(优辅资源)河北省保定市高三二模理数试题Word版含答案

2017年高三第二次模拟考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}23,log =P a ，{},=Q a b ，若{}0=I P Q ，则=U P Q （ ） A ．{}3,0 B ．{}3,0,2 C ．{}3,0,1 D ．{}3,0,1,2 2．若复数()
223=+-+z x x ()3+x i 为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．3- B ．1 C ．3-或1 D ．1-或3
3．角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2=y x 上，则tan 2θ=（ ）
A ．2
B ．4-
C ．34-
D ．43
- 4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（ ）
A ．
3
3cm 2
B ．32cm
C ．33cm
D ．39cm 5．在区间[]3,3-内随机取出一个数a ，使得{
212∈+x x ax }
20->a 的概率为（ ） A ．
310 B ．23 C ．35 D ．12
6．设V ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6
π
=C ，12+=a b ，则V ABC
面积的最大值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．16
D ．21
7．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费
1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（ ）
A ． 2.0 2.2=+y x
B ．0.6 2.8=+y x
C ． 2.6 2.0=+y x
D ． 2.6 2.8=+y x
8．已知一个球的表面上有A 、B 、C 三点，且==AB
AC =BC 若球心到平面ABC 的距离为1，则该球的表面积为（ ）
A ．20π
B ．15π
C ．10π
D ．2π
9．当双曲线22
2
1862-=+-x y m m
的聚焦取得最小值时，其渐近线的方程为（ ） A ．y x =± B ．23y x =±
C.1
3y x =± D ．12
=±y x 10．已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2
3
+=
n n n S a ，则1-n n a a 的最大值为（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．3
D ．1 11．若点(),P x y 的坐标满足1
ln
1=-x y
，则点P 的轨迹大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 12．在平面直角坐标系中，定义()12,=-d P Q x x 12+-y y 为两点()11,P x y ，()
22,Q x y
之间的“折线距离”.则下列命题中：
①若C 点在线段AB 上，则有()()(),,,+=d A C d C B d A B .
②若点A ，A ，A 是三角形的三个顶点，则有()()(),,,d A C d C B d A B +＞. ③到()1,0-M ，()1,0N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线0=x . ④若A 为坐标原点,B
在直线0x y +-=上，则(),d A B
的最小值为真命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知V ABC 中，若3=AB ，4=AC ，6⋅=uu u r uuu r
AB AC ，则=BC ．
14．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件25,2,5.-≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
x y x y x 则该
校招聘的教师人数最多是 名．
15．若直线10x ay +-=与2430x y +-=平行，则5
1x a x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
的展开式中x 的系数
为 ．
16.已知定义在()0,∞上的函数()f x 的导函数()f x '是连续不断的，若方程()0f x '=无
解，且()0,x ∀∈+∞，()2015log 2017-=⎡⎤⎣⎦
f f x x ，设()
0.5
2=a f ，()4log 3b f =，()log 3c f π=，则,,a b c 的大小关系是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知数列{}n a 是等差数列，且1a ，2a （12<a a ）分别为方程2
650-+=x x 的二根.
（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）在（1）中，设=
+n n S b n c ，求证：当1
2
=-c 时，数列{}n b 是等差数列. 18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队
员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）.若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号.
（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？
（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望.
19．如图，V ABC 为边长为2的正三角形，∥AE CD ，且⊥AE 平面ABC ，
22==AE CD .
（1）求证：平面⊥BDE 平面BCD ； （2）求二面角--D EC B 的高.
20．已知椭圆C ：22221+=x y a b ()＞＞a b c 的离心率为1
2
，(),0A a ，()0,b b ，(),0-D a ，
△ABD 的面积为（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，设(),o o P x y 是椭圆C 在第二象限的部分上的一点，且直线PA 与y 轴交于点
M ，直线PB 与 x 轴交于点N ，求四边形ABNM 的面积.
21．已知函数()()ln 1=--f x x a x （1）求函数()f x 的极值；
（2）当0a ≠时，过原点分别做曲线 ()y f x =与x
y e =的切线1l ，2l ，若两切线的斜率
互为倒数，求证：12＜＜a .
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,θθ=⎧⎨=+⎩
x y （θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1
sin cos θθρ
+=.
（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求直线l 被圆C 所截得的弦长. 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()1=-f x x 12++-x . （1）求不等式()1≥f x 的解集；
（2）若关于x 的不等式()2
2≥--f x a a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.
2017年高三数学二模理科答案
一、选择题
1-5:CBDAD 6-10:BDABC 11、12：BC
二、填空题
13
．7 15．210 16．a c b >>
三、解答题
17．解：（1）解方程2650-+=x x 得其二根分别为1和5
1
a ，
212()<a a a 分别为方程2650x x -+=的二根
所以11=a ，25=a ，所以{}n a 等差数列的公差为4
()
1142
-∴=⋅+
⋅n n n S n 22=-n n （2）当21
-=c 时，==
+n n S b n c 22212-=-n n n n 1+∴-=n n b b 2(1)22+-=n n
所以{}n b 是以2为首项，公差为2的等差数列
18．解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
101
303
= 所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人． 用事件A 表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，
则()4
6410
1==C P A C 1513
121014-=．
因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是
13
14
（２）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．
3831214(0)55ξ===C p C ， 124831228
(1)55C C p C ξ===,
214831212(2)55C C p C ξ===
， 3
43121
(3)55
C p C ξ===， 因此，ξ的分布列如下：
1428015555ξ∴=⨯
+⨯E 1212315555
+⨯+⨯= 19．解：(1)(1)如下图所示：取BD
边的中点F ，BC 的中点为G ，连接AG
，FG ，EF ，由题意可知，
FG 是BCD ∆的中位线
所以∥FG AE 且=FG AE ，即四边形AEFG 为平行四边形， 所以∥AG EF
由AG ⊥平面BCD 可知，EF ⊥平面BCD ，又EF ⊂面BDE ， 故平面⊥BDE 平面BCD
(2)由2=AB ，1=AE 可知，BE =DE =
又2DC BC ==，EC 为△BEC ，△DEC 的公共边，
知≅△△BEC DEC 过点在△BEC 内做BM EC ⊥，垂足为M ，连接DM ，则
DM EC ⊥，
所以DMB ∠为所求二面角的平面角 在等腰三角形EBC
中BE EC ==
2BC =.
由面积相等可知：MB =
，MD =
；BD =根据余弦定理222cos 2+-∠=⋅⋅MD MB BD DMB MD MB 1
4
=
所以二面角D EC B --
正弦值为
4
20．解：（1）由题意得(
)22212122
⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩
c a a b a b c 解得2=a
，=b 所以椭圆C 的方程为22
143
+=x y .
（2）由（1）知，()2,0A
，(B ，由题意可得1
2
=
⋅四边形ABNM S AN BM 因为00(,)P x y ，020-<<x
,00<<y 22
003412+=x y .
所以直线PA 的方程为0
0(2)2
=
--y y x x 令0=x ，得0
022
=-
-M y y x .
从而=M BM
y 0
022
=
-y x . 直线PB
的方程为0
=
y x
令0=y
，得=N x 从而2=-N AN
x 2=.
所以⋅=AN
BM 0
222-y x
=
=
=. 1
2
∴=
⋅四边形ABNM S AN
BM = 21. 解：（1）1
()f x a x
'=-
①若0a ≤时，1
()f x a x
'=
-0> 所以函数()f x 在()0,+∞单调递增，故无极大值和极小值 ②若0>a ，由1()0'=
-=f x a x 得1=x a
， 所以1
(0,)∈x a
.函数()f x 单调递增，1
()∈+∞，x a
，函数()f x 单调递减 故函数()f x 有极大值ln 1--a a ，无极小值.
（2）设切线2l 的方程为2y k x =，切点为22(,)x y ，则22x
y e =，
2222
x y k e x ==
，所以21x =，2y e =，则22x
k e e ==． 由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e =
=，1l 的方程为11
y k x x e
==． 设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111()'==-k f x a x 11
1==y
e x ， 所以1
111x y ax e
=
=-，111a x e =-．
又因为111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111
ln 10x x e
-+-= 令11()ln 1m x x x e =-+
-，则22111)('x
x x x x m -=-=， 所以()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．
又0x 为()m x 的一个零点，所以 ①若1(0,1)x ∈，因为11()20m e e e =-+->，1(1)0m e =-<，所以11
(,1)x e
∈， 因为1111
ln 10x x e
-+-= 所以111
=
-a x e
11ln =-x ，所以12a <<． ②若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0=m e ，则1=x e ， 所以11ln 0=-=a x （舍去）． 综上可知，12<<a
22．解：（1）圆C 的参数方程化为普通方程为
22(2)1+-=x y ，
直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，
（2
）圆心到直线的距离2d =
= 故直线l 被圆C
所截得的弦长为
23. 解：（1）原不等式等价于
123≤-⎧⎨-≥⎩x x 或1123-<≤⎧⎨≥⎩x 或1
23>⎧⎨≥⎩x x 解得：32≤-x 或3
2≥x ，
∴不等式的解集为32⎧
≤-⎨⎩
x x 或32⎫
≥
⎬⎭
x . （2）
()|1||1|2=-++-f x x x |(1)(1)|20≥--+-=x x ，
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试 卷 且()22≥--f x a a 在R 上恒成立， 220∴--≤a a ，解得12-≤≤a ， ∴实数a 的取值范围是12-≤≤a。