勾股定理单元 易错题测试综合卷学能测试试卷

一、选择题
1．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：
①BD =CE ，
②BD ⊥CE ，
③∠ACE +∠DBC=30°，
④()2222BE AD AB =+．
其中，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 2．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）
A ．29cm
B ．5cm
C ．37cm
D ．4.5cm
3．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）
A ．25394+
B ．25392+
C ．18253+
D ．3182
+ 4．若△ABC 中，AB=AC=25BC=4，则△ABC 的面积为（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D 5 5．下列说法不能得到直角三角形的（ ）
A．三个角度之比为 1：2：3 的三角形B．三个边长之比为 3：4：5 的三角形C．三个边长之比为 8：16：17 的三角形D．三个角度之比为 1：1：2 的三角形
6．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）
A．5 B．7C．5D．5或7
7．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）
A．3 B．5 C．4.2 D．4
8．已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则BE的长是（）
A．7
2
B．
7
4
C．
25
4
D．
15
4
9．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝1，BD⊥BC，BD＝BC，CF平分∠BCD交BD、AD于E、F，则EDC的面积为（）
A．2 2 B．2﹣2 C．22D2﹣1
10．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )
A．6，8，10 B．5，12，13 C．3，5，6 D235二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形内一动点P使得S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，则
点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____．
12．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．
13．在ABC ∆中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ∆的面积为______2cm ．
14．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．
15．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.
16．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，D 是BC 边上的一点，BD =2，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________．
17．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)
①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°
18．如图，在△ABC 中，AB =AC ＝10，BC ＝12，AD 是角平分线，P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．
19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．
20．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.
三、解答题
21．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．
（1）当2t =秒时，求PQ 的长；
（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？
（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
22．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．
（2）求证：BED CDF △≌△．
（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．
23．已知a ，b ，c 88
a a -+-＝|c ﹣17|+
b 2﹣30b +225，
（1）求a ，b ，c 的值； （2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
24．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?
（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
25．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .
（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；
（2）设,BC m AC n ==
①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.
②若线段2AD EC =，求m n
的值.
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．
（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；
（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．
27．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
28．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动，到达点B 时运动停止．
（1）设点P 运动时间为t ，△BPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当点P 运动到线段CB 上时（如图2），将矩形OACB 沿OP 折叠，顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置，求此时点P 坐标；
（3）在点P 运动过程中，是否存在△BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．
（1）如图1，求∠BGD 的度数；
（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；
（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝3ABCD 的面积．
30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；
②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
【详解】
解：如图，
① ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，
即∠BAD=∠CAE ，
∵在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD=CE ，
故①正确；
②∵△BAD ≌△CAE ，
∴∠ABD=∠ACE ，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠BDC=90°，
∴BD ⊥CE ，
故②正确；
③∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，
故③错误；
④∵BD ⊥CE ，
∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，
∵△ADE 为等腰直角三角形，
∴AE=AD ，
∴DE 2=2AD 2，
∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，
在Rt △BDC 中，BD BC <，
而BC 2=2AB 2，
∴BD 2<2AB 2，
∴()2222BE AD AB
<+
故④错误，
综上，正确的个数为2个．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2．B
解析：B
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA '，A C ''，C B ''，B B '剪开，得图1:
22222(21)425AB AB BB '=+'=++=；
（2）沿AC ，CC '，C B ''，B D ''，D A ''，A A '剪开，得图2:
222222(41)42529AB AC B C '=+'=++=+=；
（3）沿AD ，'DD ，B D ''，C B ''，C A ''，AA '剪开，得图3:
222221(42)13637AB AD B D '=+'=++=+=；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以225AB '=，即5cm AB '=．
故选：B ．
此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．
3．A
解析：A
【解析】
分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得
BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
详解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=1
2AP=
3
2
，PF=3AP=33
2
．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+33
2）2+（3
2
）2=25+123．
则△ABC的面积是
3
4
•AB2=
3
4
•（25+12）
253
故选A．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
解析：B
【分析】
作AD ⊥BC ，则D 为BC 的中点，即BD=DC=2，根据勾股定理可以求得AD ，则根据S=12
×BC×AD 可以求得△ABC 的面积． 【详解】
解：作AD ⊥BC ，则D 为BC 的中点，
则BD=DC=2，
∵AB=2522AB BD -，
∴△ABC 的面积为S=
12×BC×AD=12
×4×4=8， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，三角形面积的计算，本题中正确的运用勾股定理求AD 是解题的关键． 5．C
解析：C
【分析】
三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.
【详解】
A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222
345x x x +=，是直角三角形；
C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
故选：C
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；
（1）有一个角是直角的三角形；
（2）三边长满足勾股定理逆定理. 6．D
【分析】
分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．
【详解】
当4是直角边时，斜边=2234+=5，
当4是斜边时，另一条直角边=22473-=，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
7．C
解析：C
【分析】
根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．
【详解】
设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，
由勾股定理可得：222=OA OB AB +
即：()2
224=10x x +-，
解得：x ＝4.2
故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．
故答案选：C ．
【点睛】
本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．
8．C
解析：C
【分析】
根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE ，设AE=x ，则BE=x ，CE=8-x ，再在Rt △BCE 中利用勾股定理即可求出BE 的长度．
【详解】
解：∵△ADE 翻折后与△BDE 完全重合，
∴AE ＝BE ，
设AE ＝x ，则BE ＝x ，CE ＝8﹣x ，
在Rt △BCE 中，BE 2＝BC 2+CE 2，
即x 2＝62+（8﹣x ）2，
解得，x ＝
254， ∴BE ＝254
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
9．C
解析：C
【分析】
先过点E 作EG ⊥CD 于G ，再判定△BCD 、△ABD 都是等腰直角三角形，并求得其边长，最后利用等腰直角三角形，求得EG 的长，进而得到△EDC 的面积．
【详解】
解：过点E 作EG ⊥CD 于G ，
又∵CF 平分∠BCD ，BD ⊥BC ，
∴BE ＝GE ，
在Rt △BCE 和Rt △GCE 中
CE CE BE GE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BCE ≌Rt △GCE ，
∴BC ＝GC ，
∵BD ⊥BC ，BD ＝BC ，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴∠BDC ＝45°，
∵AB//CD ，
∴∠ABD ＝45°，
又∵∠A ＝90°，AB ＝1，
∴等腰直角三角形ABD 中，BD
＝BC ，
∴Rt △BDC 中，CD 2，
∴DG ＝DC ﹣GC ＝2
∵△DEG 是等腰直角三角形，
∴EG ＝DG ＝2
，
∴△EDC 的面积＝1
2×DC×EG ＝12
×2×（2）＝2
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形EDG进行求解．10．C
解析：C
【分析】
求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．
【详解】
A、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、
222
235
+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
二、填空题
11．2
【分析】
根据S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关
于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．
【详解】
设△PAD中AD边上的高是h．
∵S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，
∴1
2
AD•h＝
1
3
AD•AB，
∴h＝2
3
AB＝4，
∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，
如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．
在Rt △ADE 中，∵AD ＝8，AE ＝4+4＝8，
DE ＝22228882AE AD +=+= ,
即PA +PD 的最小值为82 ．
故答案82．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．
12．5 【分析】
在直角ABC 中，依据勾股定理求出AC 的长度，再算出BD ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.
【详解】
解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,
∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，
∴22=10AC AB BC +=,
又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =
∴6810BE ⨯=，5BD =,
∴=4.8BE ,
∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒
∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,
∴5AD AE ED =+=.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.
13．36或84
【分析】
过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵BC边上的高为8cm，
∴AD=8cm，
∵AC=17cm，
由勾股定理得：
2222
1086
BD AB AD
=-=-=cm，
2222
17815
CD AC AD
=-=-=cm，
如图1，点D在边BC上时，
BC=BD+CD=6+15=21cm，
∴△ABC的面积=1
2
BC AD=
1
2
×21×8=84cm2，
如图2，点D在CB的延长线上时，BC= CD−BD=15−6=9cm，
∴△ABC的面积=1
2
BC AD=
1
2
×9×8=36 cm2，
综上所述，△ABC的面积为36 cm2或84 cm2，
故答案为：36或84．
【点睛】
本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．
14．10
【分析】
先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝
35，c＝5代入即可求出ab的值．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，
∴a2+b2＝c2，
∴（a+b）2﹣2ab＝c2，
∵a+b＝35，c＝5，
∴（35）2﹣2ab＝52，
∴ab＝10．
故答案为10．
【点睛】
本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.
15．3．
【分析】
作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
如图，作点B关于AD的对称点B′，
由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，
由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=2，
∴3
3
即BM+MN3．
3．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
16．222
【分析】
连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．
【详解】
如图，
连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，
∴2，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是
BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠B=45°，
∵2，
∴2
即2，
∴△PEB的周长的最小值是222．
故答案为2
【点睛】
本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置．
17．①②③
【解析】
【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形，
60ABC ∴∠=，
∵△BQC ≌△BPA ，
∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，
60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=， ∴△BPQ 是等边三角形，①正确.
∴PQ =BP =4，
2222224325,525PQ QC PC +=+===，
222PQ QC PC ∴+=，
90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.
∵△BPQ 是等边三角形，
60PBQ BQP ∴∠=∠=，
∵△BQC ≌△BPA ，
∴∠APB =∠B QC ，
6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.
36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠， 90PQC PQ QC ∠=≠，，
45QPC ∴∠≠，
即135APC ∠≠，④错误.
故答案为①②③.
18．6
【解析】
∵AB=AC ，AD 是角平分线，
∴AD ⊥BC ，BD=CD ，
∴B 点，C 点关于AD 对称，
如图，过C 作CQ ⊥AB 于Q ，交AD 于P ，
则CQ=BP+PQ 的最小值，
根据勾股定理得，AD=8，
利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，
∴CQ=BC AD AB ⋅=12810⨯=9.6
故答案为：9.6.
点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.
19．639+或639- 【分析】
通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG S
S S =-即可求解．
【详解】
①当点D 在H 点上方时，
过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，
12AB = ，点E 是AB 中点，
162
AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，
90AHE ∴∠=︒ ．
30,6A AE ∠=︒=，
132
EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=．
3DE =，
3DH ∴=== ，
DH EH ∴=，3AD AH DH =-=，
45EDH ∴∠=︒，
15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．
由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，
230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，
AEG A ∴∠=∠，
AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，
132
AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ，
12
GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2
223(2)GQ GQ +=，
GQ ∴= ．
2DGF AED AEG S S S =- ，
11
23)36922
DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=； ②当点D 在H 点下方时，
过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，
12AB = ，点E 是AB 中点，
162
AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，
90AHE ∴∠=︒．
30,6A AE ∠=︒= ，
132EH AE ∴=
= ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，
2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，
DH EH ∴=，333AD AH DH =+=，
45DEH ∴∠=︒ ，
90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．
由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，
218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，
AEG A ∴∠=∠，
AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，
132
AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，
12
GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2
223(2)GQ GQ +=，
GQ ∴= ．
2DGF AED AEG S S S =- ，
11
23)36922
DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=，
综上所述，DGF △的面积为9或9．
故答案为：9或9．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键． 20．4913
【解析】
【分析】
如图（见解析），延长AD ，交BC 于点G ，先根据等腰三角形的三线合一性得出AG BC ⊥，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出2345∠+∠=︒，从而得出CDG ∆是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC 、CE 、CF 的长，最后根据线段的和差即可得．
【详解】
如图，延长AD ，交BC 于点G AD 平分BAC ∠，,10AB AC BC ==
,B ACB AG BC ∴∠=∠⊥，且AG 是BC 边上的中线
1123,52
B CG B
C ∴∠=∠+∠+∠== 由折叠的性质得12,CE AC ∠=∠=
123223B ∠=∠+∠+∠=∠+∠∴
CE AB ⊥，即90BFC ∠=︒
390B ∴∠+∠=︒
230239+∴∠∠=∠+︒，即2345∠+∠=︒
CDG ∴∆是等腰直角三角形，且5DG CG ==
7512AG AD DG ∴=+=+=
在Rt ACG ∆中，13AC ===
13CE AB AC ==∴=
由三角形的面积公式得1122ABC S BC AG AB CF ∆=
⋅=⋅ 即1110121322CF ⨯⨯=⨯⋅，解得12013
CF = 12049131313EF CE CF ∴=-=-
= 故答案为：4913
．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．
三、解答题
21．（1）132）83
；（3）5.5秒或6秒或6.6秒 【分析】
（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可； （2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；
（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；
②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；
③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．
【详解】
（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，
8216BP AB AP cm =-=-⨯=，
90B ∠=︒，
222246213()PQ BQ BP cm +=+=；
（2）解：根据题意得：BQ BP =，
即28t t =-， 解得：83t =； 即出发时间为83
秒时，PQB ∆是等腰三角形； （3）解：分三种情况：
①当CQ BQ =时，如图1所示：
则C CBQ ∠=∠，
90ABC ∠=︒，
90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，
90A C ∠+∠=︒，
A ABQ ∴∠=∠
BQ AQ ∴=，
5CQ AQ ∴==，
11BC CQ ∴+=，
112 5.5t ∴=÷=秒．
②当CQ BC =时，如图2所示：
则12BC CQ +=
1226t ∴=÷=秒．
③当BC BQ =时，如图3所示：
过B 点作BE AC ⊥于点E ，
则68 4.8()10
AB BC BE cm AC ⨯===
3.6CE cm ∴==，
27.2CQ CE cm ∴==，
13.2BC CQ cm ∴+=，
13.22 6.6t ∴=÷=秒．
由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，
BCQ ∆为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
22．（1）90°；（2）证明见解析；（3
）变化，24l +≤<．
【分析】
（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求
DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；
（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；
（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．
【详解】
解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD=DE
∴∠DAE=∠DEA=30°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，
故答案为：90°；
（2）∵AD=DE=DF ，
∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，
∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，
∴∠DEA+∠DFA=60°，
∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，
∴∠EDB=∠DFA ，
∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，
∴∠CDF=∠DEA ，
在△BDE 和△CFD 中
∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△BDE ≌△CFD （ASA ）
（3）∵△BDE ≌△CFD ，
∴BE=CD ，
∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，
当D 点在C 或B 点时，
AD=AC=AB=2,
此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；
当D 点在BC 的中点时，
∵AB=AC ，
∴BD=112
BC =，AD ==
此时22l AD =+=
综上可知24l +≤<．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．
23．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60
【分析】
（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长
【详解】
解：（1）∵a ，b ，c |c ﹣17|+b 2﹣30b +225，
21||7(15)c b +-﹣，
∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，
∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；
（2）能．
∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，
∴82+152＝172．
∴a 2+c 2＝b 2，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的周长＝8+15+17＝40； 三角形的面积＝
12
×8×15＝60． 【点睛】
此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
24．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；
（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．
【详解】
（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =
-=-=(cm )．
故答案为：12；
（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，
∴PC = PA =t ，PB =16-t ． 在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +
-=（， 解得：t =252
． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，
252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132
⨯-=(cm )；
（3）分三种情况讨论：
①当CQ =BQ 时，如图1所示，
则∠C =∠CBQ ．
∵∠ABC =90°，
∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，
∴∠A =∠ABQ ，
∴BQ =AQ ，
∴CQ =AQ =10，
∴BC +CQ =22，
∴t =22÷2=11(s )．
②当CQ =BC 时，如图2所示，
则BC +CQ =24，
∴t =24÷2=12(s )．
③当BC =BQ 时，如图3所示，
过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯=
==， ∴CE 2222483612()55
BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，
∴CQ =2CE =14.4，
∴BC +CQ =26.4，
∴t =26.4÷2=13.2(s )．
综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
25．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②
512m n = 【分析】
（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；
（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案； ②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.
【详解】
（1）解：作图，如图所示：
（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.
理由如下：依题意得， BD BC m ==，
在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒
222BC AC AB ∴=+
22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+
222AD m AD n ∴+-
)()
2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-
0=；
∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根
②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =
2233
AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=
222BC AC AB ∴+=
2
2223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493
m n n mn m +=++ 25493
n mn = 512
m n ∴= 【点睛】
本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
26．（1）y ＝－2x ＋12，点C 坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D 坐标（－4，0）；（3）点P 的坐标（143
-
，643） 【分析】
（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；
（2）画出图象，由CD⊥AB知1
AB CD
k k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；
（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.
【详解】
解：（1）∵6
m-＋（n﹣12）2＝0，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，
则有
12
60
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
12
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，
∵直线AB过点C（a，a），
∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，
设直线CD解析式为y＝1
2
x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y＝1
2
x＋2，
∴点D坐标（－4，0）．
（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，
图2
∵直线EC 解析式为y ＝
32x －2，直线CF 解析式为y ＝－23x ＋203， ∵32×（－23
）＝－1， ∴直线CE ⊥CF ，
∵EC ＝13CF ＝13
∴EC ＝CF ，
∴△FCE 是等腰直角三角形，
∴∠FEC ＝45°，
∵直线FE 解析式为y ＝－5x －2，
由21252y x y x =-+⎧⎨=--⎩解得143643x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴点P 的坐标为（1464,33-
）. 【点睛】
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.
27．(1)①见解析；②()22012x y x x
-=
<<-；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证
△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），
∴EB=ED，∠CBE=∠1，
∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，
∴∠EBC+∠EFC=180°，
∵∠EFC+∠2=180°，
∴∠EBC=∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF，
∴BE=EF.
②解：∵正方形ABCD的边长为2，∴对角线AC=2.
将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，
则△BAE≌△BCP，
∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，
由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，。