高考数学压轴专题包头备战高考《矩阵与变换》基础测试题及答案解析

【最新】高中数学《矩阵与变换》专题解析
一、15
1．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤
⎢
⎥⎣⎦
，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .
【答案】2314A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】 由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2
314
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，
即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.
2．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1
323
ax y ax ay a +=-⎧⎨
-=+⎩解的情况.
【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12
x a y ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无
解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31
x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩.
【解析】 【分析】
由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】
()21
333a D a a a a a a
=
=--=-+-, ()()11
233323x D a a a a a a
-==-+=--=-++-, ()()212332623323
y a
D a a a a a a a a a -=
=++=+=++,
①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x
y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩
,即12x a y ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩；
②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；
③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解
可表示为()31
x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩.
【点睛】
本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想
3．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？
【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】
计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】
42
mx y m x my m
+=+⎧⎨
+=⎩ 244(2)(2)1m D m m m m
=
=-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m m
m
+=
=+-=-
22
(2)(1)(2)1
y m m D m m m m m
+=
=-+=+-
（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合
【点睛】
本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.
4．用行列式解关于的二元一次方程组：1
2(1)x y x k y k +=⎧⎨++=⎩.
【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11
k x y k k -=
=-- 【解析】 【分析】
由题方程组中x ,
y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】
由题意可得:11
D 21
k =+= 1k -,11
D 11
X k
k ==+,11 D 22y k k
=
=-,
∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1
D 1X x k ==-,D 2 D 1
y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.
综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解11
21x k k y k ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
; 1k =时,方程组无解. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.
5．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵11a A b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为
21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 若x a A y b ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，求x ，y 的值． 【答案】x ，y 的值分别为0，1．
【解析】
试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1． 试题解析：
由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦
， 所以24,{
22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
．
则][][][12221444x
x x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦
，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．
6．已知数列{}n a 满足条件1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-，且26a = （1）计算134,,a a a ，请猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）请分别构造一个二阶和三阶行列式，使它们的值均为n a ，其中，要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零，并用按某行或者某列展开的方法验证三阶行列式的值为n a
【答案】（1）1341,15,28a a a ===，2
2n a n n =-；证明见解析 （2）
2=1
n n n a n
，
2111
01=0
01
n n n a -，验证见解析 【解析】 【分析】
（1）分别将1,2,3n =代回即可求得134,,a a a ,可猜测2
2n a n n =-,根据数学归纳法证明即
可；
（2）由（1）可构造二阶行列式为
21
n n n
,根据要求可构造三阶行列式为
2111
010
01
n n -,并展开求值进行验证即可 【详解】
（1）当1n =时,()1021a =-,即11a =； 当2n =时,()()323136115a a =-=⨯-=； 当3n =时,()43241a a =-,则428a =；
猜测2
2n a n n =-,
证明：当1,2,3,4n =时,2
2n a n n =-成立；
假设当()5n k k =≥时,2
2k a k k =-成立,
则()()()1111k k k a k a +-=+-, 所以()()()()()2
221112121123121111
k k k a k k k k k k k k k k +++=
--=+-=++=+-+--, 即当1n k =+时,等式也成立,
综上,2
2n a n n =-成立
（2）由（1）,因为2
221n a n n n n n =-=⋅-⋅,
则可构造二阶行列式为
21
n n n
；
因为要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零,可构造三阶行列式为
2111010
01
n n -,检验,()()()2211101211102120
01
n n n n n n n n n a -=-⋅-⋅=-=-=,故该三阶行列式符合题意 【点睛】
本题考查利用数学归纳法证明,考查行列式的应用,考查数列的通项公式,考查数列的项,考查运算能力,考查猜测推理的能力
7．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
，并对解的情况进行讨
论.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】
22242244,2,21
1
y x m m m m D m D m m D m m m
m
m
m
++=
=-=
=-++=
=-
当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解2
12m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.
综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】
本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.
8．
已知函数2sin ()1
x x f x x -=
．
（1）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域；
（2）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
4a =，5b c +=，求ABC V 的面积．
【答案】（1）1⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
；（2 【解析】 【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域． （2）由条件求得A ，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积． 【详解】 解：（1）
21()sin cos cos 2)sin 2sin 223f x x x x x x x π⎛
⎫=+=
++=+ ⎪⎝⎭
Q ， 又02
x π
≤≤，得
4
23
33
x π
π
π≤+
≤，
所以sin 21,0sin 2133x x ππ⎛⎫⎛
⎫≤+≤≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
即函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域为0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
；
（2）∵2A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
sin 32A π⎛
⎫∴+=
⎪⎝
⎭， 由(0,)A π∈，知4
3
33
A π
π
π<+
<， 解得：2
33A π
π+
=，所以3
A π=． 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-，
216( c)3b bc ∴=+-．
因为5b c +=，所以3bc =，
1
sin 2ABC S bc A ∆∴==
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．
9．解方程：
23649x x
x
=.
【答案】1x = 【解析】 【分析】
根据行列式的运算性质，求得29346x
x
x
⨯-⨯=，转化为322()3()123
x
x ⨯-⨯=，令
3()2x t =，得到方程1
231t t ⨯-⨯=，进而即可求解
【详解】
根据行列式的运算性质，可得
23293449x
x x
x
=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，
方程两边同除6x ，可得322()3()12
3
x
x
⨯-⨯=，
令3()2
x
t =，且0t >，则21()3
x
t =，可得1231t t
⨯-⨯=，解3
2
t =或1t =-（舍去）， 即33
()2
2
x
=
，解得1x =. 故答案为：1x =. 【点睛】
本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.
10．定义“矩阵”的一种运算()x a b ax by cx dy c y d ⎡⎤⎛⎫
⋅=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，，该运算的意义为点(),x y
在矩阵a b
c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的变换下成点()ax by cx dy ++，，设矩阵11A ⎛=-⎭
()
1已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为)
2，试求点P 的坐标；
()2是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存
在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）14⎫⎪⎭（2）存在，直线方程为：3
y x =或y = 【解析】 【分析】
()1设(),
P x y，由题意，得出关于x、y的方程，解之即得P点的坐标；()2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：
()0
y kx b k
=+≠，该直线上的任一点(),
M x y
，经变换后得到的点
()
N x y
+-仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k，b值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【详解】
()1设(),
P x y
由题意，有
1
2
4
x
x
y y
⎧
=
⎧⎪
+=
⎪⎪
⎨⎨
-=
⎪⎪
⎩=
⎪⎩
，
即P
点的坐标为
1
4
⎫
⎪
⎭
．
()2假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，
所以设直线方程为：()0
y kx b k
=+≠
因为该直线上的任一点()
,
M x y
，经变换后得到的点()
N x y
+-仍在该直线上
()
-=++
y k x b
即
)()
10
k x y b
--=，其中()0
y kx b k
=+≠
代入得
()
2220
k x b
+++=对任意的x∈R
恒成立()
220
20
k
b
+=
+=
⎪⎩
解之得3
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
或
k
b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
故直线方程为y x
=
或y=．
【点睛】
此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．
11．直线l经矩阵M＝
cos sin
sin cos
θθ
θθ
-
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l′：y＝2x，若直线l与l′垂直，求θ的值.
【答案】2
π
θ=
【解析】 【分析】
在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】
在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)
cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故cos sin sin cos x x y y x y θθ
θθ
=-'=+'⎧⎨
⎩，
又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-
即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++= 因为l 与l ′垂直，故
sin 2cos 1
=cos 02sin cos 2
θθθθθ-⇒=+
又(0,)θπ∈，故2
π
θ=.
【点睛】
本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1A -.
【答案】_1
112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 试题分析：
应用结合矩阵变换的定义可得：01b a =⎧⎨=-⎩
，据此求解逆矩阵可得：_1
112102A ⎡
⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 试题解析：
设(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵110
2
A -=
对应的变化下得到
122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=， 与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得0
1b a =⎧⎨=-⎩，故
1102A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
, 求得逆矩阵_1
112102A ⎡
⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
13．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵
1M -．
【答案】1
3255415
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
列出方程组，即可求出
4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵1M -．
【详解】
解：因为02513MN ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩
所以4,3x y ==；
矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵1
3255415
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．
14．已知矩阵14a b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3.
（1）求a ，b 的值；
（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u r
. 【解析】 【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】
（1）令2()()(4)(4)4014
a b
f a b a a b λλλλλλλ--=
=--+=-+++=-， 于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r
，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r
， 故2343x y x x y y +=⎧⎨
-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦r ．
【点睛】
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
15．已知向量11α-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；
（2）求2A .
【答案】（1）4,3.a λ=⎧⎨=⎩（2）2
16709A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r
，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。

（2）直接利用矩阵的乘法法则进行运算。

【详解】
解：（1）因为矩阵103a A ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r ，
所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,3.a λ=⎧⎨=⎩ （2）由（1）知4103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2
4141167030309A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【点睛】
本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题。

16．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，
属于特征值的一个特征向量为
.求矩阵.
【答案】
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得
，
，，
.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
17．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和
相应的特征向量.
【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向
量． 【详解】
解：设a b C c d ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得12
1
4
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦. 设()()()21
2
142561
4
f
λλλλλλλ--=
=--+=-+-，
令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
； 当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
. 【点睛】
本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．
18．设变换T 是按逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；
（2）求曲线2
:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.
【答案】（1）()1,1-；（2）2
y x =-.
【解析】 【分析】
（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；
（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】
（1）由题意变换T 是按逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是M ， 可知cos sin
012
210sin cos 2
2M ππππ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫
==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭
， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.
（2）设x y ⎛⎫
⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00
x y y x =⎧⎨=-⎩，
因为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在曲线2
:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，
即2
y x =-，
所以曲线2
:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2
y x =-. 【点睛】
本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.
19．已知矩阵4321M -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.
【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，（2）
34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
r .
【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g ，即可求3M αr
．
【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-，
所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．
（2）7132512α⎛⎫⎡⎤
⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g
所以33
1349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r ．
【点睛】
本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
20．设()3322
k k
x k x f x k x
-=
+⋅（x ∈R ，k 为正整数）
（1）分别求出当1k =，2k =时方程()
0f x =的解.
（2）设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234a a a a +++的值及数列{}n a 的前2n 项和. 【答案】（1）1k =时,方程()0f x =的解为2x =，3x =;2k =时， ()0f x =的解为
6x =，4x =（2）123415a a a a +++=;前2n 项和为2133
2222
n n n ++-+
【解析】 【分析】
（1）根据定义化简函数()f x 的解析式，然后根据一元二次方程求出当1k =，2k =时方程()0f x =的解即可；
（2）由()0f x ≤即()(
)32
0k
x k x --≤的解集为[]21
2,k k a
a -建立关系式，然后取
1k =，2k =可求出1234a a a a +++的值，最后根据
()()()212342121234212n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++L L 进行求
解即可； 【详解】
解：（1）()(
)()()2
32
3232k
k
k
f x x k x k x k x =-++⋅=--，
当1k =时()()()32f x x x =--，所以方程()0f x =的解为2x =，3x =； 当2k =时()()()64f x x x =--，所以方程()0f x =的解为6x =，4x =； （2）由()0f x ≤即()(
)32
0k
x k x --≤的解集为[]21
2,k k a
a -.
∴2122123232
k k k k
k k a a k a a k --⎧+=+⎨⋅=⋅⎩， ∴1k =时，1
123125a a +=⋅+=，2k =时，2
3432210a a +=⋅+=.
∴123451015a a a a +++=+=
()()()212342121234212n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++L L ()()()()()12231232232312222n n n n =⋅++⋅+++⋅+=+++++++L L L
()()2121213332221222
n
n n n n n +-+=⋅+=+-+-.
【点睛】 本题主要考查了二阶行列式的定义，以及数列的求和，同时考查了计算能力，属于中档题.。