安徽省合肥市巢湖青岗中学高一数学理上学期期末试卷含解析

安徽省合肥市巢湖青岗中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义在上函数满足对任意，都有，记数列
，有以下命题：①；②；③ 令函数，则
；④令数列，则数列为等比数列.其中正确命题的为（）
A. ①②③
B. ①②
C.②③
D.①②③④
参考答案：
A
略
2. 已知是等比数列，且，，那么的值等于
A.1
B.
C.
D.
参考答案：
C
3. 已知（）
A．B．C．D．
参考答案：
试题分析：根据对数的运算法则,有
.
考点：对数的运算法则.
4. 已知函数sin（ωx﹣）﹣cos（ωx﹣）（ω＞0）图象的两相邻对称轴间的距离为
．
（I）求f（）的值；
（II）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）图象，求g（x）在区间[0，
]上的单调性．
参考答案：
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性；HJ：函数
y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（I）利用两角差的正弦函数以及诱导公式化简函数的表达式，图象的两相邻对称轴间的距离为，求出函数的周期，求出ω然后，直接求f（）的值；
（II）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）图象，求出函数的解析式．然后求出函数的单调区间，即可求g（x）在区间[0，]上的单调性．
【解答】解：（I）函数sin（ωx﹣）﹣cos（ωx﹣）
=2sin（ωx﹣﹣）=2sin（ωx﹣）=﹣2cos（ωx）…
由条件两相邻对称轴间的距离为．
所以T=π，，所以ω=2，∴f（x）=﹣2cos2x，f（）=﹣…
（II）函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）图象，
所以g（x）=﹣2cos（2x﹣），
令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ，k∈Z
又x∈[0，]
所以g（x）在[0，]上递减，在[]上递增…
5. 如图为苗族刺绣中最基本的图案，这些图案都由小正方形构成，如果按同样的规律刺绣下去，第
20
个图形中包含小正方形的个数为（ ）
A 6. 设
是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中
,下表是该港口某一天从0至
24时记录的时间t 与水深y 的关系.
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.
根据上述数据，函数
的解析式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A
7. 若函数为奇函数，且在内是增函数，有，则
的解集是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案： C
8. 函数f （x ）=sin2x 和函数g （x ）的部分图象如图所示，则函数g （x ）的解析式可以是（ ）
A ．g （x ）=sin （2x ﹣）
B ．g （x ）=sin （2x+
） C ．g （x ）=cos （2x+
） D ．g （x ）
=cos （2x ﹣
）
参考答案：
C
【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由图象可得g （x ）的图象经过点（，），逐个选项验证可得．
【解答】解：代值计算可得f （
）=sin
=
， 由图象可得g （x ）的图象经过点（
，
），
代入验证可得选项A ，g
（
）=sin ≠，故错误；
选项B ，g （）=sin ≠
，故错误；
选项D
，g （
）=cos =﹣cos =≠，故错误；
选项C ，g （）=cos
=cos
=
，故正确．
故选：C ．
9. 定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足f （x 0）
=，则称函数y=f （x ）是a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，例如y=|x|
是﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数f （x ）=x 2﹣mx ﹣1是﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．﹣1，1]
B ．（0，2）
C ．﹣2，2]
D ．（0，1）
参考答案：
B
【考点】函数的值．
【分析】由已知得关于x 的方程x 2
﹣mx ﹣1=
在（﹣1，1）内有实数根．从而x 2
﹣mx+m
﹣1=0，进而x=m ﹣1为均值点，由此能求出实数m 的取值范围．
【解答】解：∵函数f （x ）=﹣x 2
+mx ﹣1是区间﹣1，1]上的平均值函数，
∴关于x 的方程x 2﹣mx ﹣1=在（﹣1，1）内有实数根．
由x 2
﹣mx ﹣1=，得x 2
﹣mx+m ﹣1=0，解得x=m ﹣1，x=1．
又1?（﹣1，1）
∴x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m ﹣1＜1，∴0＜m ＜2． ∴所求实数m 的取值范围是0＜m ＜2． 故选：B ． 10. 已知集合 ，则
A.
B.
C.
D.
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）△ABC 中，AC=3，AB=2，若G 为△ABC 的重心，则
?
=
．
参考答案：
考点： 平面向量数量积的运算．
专题：
计算题；平面向量及应用．
分析： 运用三角形的重心的性质和向量的三角形法则及向量的中点表示，以及向量的平方即为模的平方，即可化简求得．
解答： 由于G 为△ABC 的重心，
连接AG ，延长交BC 于D ，
则
==（）=，
则有
?
=
=（﹣）=（9﹣4）=．
故答案为：．
点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于基础题．
12. 若把函数y ＝cos(x ＋)的图象向左平移m (m ＞0)个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是
________．
参考答案：
略
13. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C ，向量＝(sinA ，1)，，且．则角
A=__________； 参考答案：
略
14. 设常数a∈R ，函数f （x ）=|x ﹣1|+|x 2
﹣a|，若f （2）=1，则f （1）= ．
参考答案：
3
【考点】函数的值． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用f （x ）=|x ﹣1|+|x 2﹣a|，f （2）=1，求出a ，然后求解f （1）即可． 【解答】解：常数a∈R，函数f （x ）=|x ﹣1|+|x 2﹣a|，若f （2）=1，
∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，
函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，
∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查．
15. 关于的方程恰有个不同的实根,则的取值范围是________.
参考答案：
16. 如果△的三边长均为正整数，且依次成公差不为零的等差数列，最短边的长记为，
，那么称△为“—等增整三角形”.有关“—等增整三角形”的下列说法：①“2—等增整三角形”是钝角三角形；②“3—等增整三角形”一定是直角三角形；③“2015—等增整三角形”中无直角三角形；④“—等增整三角形”有且只有个；⑤当为3的正整数倍时，“—
等增整三角形”中钝角三角形有个.
正确的有__________.（请将你认为正确说法的序号都写上）
参考答案：
①③④⑤
17. 三个数390，455，546的最大公约数为．
参考答案：
13
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)定义在(－1,1)上且满足下列两个条件：
①对任意都有；②当时，有．
（1）证明函数f(x)在(－1,1)上是奇函数；
（2）判断并证明f(x)的单调性.
（3）若，试求函数的零点．
参考答案：（1）令,则，则；又令，则，
即，所以函数在上是奇函数. ......4分
（2）证明：设，则，因为
则由条件知而，，所以函数在上单调递
增。

.......8分
（3）由则从而，等价于
则，因为函数在上单调递增，所以即，则，由，得，故的零点为. ......12分
19. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
参考答案：
略
20. 已知集合,又A∩B={x|x2+ax+b＜0},求a+b 的值。

（本题满分12分）
（1）若，化简：
（2）求关于x的不等式(k2－2k＋)x＜(k2－2k＋)1ˉx的解集
参考答案：
解：∵, …（6分）
∴A∩B={x|x2+ax+b＜0}=, ………………………（8分）
∴和即为方程x2+ax+b=0的两根，∴∴a+b=.………（12分）解：（1）∵原式=…（5分）
=………………………（8分）
（2）原不等式等价于，
此不等式的解集为………………………（12分）
略
21. （12分）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点．（1）求实数k的值及函数y=f1（x）的解析式：
（2）将y=f1（x）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，若2f1（x+﹣3}）﹣g （x）≥1对任意的x＞0恒成立，试求实数m的取值范围．
参考答案：
考点：反函数；函数的图象与图象变化．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）根据题意，把点A的坐标代入函数y=f（x）中，求出k的值，得f（x），从而求出y=f1（x）；
（2）根据图象平移，得函数y=g（x）的解析式，化简不等式2f1（x+﹣3}）﹣g（x）≥1，利用函数的性质，结合分离常数法，即可求出关于m的不等式的解集．
解答：（1）∵函数f（x）=3x+k（k为常数），
且A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点；
∴32+k=﹣2k，
解得k=﹣3；
∴f（x）=3x﹣3，
∴函数y=f1（x）=log3（x+3）；
（2）将y=f1（x）=log3（x+3）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，
∴y=g（x）=log3x；
∵2f1（x+﹣3）﹣g（x）≥1，
即2log3（x+﹣3+3）﹣log3x≥1，
∴log3≥1；
即≥3对任意的x＞0恒成立，
∴x+≥3，
即2+m≥（3﹣x）x；
∵x＞0，设函数t=（3﹣x）x，
∴t=﹣x2+3x=﹣+≤；
∴m+2≥，
解得m≥﹣；
∴实数m的取值范围[﹣，+∞）．
点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用分离常数法求函数最值的问题，考查了解不等式的问题，是综合性题目．
22. （14分）如图，已知圆O：x2+y2=64分别与x轴、y轴的正半轴交于点A、B，直线l：y=kx﹣k+2分别于x轴、y轴的正半轴交于点N、M．
（Ⅰ）求证：直线l恒过定点，并求出定点P的坐标；
（Ⅱ）求证：直线l与圆O恒有两个不同的交点；
（Ⅲ）求当M、N恒在圆O内部时，试求四边形ABMN面积S的最大值及此时直线l的方程．
参考答案：
考点：直线与圆相交的性质．
专题：综合题；直线与圆．
分析：（Ⅰ）直线l：y=kx﹣k+2，变形为y﹣2=k（x﹣1），利用点斜式，可得直线l恒过定点P （1，2）；
（Ⅱ）证明|OP|=＜8，可得P在圆O内，即可证明直线l与圆O恒有两个不同的交点；（Ⅲ）由M、N恒在圆O内部，可得﹣6＜k＜﹣．S ABMN=﹣（2﹣k）（1﹣）=30+
（k+），利用﹣6＜k＜﹣2，函数单调递增，﹣2＜k＜﹣函数单调递减，即可求四边形ABMN面积S 的最大值及此时直线l的方程．
解答：（Ⅰ）证明：直线l：y=kx﹣k+2，变形为y﹣2=k（x﹣1），
由题意x=1且y=2，
所以直线l恒过定点P（1，2）；
（Ⅱ）证明：圆O：x2+y2=64的圆心为（0，0），半径为8，
因为|OP|=＜8，所以P在圆O内，
所以直线l与圆O恒有两个不同的交点；
（Ⅲ）由题意，A（8，0），B（0，8），M（0，2﹣k），N（1﹣，0），
因为M、N恒在圆O内部，所以﹣6＜k＜﹣．
所以S ABMN=﹣（2﹣k）（1﹣）=30+（k+），
因为﹣6＜k＜﹣2，函数单调递增，﹣2＜k＜﹣函数单调递减，
所以k=﹣2时，四边形ABMN面积S的最大值为28，此时直线l的方程为2x+y﹣4=0．
点评：本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。