2021-2022学年山东省济南市第十五中学高二数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年山东省济南市第十五中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（）、、、、参考答案：
C
2. 下列各数中最小的一个是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
3. 以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
4. 如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
参考答案：
D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以
∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．
【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；
C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；
D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°
故选D
【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．
5. 设等比数列的公比，前项和为，则的值为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
6. 在区间（﹣1，2）中任取一个数x，则使2x＞3的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】几何概型．
【分析】本题是几何概型的考查，只要利用区间长度的比即可求概率．
【解答】解：由2x＞3，解得：x＞，
故满足条件的概率是：
p==，
故选：A．
【点评】本题考查了几何概型的概率求法，是一道基础题．
7. 设，若直线与线段AB没有公共点，则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
D
8. 抛物线的焦点坐标为（）
A．B． C. D.
参考答案：
A
略
9. 直线x﹣y+3=0的斜率是（）
A． B．C．D．
参考答案：
A
考点：直线的斜率．
专题：直线与圆．
分析：化直线的一般式方程为斜截式，则直线的斜率可求．
解答：解：由x﹣y+3=0，得y=x+3，即．
∴直线x﹣y+3=0的斜率是．
故选：A．
点评：本题考查了直线的斜率，考查了一般式化斜截式，是基础题．10. 直线y＝kx＋1与双曲线－＝1有一个公共点，则实数k＝
A．±或± B．或 C．±或± D．±
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y 的最小值为．
参考答案：
﹣5
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得B（3，4）．
化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，
由图可知，当直线y=x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5．
故答案为：﹣5．
12. 定积分__________．
参考答案：
e
.
点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
13. 第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按如下的方式构造图形，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个，第n个图形包含个“福娃迎迎”，则＝_____．（答案用含n的解析式表示）
参考答案：【分析】
本题可根据题意及图写出前4个算式的表达式，然后观察规律可得及，即可算出结果．【详解】由题意及图，可发现规律：
通过已知的这四个算式的规律，可得：
，
，
通过上面两个算式，可得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中结合图形与题干的理解，先写出前面的简单项，发现规律并归纳是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
14. 已知绕原点逆时针旋转变换矩阵为，则其旋转角θ（θ∈上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9
相交”发生的概率为
．
参考答案：
【考点】CF：几何概型．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．
圆心到直线y=kx的距离为，
要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．
∴在区间上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．
故答案为：．
15. 仔细观察下面4个数字所表示的图形：
请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为．
参考答案：
20201．
16. 把点A的极坐标(6,)化为直角坐标为
参考答案：
17. 已知函数，0＜a ＜b ＜c，f （a ）f （b ）f （c ）＜0，实数d是函数f（x）的一个零点．给出下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中可能成立的序号
是．（把你认为正确的命题的序号都填上）．
参考答案：
①②③
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．
【分析】由题意可知f（x）在（0，+∞）单调递减，且0＜a＜b＜c可得f（a）＞f（b）＞f（c），结合f（a）f（b）f（c）＜0可得f（c）＜f（b）＜f（a）＜0或f（c）＜0＜f（b）＜f（a），又f（d）=0课判断a，b，c，d之间的大小
【解答】解：∵在（0，+∞）单调递减
∵0＜a＜b＜c
∴f（a）＞f（b）＞f（c）
∵f（a）f（b）f（c）＜0∴f（c）＜f（b）＜f（a）＜0或f（c）＜0＜f（b）＜f（a）
∵d是函数f（x）的一个即f（d）=0
若f（c）＜f（b）＜f（a）＜0，f（d）=0则可得，c＞b＞a＞d
若f（c）＜0＜f（b）＜f（a），f（d）=0则可得，a＜b＜d＜c
综上可得①d＜a可能成立；②d＞b可能成立；③d＜c可能成立；④d＞c不可能成立
故答案为：①②③
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）已知,设命题函数的定义域为；命题
当时,函数恒成立，如果为真命题,为假命题,求的取值范围．
参考答案：
解：由，对命题函数的定义域为可知，，解得…………………4分
对命题当时,函数恒成立，即函数在
的最小值大于，因为当时，，所以<2,即………….8分
由题意可知，当可得；当可得；……….11分
综上所述的取值范围为…………12分
略
19. （本小题满分12分）已知直线
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程。

参考答案：
略
20. （12分）已知函数f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（Ⅲ）若对任意的实数x∈[0，3]，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】分段函数的应用；3D：函数的单调性及单调区间．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|=4|x﹣1|，即可写出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，一定有f（﹣1）=f（1）?3|1﹣a|+|a﹣1|=3|﹣1﹣a|+|﹣a﹣1|，即可求实数a的值；
（Ⅲ）对任意的实数x∈，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立?对任意的实数x∈，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣
1|≥0，分类讨论求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|=4|x﹣1|，函数f（x）的减区间为（﹣∞，1），增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，一定有f（﹣1）=f（1）?3|1﹣a|+|a﹣1|=3|﹣1﹣a|+|﹣a﹣1|，解得
a=0，经检验符合题意．
（Ⅲ）对任意的实数x∈，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立?对任意的实数x∈，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣
1|≥0，
①当0≤x≤1时，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣1|≥0恒成立，a∈R
②当x∈（1，3]时，原不等式等价于|ax﹣1|≥|（3x﹣3）|x﹣a|
令g（x）=|（3x﹣3）（x﹣a）|，h（x）=|ax﹣1|
当a＞1时，0＜≤1，由ax﹣1=（3x﹣3）（a﹣x），即3x2﹣（2a+3）x﹣1+3a=0，△=（2a+3）2﹣
12（﹣1+3a）=0，a=（另一根舍去），∴a＞；
a=1时，不满足h（3）＞g（3）；
0＜a＜1时，＞1，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即﹣3a﹣1≥6（3﹣a），解得
a≥，舍去；
a≤0，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即3a﹣1≥6（3﹣a），解得a≥，舍去；
综上所述a＞．
【点评】本题考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
21. 已知函数
（Ⅰ）若对于，不等式成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若，使得不等式成立，求实数m的取值范围.
参考答案：
解：当时，
（Ⅰ）依题意，即对恒成立
故
∴
（Ⅱ）依题意，即对能成立
故
∴
22. 已知曲线都过点A（0，－1），
且曲线所在的圆锥曲线的离心率为.
（Ⅰ）求曲线和曲线的方程；
（Ⅱ）设点B,C 分别在曲线，上，分别为直线
AB,AC
的斜率,
当
时，问直线
BC是
否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案：
Ⅰ）由已知得，，．……2分
所以曲线的方程为
（）．……3分
所以
．
……8分
略。