CAGD第九章几何连续性

第九章 几何连续性
关于参数曲线的光滑性有两种不同的度量，其一是多年来沿用的函数曲线的可微性，即通过参数曲线上一点处直到n 阶的连续导矢来度量，这类连续性称之为n C 连续。

另一种称为几何连续性，即通过参数曲线上一点处满足不同于n C 的某一组约束条件来度量，称之为n G 连续。

9.1 参数连续性分析
由第四章的讨论，我们知道参数连续与所选取的参数有关。

整体参数下的参数连续性条件与局部参数下的连续性条件就不相同。

一方面，当各曲线段的Bézier 点给定之后，各段曲线的形状随之完全确定。

由此构成的B 样条曲线的形状亦完全确定，自然在连接点处的光滑度亦确定不变，它与所选取参数节点矢量无关；另一方面，当两段曲线的公共连接点nk P 与前后相邻Bézier 点11,+-nk nk P P 重合时，那么B 样条曲线在nk P 处有零切矢，那么不管对于局部参数还是整体参数，曲线在该点都是1C 连续的。

然而，B 样条曲线可能在该连接点处形成一尖角，因而是不光滑的。

这表明，可微的参数曲线有可能是不光滑的。

下面我们通过几个具体的例子进一步予以说明。

例1对于曲线)(t P 10,32≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x )0,0()0( P ='，曲线在0=t 处有零切矢，但却1C 连续。

例2 给定三个不重合的共线点210,,P P P
≠
⎩⎨⎧≤≤-+-≤≤+-=121,)12()22(210,2)21()(2110t t t t t t t P P P P P 则：
1)21(P P =，)(2)021()(2)021(1201P P P P P P -=+'≠-=-'
因此，直线段)(t P 在21=t 不是1C 连续，仅为0C 连续。

例3 给定曲线段： ∑==202)()(i i i t B t b b
在2b 处做)(t b 的镜面映射得到曲线)(*t b ，那么)(t b 与
135 第九章 几何连续性
)(*t b 在公共连接点2b 处具有连续的切线、曲率和法矢，但却不是2C 连续的。

因为，如果2C 连续，则)(t b 与)(*t b 为同一抛物线的两段，而抛物线不可能有平行切矢。

由此可以看出，采用参数连续性作为参数曲线的光滑性之度量具有以下明显的缺陷：
① 参数连续性与所选取的参数有关；
② 参数可微的曲线几何上不一定光滑；
③ 几何上光滑的曲线有可能是不可微的。

因之，参数连续性不能客观、准确地度量参数曲线的光滑性，而形状的客观内在几何特征是不依赖于参数的选取和具体参数化。

正是由于此，CAD/CAM 中人们才引入了称之为视觉连续的几何连续性，它与参数的选取和具体参数化无关，排除了由参数选取引起的非正则情况，只要求较弱的限制条件，且为形状定义和形状控制提供了额外的自由度。

9.2 2G 连续性条件
曲率连续但非2C 连续的曲线称为2G 连续。

设)(u P 是1C 连续的正则曲线，即0≠)(u P
，s 为)(u P 的弧长，那么对)(u P 重新参数化，使得)(s u u =。

曲率连续意味着)(u P 关于弧长的二阶导
矢连续，即：))(())((s u s u -+
''=''P P 。

由链导法则，有 -
----+++++''+'=''''+'=''u u u u s u u u u u s u )())(())((,)())(())((22P P P P P P 因)(u P 1C 连续且0≠)(u P ，所以)()()(u u u P P P ==-
+，0≠'='='-+u u u ，从而： ))(()()(2+
--+''-''=-'u u u u P P P 即：
)()(2
u u u u P P P '''-''=-+--+ 令2
)()(u u u u '''-''=+-ν，则有： )()(u u P P P ν=--
+ （9.2.1） 这就是曲线)(u P 的2G 连续条件，其几何意义如下：左右二阶导矢的差向量平行于)(u P。

显然，正则的2C 连续的曲线都是2G 连续的，此时0)(=u ν。

对于分段多项式曲线)(u P 来说，若分割点为i u ，那么)(u P 2G 连续的条件是：
)()()(i i i i u u u P P P ν=--+ （9.2.2）
此时，式（9.2.1）中的函数)(u ν可定义如下：
计算机辅助几何设计 136
⎩⎨⎧≠==i
i i
u u u u u ,0,)(νν （9.2.3） 值得注意的是，i ν不是仿射不变量，因为若对)(u P 用b au v +=重新参数化，则有)()(u v νν=。

9.3 Nu 三次样条曲线
给定1+L 个型值点L i i ,,1,0, P =及参数分割L u u u u <<<∆ 10: ，我们构造插值这些点的2G 三次样条曲线)(u P 。

在区间],[1+i i u u 上，)(u P 被表示成三次Hermite 形式：
)()()()()(3313231130t H t H t H t H u i i i i i i ∆+∆++=++m m P P P
其中)(3t H i 是三次Hermite 基函数， i i i i i u u u u t -=∆∆-=+1,)( ，)(i
i u P m =是i u 处的切矢，是未知量。

根据2G 连续性条件，在连接点1,,1,-=L i u i 处有：
1,,1),()()(-==--+L i u u u i i i i P P P ν
这里i ν是任意常数，从而有：
⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆∆+∆∆=∆+∆∆+∆+∆+∆--+----i i i i i i i i i i i i i i P P m m m 1
111121113)22(ν （9.3.1） 添加两个边界条件，即可求出所有未知的切矢i m ，这样得到的三次样条曲线称为Nu 样条曲线。

Nu 样条曲线比标准的2C 三次插值曲线更一般，一般情况下不再是2C 连续的。

若令0=i ν，1,,1-=L i ，则得到标准的2C 三次样条曲线。

如果令+∞→i ν，则0→i m 。

由此可见，i ν增大的效果是切矢i m 的模长减小。

若所有的+∞→i ν，则所有的0→i m ，样条曲线便趋于通过数据点的分段直线。

所有+∞→i ν这种情况将使得样条曲线不再是2G 的，与最初假设曲线是正则的条件相背离。

从i ν的值对曲线形状的影响来看，i ν称为张力参数（tension parameter ）。

张力参数越大，曲线被拉得越紧。

这些特性使其特别适合交互图形环境。

前面讨论2G 连续条件是从1C 出发的，如直接从0C 出发，那2G 连续条件又是什么呢？ 0C 连续的参数曲线)(u P 是2G 连续的，如果它是切向连续、曲率连续的，即：
137 第九章 几何连续性
))(())(()),(())((s u s u s u s u -+-+
''='''='P P P P 由链导规则，有：
⎪⎩⎪⎨⎧+==--+-+)
()()()()(2i i i i i i i i u u u u u P P P P P γδδ （9.3.2） 基于条件（9.3.2）构造的2G 三次插值样条曲线称为Manning 三次插值曲线。

若所有0,1==i i νδ ，则得到标准的2C 三次样条曲线。

若所有0=i δ，则得到Nu 三次插值样条曲线。

与Nu 样条曲线相比，Manning 样条曲线中，除了张力参数i ν外，还多出一个位移参数i δ（bias ）。

9.4 参数曲线几何连续性定义
在讨论了特殊几何连续性的基础上，我们现在可进一步讨论它的一般定义。

由于形状与描述它所选取的参数无关，因而作为形状内在几何特征的光滑性及其量度光滑性的几何连续定义自然应建立在独立于具体参数化的基础之上。

前面的讨论已给出了二阶几何连续性的定义，即：0G 连续与0C 连续一致；若两曲线在公共连接点处具有公共的单位切矢（切线方向），则称它们在该点处1G 连续；若在公共连接点处还具有公共的曲率矢，则称它们在该点处2G 连续。

由此出发，即可定义一般的几何连续性。

为了保证几何连续性的定义与具体的参数化无关，只要将几何连续性的定义建立在曲线内在几何量的基础上即可。

由微分几何可知，弧长是曲线的内在几何量，因而可借助弧长参数来建立几何连续性的定义。

定义9.1 如果两段曲线在相应弧长参数化下在公共连接点处n C 连续，则称它们在该点处n G 连续。

或者换一种提法：一条曲线是n G 连续的，如果它关于弧长参数化是n C 连续的。

弧长是曲线的内在几何量，取弧长参数化使曲线的定义与参数无关。

在弧长参数化下，切矢模长恒为1，这排除了非正则情况的出现。

定义9.1表明，在弧长参数化下，几何连续性n G 与参数连续性n C 是一致的，同时亦表明，对于一般参数表示的两段曲线，如果能够通过参数变换使它们在公共连接点处具有一致的直到n 阶的关于弧长的导矢，则它们在该点的连续阶就是n G 的。

然而，遗憾的是，并非所有的参数都能取自身的弧长作为参数。

例如，非正则曲线就不能，CAD/CAM 中广泛采用的参数多项式曲线和参数有理多项式曲线亦不能取自身的弧长作为参数，这就限制了这一定义的使用范围。

为此，我们基于参数变换给出下面的几何连续性定义。

定义9.2 若能将两曲线段之一经参数变换，重新参数化后使得它们在公共连接点处具有正则的n C 连续，则称它们在该点处是n G 连续的。

该定义有两层含义，其一是如果两正则曲线段在公共连接点处是n C 的，则必然是n G 的；其二是如果两正则曲线段在公共连接点处是n G 的，则总可以经过重新参数化使它们在公共连接点处n C 连续。

定义9.2的应用依赖于重新参数化，未给出现成可用的结果，仍然不够直接。

为此，还需引入具有可操作性的等价定义。

在给出等价定义之前，我们先介绍Beta 约束。

9.4.1 Beta 约束
由定义9.2，若两段曲线在公共连接点)(0u P 处是n G 的，则可对其中之一经过重新参数化使
计算机辅助几何设计 138
它们在该点具有正则的n C 连续。

假设对公共点)(0u P 左侧的曲线段)(u -P 做参数变换)(t u u =，使其重新参数化为))((t u -P 。

那么，))((t u -P 关于参数t 的直到n 阶的导矢在0u 处应等于右侧曲线段)(u +P 在0u 处关于参数u 的直到n 阶的导矢，因而由链导法则，可得到以下结果：
P P P P P P P P P P P ---+-
-+-
+-
+++=+===32223)()(32dt u d dt u d du du dt u d dt du du 这里，)
(,,,n ---P P P 为曲线段)(u -P 关于参数u 在0
u 处的各阶导矢，)(,,,n +++P P P 为曲线段)(u +P 关于参数u 在0u 处的各阶导矢，n n dt u d dt u d dt du ,,,22 为参数变换)(t u u =在)(00t u u =关于参数t 的各阶导数。

令n n
dt u d n dt u d dt du ===βββ,,,2221 ，则可得到如下的用矩阵表示的一组关系式： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----++++)(12121)(0001n n n n P P P P P P P P βββββ （9.4.1） 其中，01>β，)(k -P 与)(k +P 为公共连接点两侧的k 阶导矢。

式（9.4.1）表明，在正则的公共连接
点处，一侧的k 阶导矢可以表示成另一侧的直到k 阶导矢的线性组合，这一组关系称为Beta 约束，右端的1+n 阶方阵称为关联矩阵。

根据链导法则，k 阶导矢)
(k +P 可显式地表示为：
∑=-+=k j j j k k A 1)(,)(P P （9.4.2）
其中：
∑⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=j k k j j k k k k A ββ 1,,1, （9.4.3） 其求和是遍历整数k 的分割},,{11k k k k k j j =++ 。

如果k 的一个分割中包含有r 个不同元素，对应的重数为r i m i ,,1: =，则
!!!!,,11
1i j j m m k k k k k k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （9.4.4）
139 第九章 几何连续性
同样的参数曲线，若采用不同的整体参数或局部参数，仅仅关联矩阵中的非零元素不同而已。

更确切地说，i β取不同的值，它们由所选取的参数变换决定。

这表明Beta 约束与参数无关。

9.4.2 几何连续性
利用Beta 约束，我们可以定义一般地几何连续性。

定义9.3 当且仅当存在实数0,,,1,1>=ββ n i i ，使得两曲线段在正则的公共连接点处的直到n 阶左、右导矢满足Beta 约束（9.4.1）时，则称它们在该点处是n G 连续的。

Beta 约束的应用有以下几个方面：① 用于检查两曲线段在公共连接点处是否达到n G 连续；② 设计人员可以通过改变i β的值来控制相邻两段曲线之一的形状，同时由使Beta 约束得到满足，即曲线段间连接的光滑性得到保证。

因之，i β称之为形状参数。

这样当曲线用控制多边形定义时，无需改变控制多边形，只要改变参数i β便可改变曲线的形状。

两曲线段间的n G 连续性提供了n 个形状参数，对于参数多项式曲线而言，可调的形状参数不超过其次数。

这些可调的形状参数提供了控制曲线形状的额外自由度，特别适合于人机交互环境下的曲线设计；③ 构造Beta 样条曲线。

采用Beta 约束的几何连续性定义，尽管提供了直接可用的结果，但应当注意的是几何连续性定义是用代数形式的Beta 约束给出的，其中的形状参数i β几何意义不明显。

那么，能否用纯几何的方式来刻画几何连续性呢？下面就来回答这一问题。

实际上，定义9.3就是微分几何中的n 阶切触。

根据切触的定义，两曲线段在公共连接点处具有n 阶切触，则它们在该点具有一致的直到n 阶的关于弧长的导矢，这与定义9.1相吻合。

而两曲线段在公共连接点处的n 阶切触，亦可由与两曲线段在该点处有1+n 公共点的一条n 次密切抛物线来定义，这在解析上意味着两曲线段之一能被重新参数化，一致于它们是n C 连续的，这与定义9.2完全一样。

执行重新参数化过程，设对公共连接点)(0u P 左侧的那一段曲线)(u -P 进行重新参数化)(t u u =，将其在)(00t u u =处Taylor 展开：
+-++-+-+=n n n t t t t t t u u )()()(0!120221010βββ 其中，0t t dt u
d i i i ==β。

与前述相同，使重新参数化后的左侧曲线段))((t u -P 与右侧的曲线段)(u +P 在
公共点)(0u P 处n C 连续，即)(u +P 在)(0u P 处关于参数u 的直到n 阶导矢与))((t u -P 关于t 的直到n 阶导矢相同。

由链导法则就可得到一组约束，即Beta 约束，这就是定义9.3。

因而，本质上说，两曲线段在公共连接点的n G 连续就是几何意义下的n 阶切触，故便有下述的等价定义。

定义9.4 当且仅当两曲线段在公共连接点处具有n 阶切触，则称它们在该点n G 连续。

CAD/CAM 中常用的曲线是参数多项式曲线及由几何连续拼接而成的样条曲线。

由于参数多项式曲线在一点的Tayor 展开是精确的，因此如果两段参数n 曲线在公共连接点处具有直到n 阶的相同导矢，则它们实际上是同一条曲线。

三维空间的参数曲线在一点处的n 阶切触的几何意义是：设B N T ,,分别为曲线上该点处
计算机辅助几何设计 140
的单位切矢、主法矢和副法矢，它们构成曲线上该点的Frenet 标架，τ ,k 分别表示曲线在该点的曲率和挠率，那么曲线在该点处关于弧长的二、三、四阶导矢分别为：
B N T P B
N T T P N
T P )2()(3232ττττ'+'+''-+-'-=''''+'+-=''='''='=''k k k k k k k k k k k
显然，二阶切触等价于连续的Frenet 标架和连续的曲率，三阶切触等价于连续的Frenet 标架、1C 连续的曲率和连续的挠率，四阶切触等价于连续的Frenet 标架、2C 连续的曲率和1C 连续的挠率。

因此，n 阶切触等价于连续的Frenet 标架、2-n C 连续的曲率和3-n C 连续的挠率。

由此可见，用Beta 约束定义的几何连续性与n 阶切触相一致，讨论了数十年之久的连续性问题由回到了经典微分几何中早已给出的答案之上来，但这不是简单地重复，而是认识真理过程的螺旋上升运动。

9.5 几何连续的组合Bézier 曲线
9.5.1 Bézier 曲线2G 连续的几何关系
给定两条n 次B ézier 曲线：
1,0],1,0[,)()(0
b P =∈=∑=+i t t B t n
j n j j ni i 在公共连接点n b P P ==)0()1(10处1G 连续条件为：
11-∆=∆n n b b δ或0),(1111>-+=-+δδ b b b b n n n n （9.5.1）
即三点11,,+-n n n b b b 共线,且顺序排列。

两曲线在公共连接点n b 处的曲率分别为 ： 2113112003112011)0(11)1(a h n n n n k a h n n n n k n n n n n n ⋅-=∆∆⨯∆⋅-=⋅-=∆∆⨯∆⋅-=
+---b b b b b b 其中n n a a b b ∆=∆=-110,，10,h h 分别为2-n b 和
2+n b 到n b 处公切线的距离，如图9.4所示。

视1-n b 为直角三角形的直角顶点，0a 为斜边的高，分斜边成长为0h 和0g 两部分，则有0020g h a =。

类似地，有1121g h a =。

于是有：
1
10011)0(,11)1(g n n k g n n k ⋅-=⋅-= 那么，在公共连接点n b 处两曲线段曲率相等的条件除式（9.5.1）外，还满足下述条件：
141 第九章 几何连续性
10g g = 或 1
010h h a a = 或 31213012),,(),,(a a r e a a a r e a n n n n n n ++--=b b b b b b （9.5.2） 要使n b 处两曲线段的曲率矢量相同，不仅曲率相等还应有公共的密切平面。

这意味着五点2112,,,,++--n n n n n b b b b b 共面，且22,+-n n b b 位于n b 处切线的同侧，这便是2G 连续性条件。

在保持公共连接点处2G 连续，且曲率值与11,+-n n b b 位置不变的条件下，顶点22,+-n n b b 可分
别在平行于公共切线的直线上移动。

欲使2-n b 移动到*2-n b 而保持公共连接点处的曲率不变，
则必须同时使点2+n b 在平行于公共切线的另一直线上移动。

现假设这两条n 次B ézier 曲线采用整体参数表示，相应的参数分别为210:u u u u <<∆ ，且约定在公共连接点n b 处关于整体参数u 是1C 连续的，那么：
10
111-∆∆=∆∆n n b b 即：1011),,(∆∆=+-n n n ratio b b b 。

如果还要求是2G 连续的，则有：
)()()(1011011u u u P P P ν=-
两边用)(1
0u P 做叉乘，有： )()()()(1
0101110u u u u P P P P ⨯=⨯ 由此得到：
3
1
13
012∆∆⨯∆=∆∆⨯∆+--n n n n b b b b 根据1C 连续条件n n b b ∆∆∆=
∆-101，可知： )(),(111
01111001-+-+--∆+∆∆=∆-∆+∆∆=∆n n n n n n b b b b b b 代入上式，有
1
1110112)()(∆∆⨯-=∆-⨯∆+-+-+-n n n n n n b b b b b b 因而可得整体参数下1C 连续曲线，其2G 连续条件为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=++-+--++--2102111123
102112),,(),,(),,(),,(n n n n n n n n n n n n area area area area b b b b b b b b b b b b （9.5.3）
计算机辅助几何设计 142
其中area 表示有向面积。

第一式意味着五点2112,,,,++--n n n n n b b b b b 共面，第二式隐含了点且2-n b 与2+n b 位于n b 处切线的同侧。

9.5.2 2G 组合三次Bézier 曲线的构造
回顾设4.5节关于2C 组合三次B ézier 曲线的构造，当时是给定节点序列L u u u <<< 10和控制顶点1101,,,,,+-L L d d d d d ，其构造过程是利用2C 连续条件，由控制顶点i d 求出内B ézier 点13±i b ：
2,,3,2,1211321123-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∆∆+∆+∆∆=∆∆+∆∆+∆=--------L i i i i i i i i i i i i i d d b d d b 然后，由1C 连续条件求出连接点i 3b ：
1,,2,1,13111313-=∆+∆∆+∆+∆∆=+----L i i i
i i i i i i i b b b 与此类似，为了构造2G 组合三次Bézier 曲线，我们这里亦基于给定的节点序列},,,{10L u u u 和控制顶点1101,,,,,+-L L d d d d d ，利用2G 连续性条件求出组合三次Bézier 曲线所需要的B ézier 点。

特别，2G 组合三次Bézier 曲线的构造要比2C 组合三次B ézier 曲线的构造条件弱，设计者无需预先给定节点序列},,,{10L u u u ，它可由构造过程自动选取。

⑴ 开曲线的构造
Step1. 13130110,,,+--====L L L L d b d b d b d b ；
Step2. 在边10d d 上任意选择一点2b ，在边L L d d 1-上任意选择一点23-L b ；
Step3. 在边1,,2,1-=-L i i i d d ，上任意选择两点1323,--i i b b ；
Step4. 由2G 连续条件：
2
1231313131323),,(),,(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆∆=-++-+--i i i i i i i i area area b b b b b b 确定节点：
),,(),,(1313232313131+--++--∆=∆i i i i i i i i area area b b b b b b 其中1,010==u u 。

Step5. 1C 连续条件确定连接点：
143 第九章 几何连续性
1,,2,1,13111313-=∆+∆∆+∆+∆∆=+----L i i i
i i i i i i i b b b ⑵ 闭曲线的构造
关于闭曲线其构造过程与上述算法的区别是无需Step1和 Step2，Step3的计算对L i ,,1 = 进行。

在交互设计过程中，2G 组合三次Bézier 曲线的使用分为两步：① 按上述方法构造的2G 控制多边形作为曲线的草图；② 调整内Bézier 点来精化曲线设计。

值得注意的是，2G 组合三次Bézier 曲线与2C 组合三次Bézier 曲线之间的差异。

对于2C 组合三次Bézier 曲线来说，每一条2C 组合三次Bézier 曲线都具有一个B 样条控制多边形，而2G 组合三次Bézier 曲线并非都具有2G 控制多边形。

9.6 Gamma 样条曲线
根据2C 组合三次Bézier 曲线的构造可知，两段三次Bézier 曲线在公共连接点i 3b 处关于整体参数2C 连续，则一定存在辅助顶点d ，使得：
i i i i i i i i i i ∆∆=∆∆=-+++----::,::12313131131323b b db d b b b
如果按照此比例得到不重合的两个辅助顶点+-d d ,，则它们将仅仅是1C 连续的，不可能2C 连续，然而可能是2G 连续。

为此，引入以下记号：
)
,,(),,,(),,(),,,(13131313231313131323++-+--++-++---====i i i i i i i i i i area B area A area A area A b d b b d b b b b b b b 若要求两段曲线在i 3b 处2G 连续，那么由2G 连续条件（9.5.3），我们有：
B A A A i
i i i =∆∆=∆∆=-+--11 设i d 是分别通过--d b ,23i 和23,++i b d 的两直线之交点，令：
i i i i A
area γ=+-),,(1313b d b 则有：
i
i i i i i i i i i i i ratio ratio ∆∆=∆∆=-++---1231311323),,(,),,(γγb b d d b b （9.6.1） 当满足这一组比例关系时，1C 连续的两段Bézier 曲线在公共连接点i 3b 处2G 连续。

基于这一条件构造的2G 组合三次Bézier 曲线称之为Gamma 样条连续，它是由Boehm 于1987年提出的，揭示了2G 样条曲线和经典B 样条曲线之间的本质联系。

给定控制顶点1101,,,,,+-L L d d d d d ，节点序列L u u u <<< 10及形状参数121,,,-L γγγ ，Gamma 样条曲线的构造过程如下：
Step1. 13130110,,,+--====L L L L d b d b d b d b ；
Step2. L
L L L L L L L L L L L d d b d d b 1212
11121123111000110112,-----------∆+∆∆+∆+∆∆=∆+∆∆+∆+∆∆=
γγγγγγ；
Step3. 在边1,,2,1-=-L i i i d d ，按照比例关系i i i i i ∆∆∆---γγ::121确定内Bézier 点23-i b ，13-i b ：
2,,3,2,121113211123-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∆∆+∆+∆∆=∆
∆+∆∆+∆=----------L i i i i i i i i i i i i i i i i i d d b d d b γγγγ 其中，i i i i i ∆+∆+∆=∆---γγ121；
Step4. 由1C 连续条件确定连接点i 3b ：
1,,2,1,1311
1313-=∆+∆∆+∆+∆∆=
+----L i i i
i i i i i i i b b b
由此得到一条由1101,,,,,+-L L d d d d d ，节点序列L u u u <<< 10及形状参数121,,,-L γγγ 定义的2G 组合三次Bézier 曲线，它由L 段三次Bézier 曲线构成。

当所有1=i γ时，Gamma 样条退化为2C 三次样条曲线；当i γ取负值时，曲线上将出现环，曲线亦不再具有凸包性。

通常，i γ的取值范围是)1,0( ；当0→i γ时，公共连接点i 3b 及其曲线段被拉向顶点i d ；当0,1→+i i γγ 时，由3323133,,,+++i i i i b b b b 定义的那段曲线被拉成连接i d 和1+i d 的直线。

因此，i γ1可看作是对应于顶点i d )1,,1(-=L i 处的张力参数。

在用Gamma 样条进行曲线设计时，通常采用以下的设计方法：由设计人员指定一控制多边
形，并在除去首末各两条边的剩余每一条边上指定一对不重合的点，作为内Bézier 点，由系统自动算出所需要的形状参数、参数节点序列及连接点。

Gamma 样条曲线与Nu 样条曲线都是2G 三次样条曲线，且对整体参数u 而言均为1C 连续。

因此，Gamma 样条曲线中的形状参数i γ与Nu 样条曲线中的形状参数i ν应有何种对应关系呢？对此问题的回答，我们留在下节讨论。

9.7 2G 样条的基函数
前面我们讨论了两类2G 三次样条曲线：Gamma 样条与组合Bézier 样条。

显然，从设计的角度来看，组合Bézier 样条优于Gamma 样条。

因为Bézier 样条只需给定控制顶点，而Gamma 样条的构造还需要节点序列和形状参数i γ。

然而，Gamma 样条的优势在于对2G 样条分析性质的讨论。

下面，我们就2G 样条的分析性质进行讨论。

设Gamma 样条g 和g ˆ由相同的节点序列和相同的形状参数i γ所定义，相应的控制顶点分别
为i d 和i
d ˆ，那么曲线： )(ˆ)()1()(u u u g
g h αα+-= 也是一Gamma 样条，其节点序列和形状参数i γ不变，但控制顶点则为：
1,,0,1,ˆ)1(+-=+-L i i
i d d αα 这一线性性质的结果是，由相同节点序列和形状参数确定的Gamma 样条构成一3+L 维线性空间。

设该空间的基函数为)(u M i ，则任何一元素（Gamma 样条）可表示为：
∑+-==
1
1
)()(L i i i u M u d X
这里，基函数)(u M i 由参数u 、节点序列i u 和形状参数i γ所确定，具有以下性质：
① 归一性。

Gamma 样条的构造是仿射不变的，着意味着：
1)(11
≡∑+-=L i i u M
② 正性。

对满足条件1,,2,1,0-=≥L i i γ，形状参数，有：
0)(≥u M i
③ 局部支撑性。

顶点i d 的改变知影响到四段曲线：],[],,[],,[],,[211112+++---i i i i i i i i u u u u u u u u ，因此相应的基函数)(u M i 满足条件：
],[,0)(22+-∉=i i i u u u u M
这一性质成立的原因是，i d 的改变不影响曲线的Bézier 点}63,,63{,+-∉i i j b 。

此外，i
d 的改变也不影响内Bézier 点4353,±±i i b b ，因此还有下述性质。

④ 端点可导性。

0)()(22=''='±±i i i i u M u M
基于以上性质，我们可构造出基函数)(u M i 。

给定控制顶点1,,1:,,]1,1[+-≠==L i j j T i d d 0，构造Gamma 样条曲线T i i u M u M )](),([。

利用坐标图))(,(u M u i 即可求出)(u M i 的Bézier 纵标：
2
1123211131
1
21131
2
123,,,Γ∆
=Γ∆+∆=
Γ∆+∆=
Γ∆=
++++++-------i i i i i i i i i i i i i i b b b b γγγγ （9.7.1）
1311
1313+----∆+∆∆+∆+∆∆=
i i
i i i i i i i b b b （9.7.2）
其中，11121211,++----∆+∆+∆=Γ∆+∆+∆=Γi i i i i i i i i i γγγγ ，而)(u M i 的所有其余Bézier 纵标为零。

由构造过程可知，)(u M i 是1C 连续的，但不是2C 连续，甚至也不是2G 连续。

这似乎有点不可思议，曲率不连续的函数的组合竟然生成曲率连续的曲线，下面我们仔细探究这一点。

一条Gamma 样条必然满足2G 连续性条件，那么曲线的每一个坐标分量亦自然满足这一条件。

由)(u M i 的构造可知：
)()0()0(222
2j i j j i j i u M du d
u M du
d u M du d ν=--+ 所谓)(u M i 的2G 连续性，是指它的图形2G 连续，它是二维曲线))(,(u M u i 。

由于一般情况下参数j ν非零，因此坐标分量u 并不满足2G 连续性条件，所以)(u M i 不是2G 连续的。

由)(u M i 所满足的2G 条件，能够导出连续性j ν和j γ之间的关系：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎣⎡∆+∆=-11
1121j j j j γν （9.7.3） 这就在Nu 样条和Gamma 样条之间建立了联系。

9.8 Beta 样条
Gamma 样条的构造与Nu 样条一样，是从1C 条件出发的。

如果我们直接从1G 条件出发构造2G 三
次样条曲线，便得到Beta 样条。

由几何连续的定义9.3，两段n 次Bézier 曲线
1,0],1,0[,)()(0
b P =∈=∑=+i t t B t n
j n j j ni i 在公共连接点n b P P ==)0()1(10处2G 连续的条件是：
)1()1()0(0,)1()0()
1()0(0
21
21
101101P P P
P P P P ββββ+=>== 将其用Bézier 点表示，则为：
n
n n n n n n n n
n n b b b b b b b b b P P )11
2()1
22()()1()0(2
12112
121221211101+-+
++-+
+-=-+===--+-+ββββββββ （9.8.1）
本是几何问题，人们更乐于采用几何方法。

因此，2+n b 的确定并不是象式（9.8.1）那样用代数方程组，而是用图9.5所示的几何方法。

那么以控制顶点n n n b b b ,,12--和形状参数21,0ββ >作为输入，生成的控制顶点1+n b ，2+n b 为输出，使组合Bézier 曲线在n b 处满足2G 连续条件的构造过程如下：
Step1. )
1()1()
1)(1(1121ββββγ+-++-⇐
n n ；
Step2. )(111-+-+⇐n n n n b b b b β； Step3. )(21211----+⇐n n n b b b d γβ； Step4. )(1
112d b b b -+
⇐+++n n n γ。

基于以上讨论，我们可以构造1G 、2G 连续的组合二次、三次Bézier 曲线，它们被称为Beta 样条曲线。

9.8.1 1G 二次Beta 样条曲线
给定控制顶点L i i d ,,0,1, -=，和形状参数1,,1,0,1-=>L i i β，一条1G Beta 样条曲线的第i 段
2,,1],1,0[,)()(2
022-=∈=∑=+L i t t B t j j j i i
b P 的Bézier 点22122,,++i i i b b b 由控制顶点11,,+-i i i d d d 和形状参数1,1,1,+i i ββ 按如下步骤确定：
① i i d b =+12； ② 1
,111,122,11,121,1++++-++=++=
i i i i i i i i i i ββββd d b d d b 。

其中，第一段和第L 段的控制顶点为：
L L L d b d b d b d b ====---21120110,,,
特别，当所有1,1=i β时，所有连接点i 2b 均为控制多边形相应边的中点，1G 二次Beta 样条曲线就成为1C 二次均匀B 样条曲线。

9.8.2 2G 三次Beta 样条曲线
给定控制顶点1,,0,1,+-=L i i d ，和两组形状参数1,,1,,0,2,1-=>L i i i ββ，由其定义由L 段三次Bézier 曲线组成的2G Beta 样条曲线，其第i 段
2,,1],1,0[,)()(3
033-=∈=∑=+L i t t B t j j j i i
b P 的Bézier 点3323133,,,+++i i i i b b b b 由控制顶点211,,,++-i i i i d d d d 和形状参数2,1,,,,2,1++=i i i j j j ββ 所确定，其计算步骤按如下：
① 1,,1,)
1(2)
1(2,1,1,2,1-=+++=
L j j j j j j ββββγ；
② 1,,1,11)1(,1)1(1
21,11
121,12
31
21,11
121,113-=+++++=++++=
++++++++++++L j j j j j j j j j j j j j j j j j j j d d b d d b γβγγγβγβγγγβ；
③ 1,,1,1,11
313,13-=++=
+-L j j
j j j j b b b ββ；
④ 边界条件如下：
13130110,,,+--====L L L L d b d b d b d b
1
1,1121,112311,110121,121,1------++=++=L L L
L L L L γβγβγβγβd d b d d b 特别，当所有1,1=i β、0,2=i β时， 2G 三次Beta 样条曲线便退化为2C 三次均匀B 样条曲线。

对于给定的控制顶点1101,,,,,+-L L d d d d d ，节点序列L u u u <<< 10及形状参数
121,,,-L γγγ ，如果令：
1
21,21,111112,---∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆=∆∆=i i i i i i i i i γββ 那么，我们便得到了Gamma 样条。

因此，Beta 样条是Gamma 样条的推广。

9.9 有理参数曲线的连续性
对于有理Bézier 曲线那样的有理参数曲线，单一的有理曲线段往往没有足够的自由度表示
一给定的曲线，因而不能满足曲线设计的要求，替代单一有理曲线段的是分段有理曲线。

为了生成一条具有满意光滑度的曲线，构成组合曲线的各曲线段必须按照某种连续性连接起来。

对于有理参数曲线，如果用齐次坐标表示的非有理曲线满足有关连续性约束，那么它的投影即有理曲线也将具有相应的连续性。

但反过来则不成立。

如果有理曲线具有这些连续性，则相应它的齐次曲线并非一定要满足这些约束。

也就是说，要求齐次曲线象它的投影曲线那样光滑是限制过头了。

我们希望对和有理曲线对应的齐次曲线的连续性有尽可能少的限制，以使有理曲线的连续拼接易于实现。

设有理曲线)(u r 由控制顶点i d 和权因子i ω定义：
)
()
()(0
1
0u N u N u k i i i k i i k L i i ∑∑=-+==
ωωd r
由带权控制顶点[]i i i i ωω,d D =在高一维空间定义的非有理曲线即齐次曲线记为)(u R ，则：
)()(10
u N u k j k-L j j ∑+==
D R
若令)()(10
u N u k j
j k L j i d P ∑-+==
ω，)()(1
u N u k j k L j j ∑-+==ωω，则有：
)
()
()(u u u ωP r =
，[][])(),()(),()()(u u u u u u ωωω p r R == 9.9.1 有理参数连续性条件
设定义在分割[]101,,u u u -上的两有理曲线段[]01,)(u u u r --∈与[]10,)(u u u r ∈+组合成一有理曲线)(u p ，它们在0u 处具有公共的左右连接点)()()(000u u u r r r ==+-，然而相应的两齐次点)(0u -R 与)(0u +R 可以不是同一点，即)(u R 在0u 处可以位置不连续，只需满足条件：
0),()(000≠=-+αα R R u u （9.9.1）
即当两齐次点位置矢量互为标量倍数时，则它们具有相同的投影点。

下面我们考察切矢连续性。

对)(u r 关于u 求一阶导矢，令其在0u 处的左右切矢相等，即)()(00u u -+=r r
，则有： )()()(01000u u u --++=R R R αα （9.9.2）
这表明)(u R 在0u 处的左右切矢的差矢量平行于齐次点位置矢量)(0u R （当10=α时）。

按照上述方法继续逐一考察，则可得到高阶参数连续性的约束条件：
齐次曲线)(u R 的投影即有理曲线)(u r 在参数u 处r C 连续，当且仅当存在常数i α，r i ,,1,0 =，使得下列约束成立：
r i u C u i
j i j i j
i i R R ,,1,0,)()(0
)
()
( ==∑=--+α （9.9.3）
写成矩阵形式，有
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------------+-++++)()()()()(2)()()()()()
()1(01
12
211
00
3212111010
12010
)()
1(u u u u u C C C C C C C u u u u u r r r r r r r r r r r r r r r r r r R R R R R R R R R R
ααααααααααααααα （9.9.4） 该公式的推导借助于喷射空间（Jet Space ）的概念。

9.9.2 有理几何连续性条件
齐次曲线)(u R 的投影即有理曲线)(u r 是r G 连续的，当且仅当存在两组实数i i βα ,，r i ,,1,0 =，使得下述约束条件成立：
r i u A C u i
j j
l l l j j i j
i i R R ,,1,0,)()(0
)
(,)
( ==∑∑==--+α （9.9.5）
这里，l j A ,是Beta 约束中的系数。

上述条件若写成矩阵形式，则有：
⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--
----++++)()()()(00012)()()()()(12
12102
21
100
1
20
10)(u u u u C C C u u u u r r r
r r r r r
r r R R R R R R R R
βββββ
αααααααααα （9.9.6） 例如当3=r 时，有：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--
--++++)()()()()(3330200000)()()()(3102102111221303210112021010
u u u u u u u u R R R R R R R R βαββαβαβαβαβααβαβαβααβααα 如果10=α，其余的r i i ,,1,0 == α，则有理几何约束简化成Beta 约束；如果11=β，其余的
r i i ,,1,0 == β，则有理几何约束退化为有理参数约束了。

与Beta 约束不同的是，在有理几何约束中包含两组参数i i βα ,。

例如，在1G 的Beta 约束中仅有一个自由度1β，而在1G 有理几何约束中，则有三个自由度110,,βαα 。

其原因在于，对于正则的投影曲线，有
0)(2
≠-=ωωωp p
r
u 即R 和R
是线性独立的。

因此，每个有理几何连续性总能提供两个独立的自由度。

9.9.3 Frenet 标架连续性
Frenet 标架连续性是几何连续性的两种形式之一，它就是Boehm 所指的几何不变量的连续
性。

前面介绍的有理几何连续条件实质上可归结为n 阶切触连续性。

Frenet 标架连续性是建立在高维空间的广义曲率基础上的。

设)(s P 是d 维空间的一条以弧长s 为参数的曲线，则它的Frenet 标架及高阶曲率定义如下：
1,,2,1,)()()()()(0)()()(11101-=⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
+'=='=--+d i s s s s s s s s i i i i i k v k v v k P v （9.9.7）
此处)(s i k 的选取应使11=+i v 。

显然，{})(,),(1s s d v v 是d 维空间的一组正交基，称之为曲线)
(s P 的Frenet 标架。

)(,),(11s s d -k k 叫做曲线)(s P 的一阶曲率、二阶曲率、…、1-d 阶曲率，各阶。