求不等式20ax x b +-<的解集.
15．已知函数()()
2
1
2cos 1sin 2cos 42
f x x x x =-⋅+
. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）若()0,απ∈，且248f απ⎛⎫-=
⎪⎝⎭，求tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 16．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AB BB ==，1BC =，11A E AC ⊥，E 为垂足.
（1）求证：11A E AB ⊥
（2）求三棱锥11B AB C -的体积.
17．已知()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，(0a >且)1a ≠ （1）求()()()F x f x g x =+的定义域.
（2）判断()()()F x f x g x =+的奇偶性，并说明理由.
18．某制造商3月生产了一批乒乓球，从中随机抽样133个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm ），将数据分组如下：
分组
频数 频率 [1．95,1．97）
13 [1． 97,1．99）
23 [1．99,2．31）
53 [2．31,2．33] 23 合计
133
（Ⅰ）请在上表中补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在图中画出频率分布直方图；
（Ⅱ）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为2．33 mm ，试求这批球的直径误差不超过3．33 mm 的概率；
（Ⅲ）统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值（例如区间[1．99,2．31）的中点值是2．33作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）．
19．（6分）已知圆C ：()2
219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.
20．（6分）已知离心率为22
的椭圆
2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)M ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(1,0)作斜率为2直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||
AB 的长．
21．（6分）已知ABC ∆的顶点()3,4B ，AB 边上的高所在的直线方程为30x y +-=，E 为BC 的中点，且AE 所在的直线方程为370x y +-=. (1)求顶点A 的坐标；
(2)求过E 点且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程. 22．（8分）已知数列{}n a 满足：123(1)(41)
236
n n n n a a a na +-+++⋯+=，*n N ∈
（1）求1a ，2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设11n n n b a a +=
⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：1
2
n T <
23．（8分）如图，AB 是
O 的直径，PA O ⊥所在的平面，C 是圆上一点，60BAC ∠=︒，PA AB =.
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求直线PC 与平面ABC 所成角的正切值.
24．（10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 、P 、Q 分别是棱AD 、SC 、AB 的中点，且SE ⊥平面ABCD ．
（1）求证：PQ ∥平面SAD ； （2）求证：AC ⊥平面SEQ ．
25．（10分）已知圆M 的方程为22
430x y y +-+=，直线l 的方程为30x y -=，点P 在直线l 上，过
点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B. （1）若60APB ∠=︒，求点P 的坐标；
（2）求证：经过A ，P ，M 三点的圆必经过异于M 的某个定点，并求该定点的坐标.
26．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和292n S n n =-++（*n N ∈）；
（1）判断数列{}n a 是否为等差数列； （2）设123||||||||n n R a a a a =++++，求n R ；
（3）设1
(12)
n n b n a =
-（*n N ∈），123n n T b b b b =+++
+，是否存在最小的自然数0n ，使得不等式
32
n n T <
对一切正整数n 总成立？如果存在，求出0n ；如果不存在，说明理由； 27．（12分）在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
28．假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y(万元)有如下表的统计资料
(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系
(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程y b x a ∧
∧
∧
=+的回归系数a ∧
，b ∧
(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考公式及相关数据:
2
1
22
1
1
1
ˆ,,90,112.3n
i i
n n
i i i i n
i i i
i x y nxy
b a
y bx x x y x
nx ====-=
=-==-∑∑∑∑ 29．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P 和Q ，其中
21,cos 2P θ⎛⎫
⎪⎝⎭
,()
2sin ,1,Q θθ-∈R ，且4
sin 5
α.
（1）求cos2θ的值； （2）求tan()αβ+的值.
30．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 前n 项和，11a =，39S = （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）设12231
111n n n T a a a a a a +=
++⋅⋅⋅+，比较n T
与2log （3）设函数,(),2n a n f n n f n ⎧⎪
=⎨
⎛⎫
⎪⎪⎝⎭
⎩
为奇数
为偶数，()()*24n n C f n N =+∈，求1C ，2C 和数列{}n C 的前n 项和n M . 参考答案
解答题含答案有解析
1．（1）函数的解析式为2sin 26y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭，其振幅是2，初相是6π
（2）12
x π=-时，函数取得最大值0；3
x π
=-
时，函数取得最小值勤-2
【解析】 【分析】
（1）根据图像写出A ，由周期求出ω，再由点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
确定ϕ的值．
（2）根据x 的取值范围确定26
x π
+的取值范围，再由2sin y t = 的单调求出最值
【详解】
（1）由图象知，函数的最大值为2，最小值为-2，∴2A =， 又∵
4612T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，∴T π=，2ππω=，∴2ω=.
∴函数的解析式为()2sin
2y x ϕ=+.
∵函数的图象经过点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
∴2sin 23πϕ⎛⎫+=
⎪⎝⎭，∴sin 13πϕ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
又∵02
π
ϕ<<
，∴6π=
ϕ. 故函数的解析式为2sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，其振幅是2，初相是
6
π. （2）∵,212x π
π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
，∴52,066x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 于是，当206
x π
+=，即12
x π
=-
时，函数取得最大值0；
当26
2
x π
π
+
=-
，即3
x π
=-
时，函数取得最小值为-2.
【点睛】
本题考查由图像确定三角函数、给定区间求三角函数的最值，属于基础题． 2．（Ⅰ）(1,3)B --（Ⅱ）617450x y --= 【解析】 【分析】
（Ⅰ）设()00,B x y ，可得AB 中点坐标，代入直线250x y --=可得00210x y --=；将B 点坐标代入直线250x y --=得00250x y --=，可构造出方程组求得B 点坐标；（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y '''，根据点关于直线对称点的求解方法可求得293,5
5A ⎛⎫
'- ⎪⎝⎭，因为A '在直线BC 上，根据两点坐标可求得直线方程. 【详解】
（Ⅰ）设()00,B x y ，则AB 中点坐标为：0051,2
2x y ++⎛⎫
⎪⎝⎭ 00
5125022
x y ++∴⨯
--=，即：00210x y --= 又00250x y --=，解得：01x =-，03y =-
()1,3B ∴--
（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y '''
则1
25512502
2y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-'''⋅-=⎩'⎪，解得：293,55A ⎛⎫
'-
⎪⎝⎭ BC ∴边所在的直线方程为：()3
3
5312915
y x -++=++，即：617450x y --=
【点睛】
本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.
3．（1（2）529λ= 【解析】 【分析】
（1）分别求出a ，b ，a b ⋅，再代入公式cos a b a b
θ⋅=
求余弦值；
（2）由向量互相垂直，得到数量积为0，从而构造出关于λ的方程，再求λ的值. 【详解】
(1) 2435a =+=，21b =-+=14322a b ⋅=-⨯+⨯=，
∴cos 2555
a b a b
θ⋅=
=
=⨯. (2) ()()()4,3,24,32a b λλλλλ-=--=+-．
()()()28,61,27,8a b +=+-=
若()()
2a b a b λ-⊥+， 则()()748320λλ++-=， 解得52
9
λ=
. 【点睛】
本题考查向量数量积公式的应用及两向量垂直求参数的值，考查基本的运算求解能力.
4．（1）c =（2）R = 【解析】 【分析】
（1）由三角形面积公式可构造方程求得结果；
（2）利用余弦定理可求得b ；利用正弦定理即可求得结果. 【详解】
（1）由1sin 2S ac B =
得：1222
c ⨯=，解得：c =
（2
）由余弦定理得：2222cos 132252
b a
c ac B =+-=+-= 5b ∴=
由正弦定理得：
2sin b R B =
==
2
R ∴= 【点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形的问题，考查学生对于解三角形部分的公式掌握的熟练程度，属于基础应用问题.
5． (1) ()f x 的最小正周期为2π (2) ()f x 的单调增区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 3f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，根据周期公式求得函数的周期；
（2）由()222
32
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，求得x 的取值范围即为函数的单调增区间，由
()3222
32
k x k k Z ，π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈求得x 取值范围即为函数的单调减区间。

试题解析：
（Ⅰ）(
)cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin x x =+
2sin 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∴()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）由()222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，，
得()52266
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈ ∴()f x 的单调增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢
⎥⎣⎦
由
()3222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈，， 得()72266
k x k k Z ππ
ππ+≤≤
+∈ ∴()f x 的单调减区间为()72,266k k k Z π
π
ππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
6．（1）0.025x =，中位数的估计值为75（2）1
10
【解析】 【分析】
（1）根据频率和为1计算x ，再判断中位数落在第三组[)70,80内，再计算中位数.
（2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：1A ，2A ，3A ，女司机为：1B ，2B .排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案. 【详解】
解：（1）根据频率和为1得()0.00250.02750.040.005101x ++++⨯=. 则0.025x =.
第一组和第二组的频率和为0.0250.2750.3+=，则中位数落在第三组[)70,80内. 由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75. （2） 设事件A ：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.
[)50,60的人数为2000.0255⨯=人.
∴该组男司机3人，女司机2人.
记男司机为：1A ，2A ，3A ，女司机为：1B ，2B .
5人抽取2人进行座谈有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A A ，()21,A B ，()22,A B ，
()31,A B ，()32,A B ，()12,B B 共10个基本事件.
其中2人均为女司机的基本事件为()12,B B . ∴()1
10
m P A n =
=. ∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是110
. 【点睛】
本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
7．（1（2）AB =【解析】 【分析】
（1）根据二倍角公式及同角基本关系式，求出cos ∠ABC ，进而可求出sinA ；
（2）根据正弦定理求出AC ，BC 的关系，利用向量的数量积公式求出AC ，可得BC ，正弦定理可得答案． 【详解】
（1）由∠CBD ＝θ，且
tanθ=1，所以θ∈（0，
2
π）， 所以cos ∠
ABC 222222
112
cos sin tan cos sin tan θθθθθθ--===++， 则sin ∠
ABC 2
=， 由cosC 35=
，得：sinC 45
=， sinA ＝sin[π﹣（∠ABC+∠C ）]＝sin （∠ABC+∠C
）10
=
． （2
45102
AB
==
， 即BC 7
5
=AC ； 又 CA •75CB =AC 2•3
5
=21，
∴AC ＝5， ∴
AB =
＝
【点睛】
本题考查了二倍角公式、同角基本关系式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题． 8．（1）±1；（2）存在()3,0M -. 【解析】 【分析】
（1）由题得C 到AB
的距离为
2
2=，解方程即得解；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，存在点(,0)M m 满足题意，即0AM BM k k +=，把韦达定理代入方程化简即得解. 【详解】
（1）因为圆2
2
:(1)4C x y -+=，所以圆心坐标为(1,0)C ，半径为2，
因为||AB =C 到AB
的距离为
2
，
2
=
， 解得1k =±．
（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则22
,230,
y kx x y x =⎧⎨+--=⎩得22(1)230k x x +--=，因为24121()0k ∆=++>， 所以12221x x k +=
+，12
2
3
1x x k =-+， 设存在点(,0)M m 满足题意，即0AM BM k k +=， 所以1212
12120AM BM y y kx kx k k x m x m x m x m
+=
+=+=----，
因为0k ≠，所以12211212()(2())0x x m x x m x x m x x -+-=-+=， 所以22
62011m
k k
-
-=++，解得3m =-． 所以存在点(3,0)M -符合题意． 【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 9．（1）递减区间为和
；（2）
.
【解析】 【分析】 （1）将点代入函数
即可求出,根据函数的解析式写出单调递减区间即可（2） 当时，写出函数
，由题意知
的值域是
值域的子集,即可求出.
【详解】 （1）因为函数的图像经过点
，且
所以
，解得
.
的单调递减区间为
和.
（2）当
时，
，
时，
由对于任意的
，总存在，使得
知：
的值域是值域的子集.
因为
的对称轴为,
①当时，即时，
只需满足
解得. ② 当
，即
时，
因为，与
矛盾，故舍去.
③当
时，即
时，
与
矛盾，故舍去.
综上，.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，以及含参数二次函数值域的求法，涉及存在性问题，转化思想和分类讨论思想要求较高，属于难题. 10．（1）24
(,3)7
--；（2）670a a ⋅<，理由见解析；（3）6S ，理由见解析； 【解析】 【分析】
（1）由312a =，120S >，130S <，得到不等式21270d ⨯+>且21280d ⨯+>，即可求解公差d 的取值范围；
（2）由120S >，130S <，结合等差数列的性质和前n 项和公式，得到670a a +>且70a >，即可求解； （3）有（2）知670,0a a ><，可得760d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，即可求解. 【详解】
（1）由题意，等差数列的前n 项和为n S ，且312a =，120S >，130S <，
可得31012312()6(27)02a a S a d +=
=+>，31131313()13(28)
022
a a a d S ++==>，
即21270d ⨯+>且21280d ⨯+>，解得24
37
d -<<-， 即公差d 的取值范围是24
(,3)7
--. （2）由120S >，130S <，可得671212()02a a S +=
>且11313713()
1302
a a S a +==>， 即670a a +>且70a >，所以670,0a a ><，所以670a a ⋅<.
（3）有（2）知670,0a a ><，可得760d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，
当16,n n N +≤≤∈时，0n a >，当7,n n N +
≥∈时，0n a <，
所以1S 、2S 、⋅⋅⋅、12S 中6S 最大. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质，以及等差数列的单调性的应用，其中解答熟记等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质，合理利用数列的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．（1）证明见解析，(
)*
21n
n a n N =-∈；
（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据递推关系式可整理出
11
21
n n a a ++=+，从而可证得结论；利用等比数列通项公式首先求解出1n a +，再整理出n a ；（2）根据n a 可求得n b ，从而得到11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，利用裂项相消法求得n T ，从而使
问题得证. 【详解】
（1）由121n n a a +=+得：()1121n n a a ++=+
即
11
21
n n a a ++=+，且112a += ∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列
11222n n n a -∴+=⨯=
∴数列{}n a 的通项公式为：()
*21n n a n N =-∈
（2）由（1）得：()(
)21
2212log 1log 2
1121n n n b a n ++=+=-+=+
()()111111212322123n n b b n n n n +⎛⎫
∴
==- ⎪++++⎝⎭
()*111111123557211164623n n n T n N n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
++⎝⎭⎝⎭⎝⎣-+⎭∴=∈⎦ 又1104610n <≤+ 1101046n ∴-≤-<+ 1111
156466n ∴≤-<+
即：11156
n T ≤< 【点睛】
本题考查利用递推关系式证明等比数列、求解等比数列通项公式、裂项相消法求解数列前n 项和的问题，属于常规题型.
12．（1）周期T π=，值域为[2,2]-；（2
）cos A =【解析】 【分析】
（1）利用二倍角降幂公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式进行化简，利用周期公式求出函数
()y f x =的最小正周期，并求出函数()y f x =的值域；
（2）先由2C f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值，求出角C 的值，然后由()cos cos A B C =-+结合同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式求出cos A 的值． 【详解】
（1）
∵()2cos 22s 6in 2f x x x x π⎛⎫
=+=+ ⎪⎝
⎭
且sin 2[1,1]6x π⎛⎫
+
∈- ⎪⎝
⎭
， ∴所求周期22
T π
π=
=，值域为[2,2]-； （2）∵,,A B C 是ABC ∆的三个内角，1cos 3B =
，
∴sin 3
B ==
∴又2sin 22226C C f π⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 61C π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
又∵,2
3
6
C C π
π
π
+
=
=
，
故11cos cos()(cos cos sin sin )3232A B C B C B C ⎛⎫=-+=--=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
16=，
故1cos 6
A =
.
【点睛】
本题考查三角函数与解三角形的综合问题，考查三角函数的基本性质以及三角形中的求值问题，求解三角函数的问题时，要将三角函数解析式进行化简，结合正余弦函数的基本性质求解，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题．
13．（1；（2）45θ=︒ 【解析】 【分析】
（1）根据平面向量的数量积公式计算a b ⋅的值；（2）根据两向量垂直数量积为0，列方程求出cosθ的值和对应角θ的值． 【详解】 （1）因为3
π
θ=
，所以cos a b a b θ⋅=
1cos 3
π
=
= （2）因为a b -与a 垂直，所以()
0a b a -⋅=
即2
2
cos 10a a b a a b θθ-⋅=-=-=，
所以cos 2
θ=
又0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒ 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，是基础题． 14．（1）{}|12x x -<< （2）{}
|12x x x <->或 【解析】 【分析】
（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合,A B ，再求交集即可；
（2）由待定系数法求得1,2a b =-=-，再代入不等式20ax x b +-<，解不等式即可得解. 【详解】
解：（1）因为集合{}
{}2
230|13A x x x x x =--<=-<<，
集合{
}{}
2
680|24B x x x x x x =-+>=或， 即A
B ={}|12x x -<<；
（2）由不等式20x ax b ++<的解集为A
B ，
则不等式20x ax b ++<等价于(1)(2)0x x +-<，即220x x --<， 即1,2a b =-=-，
即不等式20ax x b +-<等价于220x x -++<，即(1)(2)0x x +->， 解得1x <-或2x >，
故不等式20ax x b +-<的解集为{}
|12x x x <->或. 【点睛】
本题考查了集合的运算，重点考查了一元二次不等式的解法，属基础题.
15．（1）最小正周期为2π，单调递减区间为()5,216216k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
（2）2. 【解析】 【分析】
（1）利用二倍角降幂公式和辅助角公式将函数()y f x =的解析式化为()f x =424x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，利用周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期，然后解不等式()32422
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤+
∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；
（2）由482f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
可得出角α的值，再利用两角和的正切公式可计算出tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】 （1）
()()211
2cos 1sin 2cos 4cos 2sin 2cos 422f x x x x x x x
=-+=+
()1sin 4cos 444sin 4cos cos 4sin 244x x x x x x ππ⎫⎫=
+=+=+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
44x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭． ∴函数()y f x =的最小正周期为242
T ππ
=
=， 令()32422
4
2k x k k Z π
π
πππ+
≤+
≤+
∈，解得()5216216
k k x k Z ππππ
+≤≤+∈.
所以，函数()y f x =的单调递减区间为()5,216216k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
； （2
）
482
f απ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭，即sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，3444πππα∴-<-<. 42ππα∴-=，故34πα=
，因此3tan
tan
43tan 2331tan tan 43
ππ
παππ+⎛⎫+=
== ⎪⎝
⎭-+【点睛】
本题考查三角函数基本性质，
考查两角和的正切公式求值，解题时要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，利用正弦、余弦函数的性质求解，考查运算求解能力，属于中等题. 16． (1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 （1）先证得11
B C ⊥平面11AAC C ，
由此证得111B C A E ⊥，结合题意所给已知条件11A E AC ⊥，证得1A E ⊥平面11AB C ，从而证得11A E AB ⊥.（2）首先证得AC ⊥平面11BB C C ，由1111B AB C A BB C V V --=三棱锥三棱锥计算出三棱锥的体积. 【详解】
（1）证明：90ACB ∠=，∴BC AC ⊥， 又1BC AA ⊥，从而BC ⊥平面11AAC C ∵BC //11B C ，∴11B C ⊥平面11AAC C ，1A E ⊂平面11AAC
C ， ∴111B C A E ⊥
又11A E AC ⊥，∴1A E ⊥平面11AB C ，于是11A E AB ⊥ （2）解：1,AC BC AC CC ⊥⊥，
∴AC ⊥平面11BB C C 1112,1AB BB BC BC AC
====∴
∴111111111=123323
BB C B AB C A BB C V V S AC ∆--==⨯⨯⨯⨯三棱锥三棱锥 【点睛】
本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的判定定理的运用，考查三棱锥体积的求法，属于中档题. 17．（1）()1,1-；（2）偶函数，理由见解析.
【解析】 【分析】
（1）根据对数的真数大于零可求得()f x 和()g x 的定义域，取交集可得()F x 定义域； （2）整理可得()(
)2
log 1a F x x =-，验证得()()F x F x -=，得到函数为偶函数.
【详解】
（1）令10x +>得：1x >- ()f x ∴定义域为()1,-+∞ 令10x ->得：1x < ()g x ∴定义域为(),1-∞
()()()F x f x g x ∴=+的定义域为()1,1-
（2）由题意得：()()()(
)2
log 1log 1log 1a a a F x x x x
=++-=-，()1,1x ∈-
()()
(
)()()2
2
log 1log 1a a
F x x x F x ∴-=--=-=
()()()F x f x g x ∴=+为定义在()1,1-上的偶函数
【点睛】
本题考查函数定义域的求解、奇偶性的判断；求解函数定义域的关键是明确对数函数要求真数必须大于零，且需保证构成函数的每个部分都有意义.
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）40.00()mm 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据公式：频率=频数÷样本容量可补充完成频率分布表，然后作出频率分布直方图； （Ⅱ）直径误差不超过3．33 mm 的频率有3．53,3．53,3．53，所以这批球的直径误差不超过3．33 mm 的概率3．53+3．53+3．53=3．9；（Ⅲ）由平均值公式可求得
试题解析：（Ⅰ） 分组
频数 频率 [4．95,4．97）
43 3．43 [4． 97,4．99）
53
3．53
[4．99,5．34）53 3．53 [5．34,5．33] 53 3．53 合计433 4
（Ⅱ）设误差不超过3．33的事件为，
则．
（Ⅲ）
1
(399.6799.62000800.4)
100
=⨯+++
=39.996
40.00()
mm
≈
考点：4．频率分布直方图；5．求数值的平均值
19．（1）260
x y
+-=（2）34
【解析】
分析：（1）P为AB的中点，故CP AB
⊥，所以斜率1
l CP
K K
⨯=-，由此求解直线方程（2）已知直线方程，利用半径和点到直线的距离，求解弦长．
详解：（1）P为AB中点CP AB
∴⊥
C（1，0），P（2，2）2
CP
K
∴=
1
2
l
K=-
（2）∴l的方程为260
x y
+-=由已知1
l
K=，又直线l过点P（2，2）
∴直线l的方程为22
y x
-=-即x-y=0
C 到直线l 的距离2
2
d =
，3r = 129342AB ∴=-=点睛：利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为
22AB 2r d =-．
20．（1）22
1
42
x y +=（24359 【解析】 【分析】
（1）根据离心率可得,,a b c 的关系，将点M 代入椭圆方程，可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得弦长AB . 【详解】 （1）2
2
c e a =
=
，又222a b c =+， 2
2
2a b ∴=，即椭圆方程是22
2212x y b b
+=，
代入点(
)
2,1M
,
可得22
2,4b a ==，
∴椭圆方程是22
142
x y +=.
（2）设()()1122,,,A x y B x y
直线方程是()21y x =-，联立椭圆方程
()
2
2
2114
2y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 291640x x ⇒-+= 1212164
,99
x x x x +=
= ()
2
22
121212114AB k x k x x x x =+-=++-
代入可得4
359
AB =【点睛】
本题考查了椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式，属于简单题. 21．（1）()1,2（2）40x y -=或50x y +-=
【解析】 【分析】
（1）首先确定直线AB 的斜率，从而得到直线AB 的方程；因为点A 是直线AB 与AE 的交点，联立两条直线可求得点A 坐标；（2）设()00,E x y ，利用中点坐标公式表示出()0023,24C x y --；根据E 在直线AE 上，C 在直线30x y +-=上，可构造方程组，求得E 点坐标；根据截距相等，可分为截距为0和不为0两种情况来分别求解出直线方程. 【详解】
（1）由已知得：1AB k =
∴直线AB 的方程为：43y x -=-，即：10x y -+=
由10370x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩，解得：1
2x y =⎧⎨
=⎩
A ∴的坐标为()1,2
（2）设()00,E x y ，则()0023,24C x y --
则()()000
023*******x y x y ⎧-+--=⎨+-=⎩，解得：004
1x y =⎧⎨=⎩ 直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等
∴当直线l 经过原点时，设直线l 的方程为y kx =
把点()4,1E 代入，得：14k =，解得：14
k = 此时直线l 的方程为：40x y -= 当直线l 不经过原点时，设直线l 的方程为1x y a a
+= 把点()4,1E 代入，得：
41
1a a
+=，解得：5a = 此时直线l 的方程为50x y +-=
∴直线l 的方程为：40x y -=或50x y +-=
【点睛】
本题考查直线交点、直线方程的求解问题，易错点是在已知截距相等的情况下，忽略截距为零的情况，造成丢根.
22． (1) 11a =；23a = ；(2) 21n a n =- (3)见证明； 【解析】 【分析】
（1）令1,2n n ==可求得12,a a ；
（2）在已知等式基础上，用1n -代n 得另一等式，然后相减，可求得n a ，并检验一下1a 是否适合此表达式；
（3）用裂项相消法求和． 【详解】
解：（1）由已知得1123
16
a ⨯⨯=
= 12237
276
a a ⨯⨯+=
=，∴23a = (2)由123(1)(41)
236
n n n n a a a na +-++++=，①得
2n ≥时，1231(1)[4(1)1]
23(1)6
n n n n a a a n a ----++++-=
，② ①-②得(1)(41)(1)(45)
(21)66n n n n n n n na n n +---=
-=- ∴21n a n =-，
11a =也适合此式，
∴21n a n =-（*n N ∈）． （3）由（2）得21n a n =-，∴111111
()(21)(21)22121
n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+
∴11111111
[(1)()(
)](1)2335
2121221
n T n n n =
-+-++-=--++ ∵*n N ∈，∴1
021
n >+ ∴12
n T <
【点睛】
本题考查由数列的通项公式，考查裂项相消法求和．求通项公式时的方法与已知n S 求n a 的方法一样，本题就相当于已知数列{}n na 的前n 项和，要求n na ．注意首项求法的区别． 23．（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 【分析】
（1）首先证明BC ⊥平面PAC ，利用线面垂直推出平面PAC ⊥平面PBC ； （2）找到直线PC 与平面ABC 所成角所在三角形，利用三角形边角关系求解即可. 【详解】
（1）∵AB 是直径，
∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥， 又∵PA O ⊥
所在的平面，
BC 在O 所在的平面内，
∴PA BC ⊥， ∴BC ⊥平面PAC ， 又BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PAC ； （2）∵PA ⊥平面ABC ，
∴直线PC 与平面ABC 所成角即PCA ∠， 设1AC =，∵60BAC ∠=︒，∴30ABC ∠=︒， ∴2PA AB ==， ∴tan 2PA
PCA AC
∠==. 【点睛】
本题主要考查了面面垂直的证明，直线与平面所成角的求解，属于一般题. 24．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）取SD 中点F ，连接AF ，PF ，得PQ AF ，利用直线与平面平行的判定定理证明PQ ∥平面SAD ． （2）连结BD ，由已知条件得AC EQ ⊥，由SE ⊥平面ABCD ，得AC SE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明AC ⊥平面SEQ ． 【详解】
（1）取SD 中点F ，连接AF ，PF ，∵P 、F 分别是棱SC 、SD 的中点，
∴FP CD ，且1
2FP CD =
．∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点， ∴AQ CD ∥，且1
2
AQ CD =，∴FP AQ ∥且FP AQ =，∴AQPF 为平行四边形.
∴PQ AF ．∵PQ ⊄平面SAD ，AF ⊂平面SAD ，∴PQ ∥平面SAD ． （2）连接BD ，∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，
∵E ，Q 分别是棱AD 、AB 的中点，∴EQ BD ∥，∴AC EQ ⊥， ∵SE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC SE ⊥， ∵SE
EQ E =，SE 、EQ ⊂平面SEQ ，∴AC ⊥平面SEQ .
【点睛】
本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
25．（1）()0,0和62,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（2）()0,2和31,55⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）设()3,P m m ，连接MP ，分析易得22MP MA ==，即有()()2
2
324m m +-=，解得m 的值，
即可得到答案.
（2）根据题意，分析可得：过A ，P ，M 三点的圆为以MP 为直径的圆，设P 的坐标为
()3,m m ，用m 表示过A ，P ，M 三点的圆为()222320x y y m x y +--+-=，结合直线与圆的位置关
系，分析可得答案. 【详解】
（1）根据题意，点P 在直线l 上，
设()3,P m m ，连接MP ，
因为圆M 的方程为()2
22243021x y y x y +-+=⇒+-=， 所以圆心()0,2M ，半径1r =，
因为过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ； 则有,PA MA PB MB ⊥⊥，且1MA MB r ===，
易得APM BPM ∆≅∆，
又由60APB ∠=︒，即30APM ∠=，
则22MP MA ==，即有()()2
2
324m m +-=， 解得0m =或25m =
，即P 的坐标为()0,0和62,55⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（2）根据题意，PA 是圆M 的切线，则PA MA ⊥， 则过A ，P ，M 三点的圆为以MP 为直径的圆， 设P 的坐标为()3,m m ，()0,2M ，
则以MP 为直径的圆为()()()()0320x x m y m y --+--=， 变形可得：()2
2
3220x y mx m y m +--++=，
即()2
2
2320x y y m x y +--+-=，
则有2220320
x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或3515x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
则当0,2x y ==和35x =
，15
y =时，()22
2320x y y m x y +--+-=恒成立， 则经过A ，P ，M 三点的圆必经过异于M 的某个定点， 且定点的坐标()0,2和31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系、圆中的定点问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
26．（1）否；（2）2292,5
942,6
n n n n R n n n ⎧-++≤=⎨-+≥⎩；（3）024n =；
【解析】 【分析】
（1）根据数列中n a 与n S 的关系式，即可求解数列的通项公式，再结合等差数列的定义，即可求解；
（2）由（1）知，求得当15,n n N +≤≤∈时，0n a >，当6,n n N +
≥∈时，0n a <，利用等差数列的前n
项和公式，分类讨论，即可求解. （3）由（1）得到当1n =时，112b =，当2n ≥时，11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，结合裂项法，求得34
n T <，即
可求解.
【详解】
（1）由题意，数列{}n a 的前n 项和2
92n S n n =-++（*n N ∈），
当1n =时，1110a S ==，
当22
1292[(1)9(1)2]210n n n n a S S n n n n n -≥=-=-++---+-+=-+，
所以数列{}n a 的通项公式为10,1
210,2n n a n n =⎧=⎨-+≥⎩
，
所以数列{}n a 不是等差数列.
（2）由（1）知，令0n a ≥，解得5n ≤，
所以当15,n n N +≤≤∈时，0n a >，当6,n n N +
≥∈时，0n a <，
①当5n ≤时，12312||||||||n n n R a a a a a a a =++++=+++
()()221109 2.2
n n a a n n -+=+
=-++
②当6n ≥时，()()1231256||||||||n n n R a a a a a a a a a =+++
+=+++-++
()()6255942.2
n n a a R n n -+=-
=-+
综上可得22
92,
5942,
6
n n n n R n n n ⎧-++≤=⎨-+≥⎩.
（3）由（1）可得，当1n =时，112
b =， 当2n ≥时，()11111(12)2221n n b n a n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪-++⎝⎭，
1231111111
12223341n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++
+=
+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
111111
1131313122334122142(1)4n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=
+-+-++-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦， 要使得不等式0
32
n n T <对一切正整数n 总成立，则()0max 3224n n T ≥=， 即024n =. 【点睛】
本题主要考查了数列中n a 与n S 的关系式，等差数列的定义，数列的绝对值的和，以及“裂项法”的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
27．（1）29n a n =-；（2）(
)228,4
832,5
n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，可得出450
a a ≤⎧⎨≥⎩，可得出d 的取值
范围，结合d Z ∈，可求出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出n a ；
（2）将数列{}n b 的通项公式表示为分段形式，即(),4,5n n n
n a n b a n N a n *
-≤⎧==∈⎨≥⎩，于是得出()4,4
2,,5
n n n n S n T n N S S a n *-≤⎧=∈⎨-≥⎩可得出n T 的表达式. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d Z ∈， 由题意知，{}n S 的最小值为4S ，则45
0a a ≤⎧⎨
≥⎩， 17a =-，所以370470
d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得77
43d ≤≤，
d Z ∈，2d ∴=，
因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； （2）
29n n b a n ==-.
当4n ≤时，0n a <，则n n n b a a ==-，()
272982
n n n n T S n n -+-∴=-=-
=-+；
当5n ≥时，0n a >，则n n n b a a ==，()22
428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+.
综上所述：(
)228,4
832,5
n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及绝对值分段求和，解题的关键在于将n S 的最小值转化为与项相关的不等式组进行求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题. 28．（1）见解析；（2）0.08a =， 1.23b =；（3）12.38万元 【解析】 【分析】
（1）在坐标系中画出5个离散的点；
（2）利用最小二乘法求出 1.23b =，再利用回归直线过散点图的中心，求出0.08a =； （3）将10x =代入（2）中的回归直线方程，求得12.38y =. 【详解】
（1）散点图如下：
所以从散点图年，它们具有线性相关关系.
（2）2345645
x ++++=
=， 2.2 3.8 5.5 6.57.0
55y ++++==，
于是有2
112.354512.3
1.23905410
b -⨯⨯===-⨯， 51,2340.08a y bx =-=-⨯=.
（3）回归直线方程是 1.230.08,y x =+
当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=（万元）， 即估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元. 【点睛】
本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当10x =时，y 的值，考查数据处理能力. 29．（1）13
；（2）13-.
【解析】 【分析】
(1)根据正弦的定义求得2cos θ，再运用余弦的二倍角公式求解， (2)由(1)问可得P 、Q 两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解. 【详解】
（1）由24
4
sin 5
1cos 4
αθ==
+
得：2221cos ,sin 33
θθ== 所以：221cos 2cos sin 3θθθ=-=
（2）由2212sin ,cos 33θθ=
= 则121,,,1233P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故4tan ,tan 33
αβ==- 因此tan tan 1tan()1tan tan 3
αβαβαβ++=
=--. 【点睛】 本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.
30．（1）21m a n =-；（2
）2log n T <（3）15C =，21C =，5,12,2n n n M n n =⎧=⎨+≥⎩
【解析】
【分析】
（1）利用基本元的思想，将已知转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得d 的值，从而求得数列{}n a 的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得n T 表达式，判断出12
n T <
，利用对数函数的性质得到21log 2>
，由此得到2log n T <（3）首先求得12,C C ，当3n ≥时，根据()f n 的表达式，求得n C 的表达式.利用分组求和法求得当3n ≥时n M 的表达式，并根据12,C C 的值求得n M 的分段表达式.
【详解】
（1）{}n a 为等差数列，11a =，39S =
得1112339
a d a d =⎧⇒=⎨+=⎩，∴21n a n =- （2）∵1111122121n n
b b n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭
， ∴1111111123352121212n n n T T n n n ⎛⎫=
-+-+⋅⋅⋅+-=⇒< ⎪-++⎝⎭，
又221log log 2
>=，
∴2log n T <
（3）由分段函数,(),2n a n f n n f n ⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭
⎩为奇数为偶数，可以得到： 13(6)(3)5C f f a ====，21(8)(4)(2)(1)1C f f f f a ======， 当3n ≥时，()()()()1221242221221121n n n n n n C f f f ----=+=+=+=+-=+，
故当3n ≥时，()()()2315121212
1n n M -=++++++⋅⋅⋅++()241262212n n n n --=++-=+-， 又2n =符合上式
所以5,12,2n n n M n n =⎧=⎨
+≥⎩.
【点睛】 本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法、分组求和法，考查运算求解能力，属于中档题.。