高中数学5-3-2极大值与极小值苏教版选择性必修第一册

判别 f (x0 ) 是极大、极小值的方法． 若 x0 满足f (x0 )＝0，且在 x0 的两侧 f (x) 的导数异号，则 x0 是 f (x) 的极值点，f (x0 )是 极值，并且如果 f (x) 在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0是 f (x) 的极大值点，f (x0 ) 是极大 值；如果 f (x) 在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f (x) 的极小值点，f (x0 ) 是极小值．
数学建构
1．极大值．
一般地，若存在 ＞0 ，当x (x1－，x1＋），都有 f (x) ≤ f (x1)，则称 f (x1) 为函数 f (x)
的一个极大值． 2．极小值．
一般地，若存在 ＞0 ，当x (x1－，x1＋），都有 f (x) ≥ f (x2 )，则称 f (x2 )为函数 f (x)
5.3.2 极大值与极小值
情境问题
函数的导数与函数的单调性的关系是什么？
设函数 y＝f (x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y＞0 ，那么函 数y＝f (x)为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内 y＜0 ，那么函数 y＝f (x) 为在这个区间内的减函数．
学生活动
用导数求函数单调区间的步骤是什么？ 1．探究1：函数 f (x) 的导数 f (x) ． 2．探究2：令 f (x)＞0 ，解不等式得 x 的范围就是递增区间． 3．探究3：令 f (x)＜0 ，解不等式得 x 的范围就是递减区间．
数学构建
求可导函数 f (x) 的极值的步骤．
①确定函数的定义区间，求导数 ；
②求方程 f (x)＝0 的根；
③用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f (x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正， 那么 f (x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f (x) 在这个根处无极值．
的一个极大值． 3．极值．
函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
数学建构
说明： （1）在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值是函数值； （2）极值是一个局部的概念定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或 最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （3）函数的极值不是惟一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点 可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
数学构建
极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
x1是极大值点，x4是极小值点，而f (x4 )＞f (x1) ．
Байду номын сангаас
数学构建
数学应用
例1 求 f (x)＝x2－x－2 的极值．
解 f (x)＝2x－1，令 f (x)＝0，解得 x＝ 1． 2
列表如下表所示．
x
f (x) f (x)
1 左侧 2
f (x)＜0
1 2
f (x)＝0
极小值f (1) 2
因此，当 x＝ 1 时， f (x) 有极小值 f (1)＝－9 ．
2
24
1 右侧 2
f (x)＞0
小结
1．函数的极大、极小值的定义以及判别方法．
2．求可导函数 f (x) 的极值的三个步骤．
3．可导函数极值点的导数为 0，但导数为零的点不一定是极值点．