七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元 期末复习专题强化试卷学能测试

七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元 期末复习专题强化试卷
学能测试
一、选择题
1．二元一次方程组2
2
x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是（ ）
A ．0
2
x y =⎧⎨
=-⎩
B ．0
2
x y =⎧⎨
=⎩
C ．2
x y =⎧⎨
=⎩
D ．2
x y =-⎧⎨
=⎩
2．已知∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（ ）
A ．18030x y x y +=⎧⎨=-⎩
B ．180+30x y x y +=⎧⎨=⎩
C ．9030x y x y +=⎧⎨=-⎩
D ．90
+30x y x y +=⎧⎨=⎩
3．甲、乙两人练习跑步，如果让甲先跑10m ，那么乙跑5s 就追上了甲；如果让甲先跑
2s ，那么乙跑4s 就追上了甲，求甲、乙两人的速度．若设甲、乙两人的速度分别为 /, /x m s y m s ，则下列方程组中正确的是（ ）
A ．()()510422x y x y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
B ．5105442y x
y x x =+⎧⎨-=⎩
C ．()5510
42x y x y y -=⎧⎨-=⎩
D ．5510
424x y x y =+⎧⎨
-=⎩
4．将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的零钱，兑换方案有（ ）
A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．7种
5．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A ．(5，44)
B ．(4，44)
C ．(4，45)
D ．(5，45)
6．小明出门时身上带了100元，下表记录了他今天所有支出，其中饮料与饼干支出的金额被涂黑．若每瓶饮料5元，每包饼干8元，则小明不可能．．．
剩下多少元？( )
A ．4
B ．15
C ．22
D ．44
7．阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号
a b c d
称为22⨯阶行列式，并且规
定：
a b a d b c c d
=⨯-⨯，例如：
32
3(2)2(1)62412
=⨯--⨯-=-+=---.二元一次
方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为：x y D x D
D y D
⎧=⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
；其中1122a b D a b =
，1122x c b D c b =，1
1
22
y
a c D a c =.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组21
3212x y x y +=⎧⎨
-=⎩
时，下面说法错误的是（ ）
A ．2
1732
D =
=-- B ．14x D =-
C ．27y
D =
D ．方程组的解为
2
3x y =⎧⎨=-⎩
8．方程组
的解的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．解方程组229
229232x y y z z x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
得x 等于( )
A ．18
B ．11
C ．10
D ．9
10．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，根据题意列方程组正确的是( ) A ． 4.512
x y y x
B ． 4.51
2
x y y
x
C ．
4.5
12
x
y x y
D ．
4.512
x
y
y x
二、填空题
11．已知关于x ，y 的二元一次方程()()12120m x m
y m +++=﹣﹣，无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．
12．方程组2
510
36
238
x y z x z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩__________________三元一次方程组（填“是”或“不是”）．
13．商场购进A 、B 、C 三种商品各100件、112件、60 件，分别按照25%、40%、60%的利润进行标价,其中商品C 的标价为80元,为了促销,商场举行优惠活动:如果同时购买A 、B 商品各两件,就免费获赠三件C 商品.这个优惠活动实际上相当于这七件商品一起打了七五折.那么，商场购进这三种商品一共花了______元．.
14．某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg ，500kg ，400kg ，总平均亩产量为450kg ，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了20%，甲、丙两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为_____． 15．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A 、B 、C 类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A 类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B 类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C 类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了_____件．
16．已知点 C 、D 是线段AB 上两点（不与端点A 、B 重合），点A 、B 、C 、D 四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB 的长度为__________________ . 17．历代数学家称《九章算术》为“算经之首”.书中有这样一道题的记载，译文为：今有5只雀、6只燕，分别聚集在一起称重，称得雀重，燕轻．若将一只雀、一只燕交换位置，则重量相等；将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设雀每只重x 斤，燕每只重y 斤，则可列方程组为________________ 18．中国古代著名的《算法统宗》中有这样一个问题:“只闻隔壁客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”大意为:“一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两;若每人分九两，则还差八两，问共有多少人?所分银子共有多少两?”(注:当时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语)设共有x 人，所分银子共有y 两，则所列方程组为_____________
19．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2
4
x y =⎧⎨
=⎩和
2
4
x y =-⎧⎨
=-⎩，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）．
20．有甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，则甲堆原来有____个苹果．
三、解答题
21．阅读材料：对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为()F n ．例如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213321132666++=，6661116÷=，所以
(123)6F =．
（1）计算：(134)F ；
（2）若s ，t 都是“相异数”，其中10025s x =+，360t y =+（19x ≤≤，
19y ≤≤，x ，y 都是正整数），当()()20F s F t +=时，求s
t
的值．
22．[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组253(1)
4115(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程(2)变形：4105x y y ++=，
即()2255(3)x y y ++=，
把方程(1)代入(3)得：235y ⨯+=， 所以1y =-，
将1y =-代入(1)得4x =， 所以原方程组的解为4
1
x y =⎧⎨=-⎩．
[解决问题]
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组325
9419x y x y -=⎧⎨-=⎩
，
（2）已知x ，y 满足方程组2222
321250425
x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩，求22
4x y +的值． 23．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,2n P m +⎛⎫- ⎪⎝
⎭为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；
（3）已知P、Q为有理数，且关于x、y
的方程组
3
x y q
x y q
⎧+=+
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
解为坐标的点
(),
B x y是“爱心点”，求p、q的值．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a,a），点B的坐标（b,c），且
a、b、c满足
346
24 a b c
a b c
+-=
⎧
⎨
-+=-⎩
.
(1)若a没有平方根，判断点A在第几象限并说明理由.
(2)连AB、OA、OB，若△OAB的面积大于5而小于8，求a的取值范围；
(3)若两个动点M（2m,3m-5），N(n-1,-2n-3)，请你探索是否存在以两个动点M、N为端点的线段MN∥AB，且MN=AB．若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由.
25．方程组
1
327
x y
x y
+=-
⎧
-=
⎨
⎩
的解满足210(
x ky k
-=是常数)，
()1求k的值．
()2直接写出关于x，y的方程()1213
k x y
-+=的正整数解
26．甲、乙两人共同解方程组
515
42
ax y
x by
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
①
②
．解题时由于甲看错了方程①中的a，得
到方程组的解为
3
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
；乙看错了方程②中的b，得到方程组的
5
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，试计算
a2017+(
1
10
-b)2018的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
分析：方程组利用加减消元法求出解即可．
详解：
2
2
x y
x y
+
⎧
⎨
--
⎩
＝①
＝②
，
①+②得：2x=0， 解得：x=0，
把x=0代入①得：y=2，
则方程组的解为0
2x y ⎧⎨⎩
＝＝， 故选B ．
点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．D
解析：D 【解析】
试题解析：∠A 比∠B 大30°， 则有x=y+30， ∠A ，∠B 互余， 则有x+y=90． 故选D ．
3．B
解析：B 【分析】
本题有两个相等关系：如果让甲先跑10m ，那么乙跑5s 就追上了甲；如果让甲先跑2s ，那么乙跑4s 就追上了甲，然后根据追及问题的特点“两者路程相等”即可列出方程组． 【详解】
解：设甲、乙两人的速度分别为
/, /x m s y m s ，根据题意得：5105442y x
y x x
=+⎧⎨-=⎩．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用之行程问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
4．C
解析：C 【分析】
设可以兑换m 张5元的零钱，n 张2元的零钱，根据零钱的总和为50元，即可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为非负整数，即可得出结论． 【详解】
设可以兑换m 张5元的零钱，n 张2元的零钱， 依题意，得：5m+2n ＝50， ∴m ＝10﹣
2
5
n ．
∵m ，n 均为非负整数， ∴当n ＝0时，m ＝10； 当n ＝5时，m ＝8； 当n ＝10时，m ＝6； 当n ＝15时，m ＝4； 当n ＝20时，m ＝2； 当n ＝25时，m ＝0． ∴共有6种兑换方案． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
5．B
解析：B 【分析】
根据跳蚤运动的速度确定：(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第2
25(5)次，到(0,6)是第48(68)次，
依此类推，到(0,45)是第2025次，后退5次可得2020次所对应的坐标． 【详解】
解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第
8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第225(5)次，到
(0,6)第48(68)次，依此类推，到(0,45)是第2025次．
202514
2020，
故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是(4,44)． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
6．C
解析：C 【分析】
设买了x 瓶饮料，y 盒饼干，求出买三餐所剩的钱数，对四个选项分别讨论，得到买饮料、饼干的总钱数，列出关于,x y 二元一次方程，若这个方程有自然数解，则可能，反之，不可能. 【详解】
解：设买了x 瓶饮料，y 盒饼干，,x y 为自然数， 买三餐还剩100-10-15-18=57元
A. 若剩4元，则 58574x y +=-，有整数解9,1x y ==；
B. 若剩15元，则 585715x y +=-，有整数解2,4x y ==；
C. 若剩22元，则 585722x y +=-，无整数解；
D. 若剩44元，则 585744x y +=-，有整数解1,1x y ==； 故选：C. 【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，列出二元一次方程，把问题转化为二元一次方程的整数解的问题.
7．C
解析：C 【解析】
【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得. 【详解】A 、D=
21
32
-=2×（-2）-3×1=﹣7，故A 选项正确，不符合题意；
B 、D x =
11122-=﹣2﹣1×12=﹣14，故B 选项正确，不符合题意；
C 、
D y =
2
1
312
=2×12﹣1×3=21，故C 选项不正确，符合题意；
D 、方程组的解：x=14
7x D D -=-=2，y=217
y D D =-=﹣3，故D 选项正确，不符合题意， 故选C ．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.
8．A
解析：A
【解析】解：当x ＞0，y ＞0时，方程组变形得：，无解；
当x ＞0，y ＜0时，方程组变形得：，
①+②得：2x=14，即x=7， ②﹣①得：2y=﹣6，即y=﹣3， 则方程组的解为
；
当x ＜0，y ＞0时，方程组变形得：
， ①+②得：﹣2y=14，即y=﹣7＜0，不合题意，舍去， 把y=﹣7代入②得：x=﹣3， 此时方程组无解；
当x ＜0，y ＜0时，方程组变形得：，无解，
综上，方程组的解个数是1， 故选A
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
利用加减消元法解方程组即可． 【详解】
229229232x y y z z x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
①②③， ①+②+③得： 3x+3y+3z=90． ∴x+y+z=30 ④ ②-①得： y+z-2x=0 ⑤ ④-⑤得： 3x=30 ∴x=10 故答案选：C ． 【点睛】
本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．
10．A
解析：A 【分析】
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得： 4.5x y ；绳
子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：1
2
y x ；组成方程
组即可． 【详解】
解：如果设木条长x 尺，绳子长y 尺， 根据题意得： 4.512
x y
y x ．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找出等量关系是解题的关键．二、填空题
11．【分析】
将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y 的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
将（m+1）
解析：
1
1 x
y
=-⎧
⎨
=⎩
【分析】
将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，
所以
210
20
x y
x y
+-=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得：
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
故答案为：
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
【点睛】
考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．
12．是
【分析】
根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可．
【详解】
解：如果方程组中含有三
解析：是
【分析】
根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个
未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可．
【详解】
解：如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组． 所以251036238
x y z x z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩是三元一次方程组； 故填：是．
【点睛】
本题主要考查三元一次方程组的定义．
13．31800
【分析】
先求出商品的进价为50元．再设商品、的进价分别为元，元，表示出商品的标价为，商品的标价为元，根据“如果同时购买、商品各两件，就免费获赠三件商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五
解析：31800
【分析】
先求出商品C 的进价为50元．再设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，表示出商品A 的标价为54
x ，商品B 的标价为75y 元，根据“如果同时购买A 、B 商品各两件，就免费获赠三件C 商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五件商品各打七五折”列出方程，进而求出1001126050x y ++⨯的值．
【详解】
解：由题意，可得商品C 的进价为：80(160%)50÷+=（元)．
设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，则商品A 的标价为5(125%)4
x x +=（元)，商品B 的标价为7(140%)5
y y +=（元)， 由题意，得57572()[2()380]0.754545
x y x y +=++⨯⨯， ∴5736045
x y +=，
5710011280()803602880045x y x y ∴+=+=⨯=， 100112605031800x y ∴++⨯=（元)．
答：商场购进这三种商品一共花了31800元．
故答案为：31800．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，分别表示出商
品A 与商品B 的标价，找到等量关系列出方程是解题的关键．本题虽然设了两个未知数，但是题目只有一个等量关系，根据问题可知不需要求出x 与y 的具体值，这是本题的难点．
14．15%
【分析】
设甲、乙、丙三种水稻各种植了a 亩，b 亩，c 亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x ，根据题意列出方程组进行解答便可．
【详解】
解：设甲、乙、丙三种水稻各种植了a 亩，b 亩，c 亩，乙种水稻
解析：15%
【分析】
设甲、乙、丙三种水稻各种植了a 亩，b 亩，c 亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x ，根据题意列出方程组进行解答便可．
【详解】
解：设甲、乙、丙三种水稻各种植了a 亩，b 亩，c 亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x ，根据题意得，
300500400450()4003004
300(130%)500(1)400(130%)450()(120%)a b c a b c c a a b x c a b c ++=++⎧⎪=⋅⎨⎪+++++=+++⎩
， 化简得30(1)2(2)501542(3)a b c c a bx a b c -+=⎧⎪=⎨⎪=++⎩
，
把（2）代入（1）得，b ＝6a （4），
把（2）和（4）都代入（3）得，300ax ＝15a +24a +6a ，
∴x ＝15%，
故答案为15%．
【点睛】
本题主要考查了方程组解应用题，关键是读懂题意正确列出方程组．
15．14600
【分析】
根据题意，可以先设A 类组合x 个，B 类组合y 个，C 类组合z 个，然后根据题意可以列出三元一次方程组，从而可以得到x 、z 与y 的关系，然后即可求得需要防寒服多少件，本题得以解决．
【详
解析：14600
【分析】
根据题意，可以先设A 类组合x 个，B 类组合y 个，C 类组合z 个，然后根据题意可以列出
三元一次方程组，从而可以得到x 、z 与y 的关系，然后即可求得需要防寒服多少件，本题得以解决．
【详解】
解：设A 类组合x 个，B 类组合y 个，C 类组合z 个，
6040401160050507500x y z x ++=⎧⎨+=⎩
， 化简，得
28022130x y z y =-⎧⎨=-⎩
， ∴需要的防寒服为：80x +40y +60z ＝80（280﹣2y ）+40y +60（2y ﹣130）＝22400﹣160y +40y +120y ﹣7800＝14600，
故答案为：14600．
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的三元一次方程组，利用方程的知识解答．
16．8或9
【分析】
根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC 、CD 、DB ，AD 、BC 、AB ，然后根据所有线段的和为29可得关于AB 、CD 的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD 利
解析：8或9
【分析】
根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC 、CD 、DB ，AD 、BC 、AB ，然后根据所有线段的和为29可得关于AB 、CD 的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD 利用二元一次方程的解的概念进行求解即可.
【详解】
如图，图中共有线段6条，分别为AC 、CD 、DB ，AD 、BC 、AB ，
由题意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29，
∵AC+CD+DB=AB ，AD=AC+CD ，BC=CD+DB ，
∴3AB+CD=29，
又∵所有线段的长度都是正整数，AB>CD ，
∴AB=8，CD=5或AB=9，CD=2，
即AB 的长度为8或9，
故答案为：8或9.
【点睛】
本题考查了线段的和差，二元一次方程的正整数解等知识，正确画出图形，熟练掌握和灵
活运用相关知识是解题的关键.
17．【分析】
设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【详解】
解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，
【
解析：
45
561 x y y x
x y
+=+⎧
⎨
+=
⎩
【分析】
设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【详解】
解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，
45
561 x y y x
x y
+=+⎧
⎨
+=
⎩
【点睛】
本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
18．【解析】
【分析】
题中涉及两个未知数：共有x人，所分银子共有y两；两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；列出二元一次方程组即可. 【详解】
两组条件：每人分七两，则剩余四两；
解析：
74
98
x y x y
+=⎧
⎨
-=⎩
【解析】
【分析】
题中涉及两个未知数：共有x人，所分银子共有y两；两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；列出二元一次方程组即可.
【详解】
两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；
解：
74
98
x y x y
+=⎧
⎨
-=⎩
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系，列方程组是解答本题的关键. 19．【分析】
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可.
【详解】
解：根据方程组的解可看出：xy=8，y=2x ，
∴符合要求的方程组为.
解析：28y x xy =⎧⎨=⎩
【分析】
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可.
【详解】
解：根据方程组的解可看出：xy =8，y =2x ，
∴符合要求的方程组为28y x xy =⎧⎨=⎩
. 【点睛】
根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系（和差关系或倍数关系等）来表示方程组的解.
20．【分析】
可设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙
解析：【分析】
可设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，列出方程即可求解．
【详解】
解：设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，依题意有 ()432x y z x y x y y y z z z x y ++=⎧⎨-+-=+-=+--⎩
， 解得19812688x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
．
故甲堆原来有198个苹果．
故答案为：198．
【点睛】
考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
三、解答题
21．（1）(134)8F =；（2）
325361
s t =． 【分析】
（1）由题意直接根据()F n 的定义把“相异数”任意两个数位上的数字对调后得到的三个不同的新三位数进行代入计算即可；
（2）根据题意由“相异数”的定义进行分析，并根据()F n 的定义求出()F s 和()F t ，进而依据()()20F s F t +=建立不定方程进行分析即可求解．
【详解】
解：（1）(134)(314431143)1118F =++÷=；
（2）∵s ，t 都是“相异数”，10025s x =+，360t y =+，
∴()(2051052010052)1117F s x x x x =+++++÷=+， ()(6301006330610)1119F t y y y y =+++++÷=+．
∵()()20F s F t +=，
∴791620x y x y +++=++=，
∴4x y +=，
∵19x ≤≤，19y ≤≤，且x ，y 都是正整数，
13x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩
，31x y =⎧⎨=⎩ ∵s 是“相异数”，
∴2x ≠，5x ≠．
∵t 是“相异数”，
∴3y ≠，6y ≠．
∴31x y =⎧⎨=⎩
是符合条件的解 ∴100325325s =⨯+=，3601361t =+= ∴
325361
s t =． 【点睛】 本题属于材料阅读题，考查代数以及二元一次方程中不定方程的应用，读懂题干所给的定义和分析解决二元一次方程是解题的关键．
22．（1）原方程组的解为32
x y =⎧⎨=⎩；（2）22420x y += 【分析】
（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．
【详解】
解：()13259419x y x y -=⎧⎨-=⎩
①② 将方程②变形得:()332219x y y -+=③
把方程①代入③得:35219y ⨯+=，
所以2,y =
将2y =代入①得3x =，
所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩
； ()22222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩
①②， 把方程①变形，得到223(4)550x xy y xy ++-=③，
然后把②代入③，得325550xy ⨯-=，
∴5xy =，
∴22425520x y +=-=；
【点睛】
本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．
23．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23
- 【分析】
（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，
22n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；
（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，22
n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；
（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根
据p，q为有理数，即可求出p、q的值．【详解】
解：（1）A点为“爱心点”，理由如下：
当A（5，3）时，m﹣1＝5，
2
2
n+
＝3，
解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，
2
2
n+
＝8，
解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a，
2
2
n+
＝﹣4，
解得：m＝a+1，n＝﹣10．
代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B（4，b）是“爱心点”，
同理可得m＝5，n＝2b﹣2，
代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．
所以点B坐标为（4，2）．
∴A、B两点的中点C坐标为（
2442
,
22
-+-+
），即（1，﹣1），在第四象限．
（3）解关于x，y
的方程组
3
x y q
x y q
⎧+=+
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，
得：
2
x q
y q
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
．
∵点B（x，y）是“爱心点”，
∴m﹣1
﹣q，
2
2
n+
＝2q，
解得：m
﹣q+1，n＝4q﹣2．
代入2m＝8+n，得：
﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得
﹣6q＝4．
∵p，q为有理数，若使
p﹣6q结果为有理数4，
则P＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣2
3
．
所以P＝0，q＝﹣2
3
．
【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
24．（1）第三象限；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的意义得到a ＜0，然后根据各象限点的坐标点的特征可判断点A 在第三
象限；（2）先利用方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩
，用a 表示b 、c ，得b=2+a.c=a, 则B 点的坐标为（2+a ，a ）,故AB //x 轴，AB=|2+a-a|=2，故11|y |2||||22
OAB B S AB a a =⨯⨯=⨯⨯= 由若△OAB 的面积大于5而小于8，可得5||8a <<计算即可得a 的取值范围；
（3）由AB //x 轴即MN ∥AB 可得MN ∥x 轴，则M 、N 的y 坐标，以及MN=AB =2，可得方程组解得m 、n 的值，即可得出结论；
【详解】
（1）∵a 没有平方根，
∴a ＜0，
∴点A 在第三象限；
（2）解方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩
用a 表示b 、c ，得2b a c a =+⎧⎨
=⎩ ∵点B 坐标为（b ，c ）
∴点B 坐标为（2+a ，a ）
∵点A 的坐标为（a ，a ）
∴AB =|2+a-a|=2，AB 与x 轴平行 ∴11|y |2||||22
OAB B S
AB a a =⨯⨯=⨯⨯= ∵△OAB 的面积大于5而小于8，
∴5||8a << 解得：58a <<或85a -<<-
(3) ∵AB ∥x 轴
又∵MN ∥AB
∴MN ∥x 轴
∵M(2m, 3m-5) N(n-1, -2n-3), MN=AB=2 ∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩
∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩ 3523122m n n m -=--⎧⎨--=-⎩
∴47137m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或4717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴847647,,7774M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 或823623,,777
7M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，平方根，解三元一次方程组，三角形的面积，解不等式，审清题意，能灵活运用各个知识点之间的联系是解决的关键.
25．（1）4k =；（2）{15x y ==，{32x y ==
【解析】
【分析】
(1)先求出方程组的解，再代入方程210x ky -=，即可求出k 值；(2)把k 的值代入方程(k-
1)x+2y=13，再求出正整数解即可．
【详解】
() 1方程组1327x y x y +=-⎧-=⎨⎩的解为：{
12x y ==-， 将{1
2x y ==-代入210x ky -=得：2210k +=，
解得：4k =； ()2把4k =代入方程()1213k x y -+=得：3213x y +=， 即1332
x y -=， 所以关于x ，y 的方程()1213k x y -+=的正整数解为{15x y ==，{32x y ==．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程和解二元一次方程，能求出k 的值是解此题的关键．
26．0
【解析】
分析: 把甲的结果代入②求出b 的值，把乙的结果代入①求出a 的值，代入原式计算即可得到结果.
详解:
根据题意，将31x y =-⎧⎨=-⎩代入②，将54x y =⎧⎨=⎩
代入①得： 12252015b a -+=-⎧⎨+=⎩
解得：110a b =-⎧⎨=⎩
， 则原式=（-1）2017+（110
-×10）2018=-1+1=0． 点睛: 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.。