高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案-人教版高三全册数学

第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
考纲要求
考情分析 命题趋势 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌
握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
2016·四川卷，9 2015·全国卷Ⅰ，
20(1) 直线的斜率、直线的方程是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导数的几
何意义、线性规划等相关知识综合考查.
分值：3～5分
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l __向上方向__之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴__平行或重合__时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l 倾斜角的范围是__[0，π)__. 2．直线的斜率
(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝__tan_θ__.
(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝__y 2－y 1
x 2－x 1
__. 3．直线方程的五种形式 名
称 条件
方程
适用范围 点斜式 斜率k 与点(x 0，
y 0) __y －y 0＝k (x －
x 0)__
不含直线x ＝x 0
斜
截式 斜率k 与截距b
__y ＝kx ＋b __
不含垂直于x 轴的直线 两点式
两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)
__y －y 1y 2－y 1＝
x －x 1x 2－x 1
不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2)
__
截
距式
截距a与b __
x
a
＋
y
b
＝1__
不含垂直于坐标轴和过
原点的直线
一
般式
—
__Ax＋By＋C＝
0(A2＋B2≠0)__
平面直角坐标系内的直
线都适用
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ×)
(3)当直线l1和l2斜率都存在时，若k1＝k2，则l1∥l2.( ×)
(4)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程．( ×)
(5)任何直线方程都能写成一般形式．( √)
解析(1)正确．直线的倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度，不能确定直线的位置．
(2)错误．当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在．
(3)错误．当k1＝k2时，两直线可能平行，也可能重合．
(4)错误．当直线与x轴垂直(斜率不存在)时，不能用点斜式方程表示．
(5)正确．无论依据哪种形式求解，最后直线方程都能写成一般形式．
2．直线x＋3y＋m＝0(m∈R)的倾斜角为( C)
A．30°B．60°
C．150°D．120°
解析由k＝tan α＝－
3
3
，α∈[0°，180°)得α＝150°.
3．已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－
3
4
，则直线l的方程为( A)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
解析由y－5＝－
3
4
(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
4．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( A)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析 由1＝4－m
m ＋2
，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.
5．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__4__. 解析 k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －3
5－4
＝a －3.
由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.
一 直线的倾斜角与斜率
由斜率求倾斜角的范围的注意点
直线的倾斜角范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求
倾斜角的范围时，要分k ≥0与k <0两种情况讨论．当斜率k ∈[0，＋∞)时，α∈⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π2；
当斜率k ∈(－∞，0)时，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π；当斜率不存在时，α＝π2.
【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( B )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2
D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，2π3
(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__(－∞，－3]∪[1，＋∞)__.
解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，
因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π3. (2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－0
0－1
＝－3，
∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
二 直线方程的求法
求直线方程的注意点
(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在．
(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．
【例2】 根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为
1010
； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5. 解析 (1)设倾斜角为α，则sin α＝
10
10
(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1
3.
故所求直线方程为y ＝±1
3(x ＋4)．
即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋
y
12－a
＝1，
又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋4
12－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.
故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0； (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；
当斜率存在时，设为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.
由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝3
4.
故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.
三 直线方程的综合应用
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能
够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
【例3】 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．
解析 依题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，
且有A ⎝
⎛⎭
⎪⎫3－2k
，0，B (0,2－3k )，
∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k )
≥12⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝1
2×(12＋12) ＝12.
当且仅当－9k ＝
4－k ，即k ＝－2
3
时，等号成立， 即△ABO 的面积的最小值为12. 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.
1．直线x ＋(a 2
＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( B )
A ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4
B ．⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫3π4，π
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π 解析 直线的斜截式方程为y ＝－1a 2
＋1x －1
a 2＋1
， 所以斜率tan α＝－
1a 2
＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π
4
≤α<π， 即倾斜角的取值范围是⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫3π4，π.故选B ．
2．与直线x ＋3y －1＝0垂直的直线的倾斜角为__π
3__.
解析 直线x ＋3y －1＝0的斜率为－
33
，
所以与其垂直的直线的斜率k ＝3，故所求直线的倾斜角为π
3
.
3．当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为__2
4
__.
解析 因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝
2k
k 2
＋2
， 所以两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1
k ＋
2
k
.
又因为k >0，所以k ＋2
k
≥2
k ·2
k
＝22，
故三角形面积的最大值为
24
. 4．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为__1
2
__.
解析 直线方程可化为x
2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)．
由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2
－2b )b ＝－2b 2
＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12
.
由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值1
2
.
易错点 忽略直线方程的适用范围
错因分析：当使用直线方程协助解题时，如果不能确定直线是否与x 轴垂直，则需要讨论．
【例1】 已知圆M ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝4，直线a 过点C (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且||AB ＝23，求直线a 的方程．
解析 ∵圆M 的半径r ＝2，||AB ＝23， ∴圆心M (1,1)到直线a 的距离为1. 当直线a 垂直于x 轴时，符合题意．
当直线a 不垂直于x 轴时，
设其方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋(3－2k )＝0， ∴
||
k －1＋3－2k k 2＋1
＝1，∴k ＝3
4
，
∴y －3＝3
4
(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.
综上可知，直线a 的方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.
【跟踪训练1】 过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0__.
解析 当直线过原点时，直线方程为y ＝－5
3
x ，即5x ＋3y ＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y
－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，
即直线方程为x －y ＋8＝0.
课时达标 第46讲
[解密考纲]考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查．
一、选择题
1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( C )
A ．[0，π)
B ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π4，π2 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4
D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2
，3π4
解析 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π
2；
当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1
cos θ.
∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢
⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，3π4.
由上知，倾斜角的范围是⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π4
，3π4，故选C ．
2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )
A ．k 1<k 2<k 3
B ．k 3<k 1<k 2
C ．k 3<k 2<k 1
D ．k 1<k 3<k 2
解析 直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且a 2＞a 3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D ．
3．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( A ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)
D ．(－1，－2)
解析 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．
4．(2018·浙江嘉兴模拟)如果AC <0，且BC <0，那么直线 Ax ＋By ＋C ＝0不通过( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析 直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B
＞0，所以，直线不通过第三象限．
5．将直线l 沿x 轴的负方向平移a (a >0)个单位，再沿y 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l ′，此时直线l ′与l 重合，则直线l ′的斜率为( D )
A ．
a
a ＋1
B ．－
a
a ＋1
C ．
a ＋1
a
D ．－
a ＋1
a
解析 设P (x ，y )是l 上任意一点，由题意知Q (x －a ，y ＋a ＋1)也在直线l 上，所以l 的斜率为k PQ ＝
a ＋1
－a
，故选D ． 6．设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线 ax ＋y ＋2 ＝ 0 与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( B )
A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－52，43 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫52，＋∞ 解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝－4
3，
由图可知－a ＞－52且－a ＜43，∴a ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43，52.
二、填空题
7．(2018·黑龙江哈尔滨模拟)一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0__.
解析 设所求直线的方程为x a ＋y b
＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2
b
＝1，①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴1
2
|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＝1，
ab ＝2或(2)⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＝－1，
ab ＝－2.
由(1)解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－2，
方程组(2)无解．
故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y
－2＝1，
即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．
8．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是__3__.
解析 ∵直线AB 的方程为x 3＋y
4＝1，
易知x ＞0，y ＞0时xy 才能取最大值， ∴1＝x 3＋y
4
≥2
|xy |
12
，∴|xy |≤3，∴(xy )max ＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即当P 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 9．若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为__16__. 解析 根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b
＝1， 又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2
b
＝1，
所以－2(a ＋b )＝ab .
又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，
当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16. 三、解答题
10．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．
解析 设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x B 2＝3，
y ＋y
B
2＝0，
则点B (6－x ，－y )，
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －y －2＝0，
(6－x )＋(－y )＋3＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝113，y ＝16
3，
则k ＝16
3－0113
－3＝8.
故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 11．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；
(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
解析 (1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .
①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)．
∴直线的方程为y ＝43
x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1，
又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a
＝1，∴a ＝7. ∴直线的方程为x ＋y －7＝0.
综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.
(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．
所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.
12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．
(1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．
解析 (1)证明：直线l 的方程是
k (x ＋2)＋(1－y )＝0，
令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1，
故无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k
，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k ＞0；当k ＝0时，直线
为y ＝1，符合题意，故k ≥0.即k 的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.
∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
等号成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12
， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。