黑龙江省哈尔滨市第二十二中学高一数学理期末试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第二十二中学高一数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）
A．关于直线x=对称B．关于直线x=﹣对称
C．关于直线x=对称D．关于直线x=﹣对称
参考答案：
B
【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．
【分析】函数解析式提取，利用两角差的正弦函数公式化简，利用正弦函数图象的性质即可做出判断．
【解答】解：函数y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），
∴x﹣=kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，
则函数的图象关于直线x=﹣对称．
故选：B．
【点评】本题考查了两角差的正弦函数公式，考查正弦函数图象的性质，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题．
2. 已知a，b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于 ( )
A－1 B0 C1 D±1
参考答案：
C
略
3. 已知θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ﹣cosθ的值为（）A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由已知求得tanθ，再由sinθ﹣cosθ=，结合弦化切得答案．
【解答】解：由tan（θ+）=，得，
即，解得tanθ=．
∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，
则sinθ﹣cosθ===．故选：C．
4. 直线ax+2y﹣1=0与直线2x﹣3y﹣1=0垂直，则a的值为（）
A．3 B．﹣3 C．D．﹣
参考答案：
A
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】利用两条直线垂直的充要条件，建立方程，即可求出a的值．
【解答】解：∵直线ax+2y﹣1=0与直线2x﹣3y﹣1=0垂直，
∴2a+2×（﹣3）=0，
解得a=3，
故选A．
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系的应用，考查计算能力，属于基础题．
5. 向量＝（1，－2），||＝4||，且、共线，则可能
是（）
A．（4，8）B．（－4，8）C．（－4，－8）D．（8，4）
参考答案：
B
略
6. 若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（）
A. 平行
B. 异面
C. 相交
D. 以上皆有可能
参考答案：
D
【分析】
通过图形来判断直线的位置关系即可得到结果.
【详解】若，，，位置关系如下图所示：
若，，则，可知两条直线可以平行
由图象知，与相交，可知两条直线可以相交
由图象知，与异面，可知两条直线可以异面
本题正确选项：
【点睛】本题考查空间中直线的位置关系，属于基础题.
7. 如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为
h. 若在容器内放入一个半径为1 的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心O（水没有溢出），则h的值为（）A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，底面半径R＝2×tan30°，可得半球和水的体积和，从而得水的体积，将水的体积用h表示出来，进而求出h．
【详解】作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，底面半径R＝2×tan30°＝
，当锥体内水的高度为h时，底面半径为h×tan30°＝h，
设加入小球后水面以下的体积为V′，原来水的体积为V，球的体积为V球．
所以水的体积为：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查锥体和球的体积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
8. 已知数列的首项，且，则为（）
A．7 B．15 C．30 D．31
参考答案：
D
略
9. 若直线与反比例函数的图像交于点，则反比例函数的图像还必过点（）
A. (-1,6)
B.(1,-6)
C.(-2,-
3) D.(2,12)
参考答案：
C
10. 在中，，，则等
于（）
（A）-16 （B）-8 （C）16 （D）8
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数的值域为R，则实数的取值范围是
．
参考答案：
略
12. 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a ＋
1)与f()的大小关系为
_ ___．
参考答案：
13. 已知a＜0，向量=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），若∥，则a= ．参考答案：
﹣1
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：直接由向量共线的坐标表示列式求得a的值．
解答：∵=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），
由∥，得2（a﹣1）﹣（a+2）（a﹣3）=0，
解得：a=﹣1或a=4．
∵a＜0，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥?a1a2+b1b2=0，
∥?a1b2﹣a2b1=0，是基础题．
14. 甲、乙两个班级各随机选出若干同学的某次测验成绩，其茎叶图如图，则甲班同学成绩的中位数与乙班同学成绩的中位数之和为
参考答案：
145
15. 设数列的前项和为，若，则通项 .
参考答案：
略
16. 已知函数f（x）=2x，若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于x轴对称，则g（x）= ；把函数f（x）的图象向左移1个单位，向下移4个单位后，所得函数的解析式为．
参考答案：
﹣2x y=2x+1﹣4
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】设g（x）图象上任意一点为M（x，y），可得其关于x轴的对称点（x，﹣y）在f（x）的图象上，代入已知解析式变形可得g（x）解析式，再由函数图象变换规律可得第二问．
【解答】解：设g（x）图象上任意一点为M（x，y），
则M关于x轴的对称点（x，﹣y）在f（x）的图象上，
∴必有﹣y=2x，即y=g（x）=﹣2x；
把函数f（x）的图象向左移1个单位，
得到y=2x+1的图象，再向下移4个单位后得到y=2x+1﹣4的图象，
故答案为：﹣2x；y=2x+1﹣4
【点评】本题考查函数解析式的求解方法，涉及函数图象变换，属基础题．
17. （5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是增函数，且f（﹣2）=0，则使得x[f（x）+f（﹣x）]＜0的x的取值范围是．
参考答案：
（﹣2，0）∪（2，+∞）
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，利用数形结合即可得到结论．
解答：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴x[f（x）+f（﹣x）]＜0等价为2xf（x）＜0，∵在（﹣∞，0]上是增函数，且f（﹣2）=0，
∴在（0，+∞]上是减函数，且f（2）=0，函数f（x）的简图如图，
则不等式等价为或，
即x＞2或x＜﹣2，
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次
可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，
lg3=0.4771）
参考答案：
【考点】指数函数的实际应用．
【分析】设出过滤次数，由题意列出基本不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值．
【解答】解：设过滤n次，则，
即，∴n≥．
又∵n∈N，∴n≥8．
即至少要过滤8次才能达到市场要求．
【点评】本题考查了等比数列，考查了等比数列的通项公式，训练了指数不等式的解法，是基础题．19. 已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为
，求：
（1）的解析式；
（2），求的最大值；
参考答案：
（1）.
（2）m<2，；当m>3时，；当时，
⑴根据题意，由于函数在点处取得极小值－4，
使其导数的的取值范围为，可知的两个根为1,3，结合韦达定理可知
⑵由于，那么导数
，求,结合二次函数开口方向向下，以及对称轴和定义域的关系分情况讨论可知：
①当时，
②当m<2时，g（x）在[2，3]上单调递减，
③当m>3时，g（x）在[2，3]上单调递增，
20. 已知直线l：（2k+1）x+（k﹣1）y﹣（4k﹣1）=0（k∈R）与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0交于A，B 两点．
（1）求|AB|最小时直线l的方程，并求此时|AB|的值；
（2）求过点P（4，4）的圆C的切线方程．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）直线l经过定点M（1，2）．判断出点M（1，2）在圆C的内部，所以当直线l⊥MC 时，弦长|AB|取得最小值；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：（1）直线l的方程可化为（2x+y﹣4）k+（x﹣y+1）=0，
由解得，故直线l经过定点M（1，2）．
判断出点M（1，2）在圆C的内部，所以当直线l⊥MC时，弦长|AB|取得最小值，
因为圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，所以圆心C（2，1），半径r=2，，k1=1，即y﹣2=x﹣1，
所以直线l的方程为x﹣y+1=0，此时．
（2）由题意知，点P（4，4）不在圆上，
①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为，即kx﹣y﹣4k+4=0，
由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，
所以所求切线的方程为5x﹣12y+28=0．
②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x=4，
综上，所求切线的方程为x=4或5x﹣12y+28=0．
21. 已知，，求和的值
参考答案：
由 --------------（1）
两边平方，得 ----------------------4分
又则
-----（2） -------8分
由（1）（2）解得 -------------------------------12分22. （本小题满分12分）
（Ⅰ）已知，，且与共线，求的坐标；
（Ⅱ）已知，，且的夹角为，求.
参考答案：
（Ⅰ）由题意设. …………………………………………… 2分由……………………………… 4分
解得. 或……………………… 6分
（Ⅱ）因为向量，故. …………………………………………… 8分所以
…………………………… 10分故…………………………………………………………… 12分。