1989考研数一真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 已知(3)2f '=,则 0
(3)(3)
lim
2h f h f h
→--=_______.
(2) 设()f x 是连续函数,且1
()2
()f x x f t dt =+⎰
,则()f x =_______.
(3) 设平面曲线L 为下半圆周y =则曲线积分
22()L
x y ds +=⎰
_______.
(4) 向量场2
2
(,,)ln(1)z
u x y z xy i ye j x z k =+++在点(1,1,0)P 处的散度divu =_______.
(5) 设矩阵300140003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100010001E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,则逆矩阵1
(2)A E --=_______.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 当0x >时,曲线1
sin
y x x
= ( ) (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线
(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线
(2) 已知曲面2
2
4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的
坐标是 ( ) (A) (1,-1,2)(B)(-1,1,2) (C) (1,1,2)(D)(-1,-1,2)
(3) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的
解,1C 、2C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A)11223C y C y y ++(B)1122123()C y C y C C y +-+
(C)1122123(1)C y C y C C y +---(D)1122123(1)C y C y C C y ++-- (4)设函数2
(),01,f x x x =≤<而1
()sin ,,n
n S x b
n x x π∞
==
-∞<<+∞∑其中
1
02()sin ,1,2,3,n b f x n xdx n π==⎰…,则1
()2S -等于 ( )
(A)12-(B)14-(C)14(D)12
(5) 设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式||0A =,则A 中 ( )
(A)必有一列元素全为0
(B)必有两列元素对应成比例
(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1)设(2)(,)z f x y g x xy =-+,其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续的二阶偏导数,
求2z x y
∂∂∂. (2) 设曲线积分
2()C
xy dx y x dy ϕ+⎰
与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0ϕ=,
计算
(1,1)
2(0,0)
()xy dx y x dy ϕ+⎰
的值.
(3) 计算三重积分
()x z dV Ω
+⎰⎰⎰
,其中Ω
是由曲面z =
与z =所围成的区域.
四、(本题满分6分.)
将函数1()arctan 1x
f x x
+=-展为x 的幂级数.
五、(本题满分7分.)
设0
()sin ()()x
f x x x t f t dt =-
-⎰
,其中f 为连续函数,求()f x .
六、(本题满分7分.)
证明方程0
ln x x e π
=
-⎰在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.
七、(本题满分6分.)
问λ为何值时,线性方程组
1312312
34226423
x x x x x x x x λλλ+ =⎧⎪
++=+⎨⎪++=+⎩ 有解,并求出解的一般形式.
八、(本题满分8分.)
假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明：
(1)
1
λ
为1A -的特征值； (2)
A
λ
为A 的伴随矩阵A *的特征值.
九、(本题满分9分.)
设半径为R 的球面∑的球心在定球面2
2
2
2
(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？
十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)
(1)已知随机事件A 的概率()P A =0.5,随机事件B 的概率()P B =0.6及条件概率
()P B A |=0.8,则和事件A B 的概率()P A B =_______.
(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,
则它是甲射中的概率为_______. (3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程2
10x x ξ++=有实根的概率是______.
十一、(本题满分6分.)
设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差),而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】1- 【解析】原式=01(3)(3)1lim (3)122
h f h f f h -→--'-=-=--. (2)【答案】1x -
【解析】由定积分的性质可知,
1
()f t dt ⎰
和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故
1
()f t dt ⎰
为一常数,为简化计算和防止混淆,令10
()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,
两边0到1积分得
1
1
()(2)f x dx x a dx =+⎰
⎰,
即 []1
1
1
1
1200000
1(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤
=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+,
解之得 1
2
a =-
,因此()21f x x a x =+=-. (3)【答案】π
【解析】方法一：L 的方程又可写成2
2
1(0)x y y +=≤,被积分函数在L 上取值,于是
原积分=
1L
ds π=⎰(半径为1的的半圆周长).
方法二：写出L 的参数方程,
cos sin x t
y t
=⎧⎨
=⎩,(0)t π-≤≤ 则
00
2222()(cos sin 1L
x y ds t t dt π
π
π--+=+=⋅=⎰
⎰⎰.
(4)【答案】2
【解析】直接用散度公式
22[
()()(ln(1))]z P
P divu
xy ye x z x y z
∂∂∂
=+++∂∂∂ 220(1,1,0)
2
2
220
()10112110
z z
y e x e z
=++⋅
=++⋅
=+=++.
(5)【答案】1001
1
022001⎛⎫
⎪ ⎪-
⎪ ⎪⎝
⎭
【解析】由于
3002001002140020120003002001A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,
为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.
方法一：如果对(2)A E E -作初等行变换,则由1
(2)((2))A E E E A E --→-可以直接得出1
(2)A E --.
本题中,第一行乘以()1-加到第二行上;再第二行乘以
1
2
,有 100100100100100100
11
120010020110010022001001001001001001⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ → -→ - ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
, 从而知 1
1
0011
(2)022001A E -⎛⎫
⎪ ⎪-=-
⎪ ⎪⎝
⎭
. 方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,则求A 的伴随矩阵
*a b d b A c d c a *
-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
.
如果0A ≠,这样
1
11
a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎪---⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
. 再利用分块矩阵求逆的法则：1
110000
A A
B B ---⎛⎫
⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
本题亦可很容易求出1
10011
(2)022001A E -⎛⎫
⎪ ⎪-=-
⎪ ⎪⎝
⎭
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(A)
【解析】函数1
sin y x x =只有间断点0x =. 001lim lim sin x x y x x ++→→=,其中1sin
x
是有界函数,而当0x +→时,x 为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小, 所以 001
lim lim sin 0x x y x x
++
→→==,故函数没有铅直渐近线.
01sin
1sin lim lim
lim 11x x x t x y t x t
x
+→+∞→+∞→===令, 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0
lim ()x x f x →=∞,则
0x x =是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞
=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.
(2)【答案】(C)
【解析】题设为求曲面:(,,)0S F x y z =(其中2
2
(,,)4F x y z z x y =++-)上点P 使S 在该点处的法向量n 与平面2210x y z ++-=的法向量{}02,2,1n =平行.
S 在(,,)P x y z 处的法向量
{},,2,2,1F F F n x y x y z ⎧⎫
∂∂∂==⎨⎬∂∂∂⎩⎭
,
若0//,n n 则0,n n λλ=为常数,即22,22,1x y λλλ===.即1,1x y ==. 又点(,,)P x y z S ∈,所以2
2
22(,)(1,1)
44112x y z x y ==--=--=,故求得(1,1,2)P .
因此应选(C). (3)【答案】(D)
【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,1323,y y y y --为方程对应齐次方程的特解,所以方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解为
1132233()()y C y y C y y y =-+-+,
即1122123(1)y C y C y C C y =++--,故应选D. (4)【答案】(B)
【解析】()S x 是函数()f x 先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于()S x 是奇函数,于是1
1()()22
S S -=-.
当12x =时,()f x 连续,由傅式级数的收敛性定理,21111
()()()2224S f ===.因此, 11
()24
S -=-.应选(B).
(5)【答案】(C)
【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.
因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了
||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.
以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,
条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.
若123124125A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.
这样用排除法可知应选(C).
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求
z
x
∂∂,也可以先求z y ∂∂.
方法一：先求z
x
∂∂,由复合函数求导法,
1
212(2)()()2z f x y g x g xy f g yg x x x x
∂∂∂∂
''''''=-++=++∂∂∂∂, 再对y 求偏导,得
21
2(2)2(2)z f g yg f x y x y y y
∂∂∂
'''''=++=-∂∂∂∂ 111222122()()()()g x g xy g yg x yg xy y y y y ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂
'''''''''+++++⎢⎥⎢⎥
∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦
11
1222122200f g xg g yg xyg '''''''''''=-+⋅+++⋅+ 21
2222f xg g xyg '''''''=-+++. 方法二：先求
z
y
∂∂, 1
22(2)()()z f x y g x g xy f xg y y y y
∂∂∂∂
'''''=-++=-+∂∂∂∂, 再对x 求偏导数,得
222
()z z f xg x y y x x
∂∂∂
''==-+∂∂∂∂∂ 22122(2)()()f x y g xg x xg xy x x x
∂∂∂
''
'''''=--+++∂∂∂
2
21222f g xg xyg '''''''=-+++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点
(,)x y 处的偏导数存在,且
,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：先求出()x ϕ,再求曲线积分.
设(,),(,)P x y Q x y 有连续偏导数,在所给的单连通区域D 上,
L
Pdx Qdy +⎰
与路径无
关,则在D 上有
Q P x y
∂∂=∂∂,所以()2,y x xy ϕ'=即2
()2,()x x x x C ϕϕ'==+.由(0)ϕ=0,得 0C =,即2()x x ϕ=,因此
(1,1)
(1,1)
(1,1)2
2
2
22
22(0,0)(0,0)(0,0)
1()2I xy dx y x dy xy dx yx dy y dx x dy ϕ=+=+=+⎰⎰⎰
(1,1)(0,0)(1,1)2222(0,0)111
()()222
d x y x y ===⎰. 或取特殊路径如图：
11
2220
01L
I xy dx yx dy dx y dy =+=+⎰⎰⎰
1
201122
y ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦. 方法二：不必求出()x ϕ,选取特殊的路径,取积分路径如图,则
(1,1)
2(0,0)
()I xy dx y x dy ϕ=+⎰
1
10
11(0)022
y dy xdx ϕ=+=+
=⎰⎰. (3)【解析】利用三重积分的性质,
Ω关于yz 平面对称,x 对x 为奇函数,所以0xdV Ω
=⎰⎰⎰,即()x z dV zdV Ω
Ω
+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
Ω是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为z 轴、半顶角为
4
π
的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则020014
π
θπϕρΩ≤≤≤≤≤≤：，，,
所以 2
cos sin I zdV d d d ρϕρ
ϕρϕθΩ
Ω
=
=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰
21
13
34400000
1
cos sin 2sin 22d d d d d π
π
π
θϕϕϕρρπϕϕρρ==⎰⎰⎰⎰⎰ 1
440
011cos 2248
π
π
πϕρ⎡⎤⎡⎤=-⋅=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦.
四、(本题满分6分.)
【解析】直接展开()f x 相对比较麻烦,可()f x '容易展开,
2222
211(1)(1)21
()1(1)(1)(1)11()1x x f x x x x x x x
--+⋅-'=
⋅==+--++++-. 由201
1(1)(1),(||1)1n n
n n n t t t t t t
∞
==-+-+-+
=-<+∑,令2t x =得
24
2222
111(1)(1),(1)11n
n
n n n x x x x x t x
∞
===-+-+-+
=-<++∑
即 22
1()(1),(||1)1n n
n f x x x x ∞
='==-<+∑ 所以
()()(0)x
f x f u du f '=+⎰,
22000
010(1)arctan (1)104x x n
n
n n n n u du u du π∞
∞
==+=-+=+--∑∑⎰⎰ 210(1)421
n n
n x n π
+∞
==+-+∑,(||1)x < 当1x =±时,式210
(1)21n n
n x n +∞
=-+∑均收敛,而左端1()arctan 1x f x x +=-在1x =处无定义.
因此 21
01(1)()arctan
,[1,1)1421
n n n x f x x x x n π∞+=+-==+∈--+∑.
五、(本题满分7分.)
【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,
()sin ()()sin ()()x x x
f x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =--=-+⎰⎰⎰,
所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得
()cos ()()()cos ()x x
f x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰,
再求导,得
()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-.
这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为2
10r +=, 此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin x
e x αβ,i i αβ±=±为特征根,因此非
齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.
代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2
x
Y x =,所以 12()cos sin cos 2
x
f x c x c x x =++,
又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即1()sin cos 22
x
f x x x =+.
六、(本题满分7分.)
【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.
令
()ln x f x x e π
=-+⎰,
其中
π
⎰
是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故
0π
>⎰
,为简化计算,
令0
0k π=>⎰
,即()ln x
f x x k e
=-+,
则其导数11
()f x x e
'=
-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0()0,f x x e
f x e x '><<⎧⎨
'<<<+∞
⎩,
所以x e =是最大点,最大值为()ln 0e
f e e k k e
=-
+=>. 又因为00lim ()lim (ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k e
x f x x k e ++→→→+∞
→+∞⎧
=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞
⎪⎩,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)
e +∞各有且仅有一个零点(不相同),
故方程0
ln x x e π
=-⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.
方法二：
π
π
=⎰
⎰
,
因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥,所以
]00
sin cos 0xdx x π
π
π
==-=>⎰
,
其它同方法一.
七、(本题满分6分.)
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.
第一行分别乘以有()4-、()6-加到第二行和第三行上,再第二行乘以()1-加到第三行上,有
101101
1014122012320123261423012430001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 由于方程组有解的充要条件是()()r A r A =,故仅当10λ-+=,即1λ=时,方程组有解.此时秩()()23r A r A n ==<=,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.
由同解方程组 1323 1,
21,
x x x x +=⎧⎨
-=-⎩令3,x t =解得原方程组的通解
123
1,21,,x t x t x t =-+⎧⎪
=-⎨⎪=⎩(其中t 为任意常数). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,
亦等同于12,,
,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)
设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则
（1） 有唯一解 ⇔()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔()().r A r A n =< （3） 无解 ⇔()1().r A r A +=
⇔b 不能由A 的列向量12,,
,n ααα线表出.
八、(本题满分8分.)
【解析】(1)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得
1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11A ααλ-=.按特征值定义知1
λ
是1A -的特征
值.
(2)由于逆矩阵的定义1
||A A A *-=,据第(1)问有
1||||A A A A ααααλλ
**=⇒=,按特征值定义,即
||
A λ
为伴随矩阵A *
的特征值.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维
列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.
九、(本题满分9分.)
【解析】由球的对称性,不妨设球面∑的球心是(0,0,)a , 于是∑的方程是2
2
2
2
()x y z a R ++-=. 先求∑与球面2
2
2
2
x y z a ++=的交线Γ：
2222222222
(),
22,
x y z a R a R z a x y z a ⎧++-=-⎪⇒=⎨++=⎪⎩. 代入上式得Γ的方程4
2
2
2
2
4R x y R a +=-.
它在平面xOy 上的投影曲线422222
2,(02),
40,R x y b b R R a a
z ⎧+==-<<⎪⎨⎪=⎩
相应的在平面xOy 上围成区域设为xy D ,则球面∑在定球面内部的那部分面积
()xy
D S R =⎰⎰.
将∑的方程两边分别对,x y 求偏导得
,z x z y x z a y z a
∂∂=-=-∂-∂-, 所以
()xy
xy
D D S R =
=⎰⎰⎰⎰
xy
xy
D D ==.
利用极坐标变换(02,0)b θπρ≤≤≤≤有
20
()xy
b
D S R d πθρ=⎰⎰
⎰⎰
极坐标变换
22200()2b R d R πθρ=--⎰⎰
02(2()b R R R ππ==
代入42
2
24R b R a =-,化简得32
()2R S R R a
ππ=-.
这是一个关于R 的函数,求()S R 在(0,2)a 的最大值点,()S R 两边对R 求导,并令
()0S R '=,得23()40R S R R a ππ'=-=,得43
a
R =.
且 4()0,03
4()0,23S R R a S R a R a ⎧'
><<⎪⎪⎨⎪'<<<⎪⎩
,
故43
a
R =
时()S R 取极大值,也是最大值. 因此,当43
a
R =时球面∑在定球面内部的那部分面积最大.
十、填空题(本题满分6分,每小题2分.) (1)【解析】 方法一：()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()(|)0.7P A P B P A P B A =+-=. 方法二：()()()P A
B P B P AB =+()()(|)0.60.50.20.7P B P A P B A =+=+⨯=.
(2)【解析】设事件A =“甲射中”,B =“乙射中”,依题意,()0.6P A =,()0.5P B =,
A 与
B 相互独立,()()()0.60.50.3P AB P A P B =⋅=⨯=.
因此,有()()()()P A
B P A P B P AB =+-0.60.50.30.8=+-=. (())()
(|)0.75()()
P A A B P A P A A B P A B P A B =
==.
(3)【解析】设事件A =“方程有实根”,而方程2
10x x ξ++=有实根的充要条件是其判别式2
40ξ∆=-≥,即{}{}2
2404A ξ
ξ=
-≥=≥.
随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为0, 1,
1(), 16,611, 6.
x x F x x x <⎧⎪-⎪
=≤<⎨-⎪≥⎪⎩
由分布函数的定义()()P x k F k ≤=,
{}{}21210.20.8.P P ξξ≥=-<=-= 而{}20.P ξ≤-=
所以由概率的可加性,有{}{}{}2
()422P A P P ξ
ξξ=
≥=≥+≤-0.800.8=+=.
【相关知识点】广义加法公式：()()()()P A
B P A P B P AB =+-.
条件概率：()
(|)()
P BA P B A P A =
,所以()()(|)()P AB P BA P B A P A ==.
十一、(本题满分6分.)
【解析】~(1,2)X N ,~(0,1)Y N ,由独立的正态变量X 与Y 的线性组合仍服从正态分布,且
235,EZ EX EY =-+=44219DZ DX DY =+=⨯+=,
得 ~(5,9)Z N .
代入正态分布的概率密度公式,有Z 的概率密度函数为 2
(5)18()
z Z f z --=.
【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.
若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,
其中,,a b c 为常数.。