【单元练】(必考题)初中九年级数学下册第二十六章《反比例函数》经典复习题(答案解析)

一、选择题
1．已知反比例函数13y x
=-，下列结论中不正确的是（ ） A ．图象必经过点11,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭ B ．y 随x 的增大而增大 C ．图象在第二、四象限内
D ．若1x >，则103
y -<<B 解析：B
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积＝k ，可以判断出A 的正误；根据反比例函数的性质：k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大可判断出B 、C 、D 的正误．
【详解】
A 选项：将1x =-代入得13y =故过11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故A 正确；
B 选项：103k =-
<，故在每个象限内y 随x 的增大而增大，故B 错误； C 选项：103
k =-<，故图象过二、四象限，故C 正确； D 选项：若1x >，则103
y -
<<，故D 正确． 故选：B ．
【点睛】 此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是熟练掌握反比例函数的性质：（1）反比例函数y ＝k x
（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． 2．已知反比例函数k y x =
的图像过点(2,3)-，那么下列各点也在该函数图像上的是（ ） A ．(2,3)
B ．(2,3)--
C ．(1,6)
D ．(6,1)-D 解析：D
【分析】 先根据反比例函数k y x
=
经过点（-2，3）求出k 的值，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】
解：∵反比例函数
k
y
x
经过点（-2，3），
∴k=-2×3=-6．
A、∵2×3=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵1×6=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
D、∵6×（-1）=-6，∴此点在函数图象上，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；
③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；
④若点（m，n）在反比例函数y＝2
x
的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方
程．
上述结论中正确的有（）
A．①②B．③④C．②③D．②④D
解析：D
【分析】
】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，于是得到结论；
③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；
④若点（m，n）在反比例函数y＝2
x
的图象上，得到mn=2，然后解方程mx2-3x+n=0即可
得到正确的结论；
【详解】
解：①∵方程x2+2x-8=0的两个根是x1=-4，x2=2，则2×2≠-4，∴方程x2+2x-8=0不是倍根方程，故①错误；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则2x1=x2，
∵x1+x2=-a，x1•x2=2，
∴2x12=2，解得x1=±1，
∴x2=±2，
∴a=±3，故②正确；
③解方程（x-3）（mx-n ）=0得，123,
n x x m ==， 若（x-3）（mx-n ）=0是倍根方程，则
6n m =或23n m ⨯=， ∴n=6m 或3m=2n ，故③错误；
④∵点（m ，n ）在反比例函数y ＝
2x 的图象上， ∴mn=2，即2n m
=， ∴关于x 的方程为2230mx x m -+
=， 解方程得1212,x x m m
=
=， ∴x 2=2x 1， ∴关于x 的方程mx 2-3x+n=0是倍根方程，故④正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．
4．已知一个正比例函数与一个反比例函数的图像交于（－3，4），则这两个函数的表达式分别是（ ）
A ．412,3y x y x
== B ．412,3y x y x =-=- C ．412,3y x y x =-
= D ．412,3y x y x
==-B 解析：B
【分析】 用待定系数法分别求出两个函数表达式即可．
【详解】
解：设正比例函数为y ＝kx ，
将（－3，4）代入，得
4＝－3k ， 解得43
k =-， ∴正比例函数为43y x =-
， 设反比例函数为k y x
=， 将（－3，4）代入，得
43k =- 解得k ＝－12， ∴反比例函数为12y x =-
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求正比例函数表达式和反比例函数表达式，熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y x =-与双曲线k y x
=交于A 、B 两点，P 是以点(2,2)C 为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP ，Q 为AP 的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k 的值为（ ）
A ．12
-
B ．32-
C ．2-
D ．14
-A 解析：A 【分析】 连接BP ，证得OQ 是△ABP 的中位线，当P 、C 、B 三点共线时PB 长度最大，PB=2OQ=4，设 B 点的坐标为（x ，-x ），根据点(2,2)C ，可利用勾股定理求出B 点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k 的值．
【详解】
解：连接BP ，
∵直线y x =-与双曲线k y x
=
的图形均关于直线y=x 对称， ∴OA=OB ，
∵点Q 是AP 的中点，点O 是AB 的中点
∴OQ 是△ABP 的中位线，
当OQ 的长度最大时，即PB 的长度最大，
∵PB≤PC+BC ，当三点共线时PB 长度最大，
∴当P 、C 、B 三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B 点的坐标为（x ，-x ），
则()()22BC=
2-23x x ++=， 解得1222,22
x x ==-（舍去） 故B 点坐标为22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，
代入k y x
=中可得：12k =-， 故答案为：A ．
【点睛】
本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．
6．若函数5y x =
与1y x =+的图像交于点(),A a b ，则11a b -的值为 （ ） A ．15-
B ．15
C ．5-
D ．5B 解析：B
【分析】
先把A (a ，b )分别代入两个解析式得到5b a =，b =a +1，则ab =5，b -a =1，再变形11a b -得到b a ab
-，然后利用整体思想进行计算即可. 【详解】
解：把A (a ，b )代入5y x
=与y =x +1， 得5b a
=
，b =a +1， 即ab =5，b -a =1，
所以11a b -=b a ab -=15
. 故选：B.
【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式.
7．同一坐标系中，函数()1y k x +＝与k y x
=的图象正确的是( ) A ． B ．
C ．
D ．D
解析：D
【分析】
先根据四个选项的共同点确定k 的符号，再根据各函数图象的性质确定图象所在的象限即可．
【详解】
解：A 、反比例函数图象位于一、三象限，0k >，则一次函数图象应该交y 轴于正半轴，故本选项错误；
B 、反比例函数图象位于二、四象限，k 0<，则一次函数图象应该交y 轴于负半轴，故本选项错误；
C 、反比例函数图象位于二、四象限，k 0<，则一次函数应该是个减函数，故本选项错误；
D 、反比例函数图象位于一、三象限，0k >，则一次函数图象应该交y 轴于正半轴，故本选项正确；
故选：D ．
【点睛】
此题考查反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键是由k 的取值确定函数所在的象限．
8．已知反比例函数k y x
=
的图象过二、四象限，则一次函数y kx k =+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．B 解析：B
【分析】 先根据反比例函数k y x =
的图象过二、四象限可知0k <，再根据一次函数的性质进行判断即可．
【详解】 解：反比例函数k y x
=的图象过二、四象限， 0k ∴<，
∴一次函数y kx k =+中，0k <，
∴此函数的图象过二、三、四象限．
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，根据反比例函数的图象判断出k 的取值范围是解答此题的关键．
9．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1y x =-
上，下列说法中错误的是（ ） A ．若12x x =，则12y y =
B ．若12x x =-，则12y y =-
C ．若120x x <<，则12y y <
D ．若120x x <<，则12y y >D 解析：D
【分析】
先把点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）代入双曲线1y x =-
，用y 1、y 2表示出x 1，x 2，据此进行判断．
【详解】
∵点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线1y x =-
上， ∴11
1y x =-，221y x =-． A 、当x 1=x 2时，-11x =-2
1x ，即y 1=y 2，故本选项说法正确； B 、当x 1=-x 2时，-11x =2
1x ，即y 1=-y 2，故本选项说法正确；
C、因为双曲线
1
y
x
=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，所以
当0＜x1＜x2时，y1＜y2，故本选项说法正确；
D、因为双曲线
1
y
x
=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，所以
当x1＜x2＜0时，y1＞y2，故本选项说法错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把的P'(1
x
，
1
y
)称
为点P的“倒影点”．直线y=﹣2x+1上有两点A、B，它们的倒影点A'、B'均在反比例函数
y
k
x
=的图象上，若AB5
=，则k的值为()
A．
8
3
-B．
4
3
-C．5 D．10A
解析：A 【分析】
设点A（a，-2a+1），B（b，-2b+1）（a＜b），则A'(1
a
，
1
12a
-
)，B'(
1
b
，
1
12b
-
)，由
AB5
=b=a+1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．
【详解】
设点A(a，﹣2a+1)，B(b，﹣2b+1)(a＜b)，则A'(1
a
，
1
12a
-
)，B'(
1
b
，
1
12b
-
)．
∵AB()()
222
()[2121]5()5
b a b a b a
=-+-+--+=-=(b﹣a)5
=
∴b﹣a=1，即b=a+1．
∵点A'，B'均在反比例函数y
k
x
=的图象上，
∴k 1a =•1112a b =-•112b
-， 解得：k 83=-
． 故选：A ．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k 、a 、b 的方程组是解题的关键．
二、填空题
11．双曲线y ＝k x
经过点A （a ，﹣2a ），B （﹣2，m ），C （﹣3，n ），则m _____n （＞，＝，＜）．＞【分析】先求出反比例函数解析式判断函数的增减性﹣2>﹣3即可判断mn 的大小【详解】∵双曲线y ＝经过点A （a ﹣2a ）∴k ＝﹣2a2＜0∴双曲线在二四象限在每个象限内y 随x 的增大而增大∵B （﹣2m ）C
解析：＞．
【分析】
先求出反比例函数解析式，判断函数的增减性﹣2>﹣3，即可判断m ，n 的大小．．
【详解】
∵双曲线y ＝
k x
经过点A （a ，﹣2a ）， ∴k ＝﹣2a 2＜0， ∴双曲线在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，
∵B （﹣2，m ），C （﹣3，n ），﹣2＞﹣3，
∴m ＞n ，
故答案为：＞．
【点睛】
本题利用函数的性质比较大小，关键是求出函数解析式，掌握反比例函数的性质．
12．反比例函数()0k y x x
=<的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①0k >；②当0x <时，y 随x 的增大而增大；③该函数图象关于直线y x =-对称；④若点()2,3-在该反比例函数图象上，则点()1,6-也在该函数的图象上．其中正确结论的有_________（填番号）．
②③④【分析】观察反比例函数y ＝（x ＜0）的图象可
得图象过第二象限可得k ＜0然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断
【详解】解：①由题图可得：当时则该函数的应满足：则①错误②由题图象可知随的增大而
解析：②③④．
【分析】
观察反比例函数y ＝
k x
（x ＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k ＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
【详解】
解：①由题图可得：
当0x <时，0y >， 则该函数()0k y x x
=
<的k 应满足：0k <， 则①错误，
②由题图象可知， y 随x 的增大而增大，
（反比例函数具有单调性），
则②正确，
③由于该图象为()0k y x x
=<的图象（注意x 的范围），在第二象限。

该图形是轴对称图形，对称轴为y x =-
当x <0时一定关于y x =-对称，则③正确，
④由题可知：
点()2,3-在该反比例函数图象上，
则将()2,3-代入()0k y x x =
<中， 即得：6k =-， 则该函数为6y x =-
， 将1x =-代入：
得到6y =，
可知点()1,6-也在该函数图象上，
则④正确，
综上：正确结论有②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线(0)y kx k =>分别交反比例函数1y x =和9y x
=
在第一象限的图象于点A ，B ，过B 作BD x ⊥轴于点D ，交1y x =的图象于点C ．若BA BC =，则k 的值为________． 【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式即可求得
点ABC 的坐标（用k 表示）再讨论再由AB ＝BC 即可解题【详解】点是和的交点解得：（舍去）代入可得：点的坐标为又点是和的交点解得：（舍去）代入可得：则点 37 【分析】
根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A 、B 、C 的坐标（用k 表示），再讨论再由AB ＝BC 即可解题．
【详解】
点B 是y kx =和9y x
=的交点， 9y kx x
∴==， 解得：1x k =，2x k
= ∴代入可得：3k k =
∴点B 的坐标为,3k k ， 又点A 是y kx =和1y x
=的交点， 1y kx x
∴==， 解得：1x k =，2x k
= 代入可得：y k =A 的坐标为k k ， BD x ⊥轴，
∴点C 的坐标为
3⎛⎭
，
BA BC =，则22BA BC =， 22
2
⎛∴+= ⎝
⎭，
解得：7
k =．
． 【点睛】
本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k 表示点A 、B 、C 坐标是解题的关键．
14．已知()12,y -，()21,y -，()33,y 是反比例函数6y x
=-的图象上的三个点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是______．【分析】根据反比例函数图象的性质可得其图象位于二四象限且在每个象限内y 随x 的增大而增大即可求解【详解】解：反比例函数的图象位于二四象限且在每个象限内y 随x 的增大而增大∴故答案为：
【点睛】本题考查反比
解析：312y y y <<
【分析】
根据反比例函数图象的性质可得其图象位于二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大，即可求解．
【详解】 解：反比例函数6y x
=-
的图象位于二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∴312y y y <<，
故答案为：312y y y <<．
【点睛】
本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
15．如图，在ABO ∆中，90BAO AO AB ∠==，，且点4(2)A ，在双曲线(0)k y x x =>上，OB 交双曲线于点C ，则C 点的坐标为______．
（）【分析】根据等腰直角三角形求得B 得坐标联立方
程即可求得C 得坐标【详解】解：将A 点代入得k=8∴双曲线y ＝（x ＞0）设点B （mn ）m ＞0∵△ABO 为等腰直角三角形则AO ＝BO ＝OB ∴且m ＞0解得即 解析：（6263） 【分析】
根据等腰直角三角形求得B 得坐标，联立方程即可求得C 得坐标．
【详解】
解：将A 点代入得4=
2
k ， k=8， ∴双曲线y ＝
8x
（x ＞0）， 设点B （m ，n ）m ＞0 ∵△ABO 为等腰直角三角形 则AO ＝BO ＝
22OB ∴()()()
222242416{2416n m m n -+-=++=+，且m ＞0 ， 解得62m n ⎧⎨⎩
＝＝， 即B （6，2），
∴直线OB 得解析式为 y ＝13
x ， 联立方程138y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，且x ＞0 解得2626x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴C 点的坐标为：（26263
）
故答案为：（26，263
）． 【点睛】 本题主要考查双曲线与一次函数的交点问题，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
16．在平面直角坐标系中，点A （﹣2，1），B （3，2），C （﹣6，m ）分别在三个不同的象限．若反比例函数y ＝k x
（k ≠0）的图象经过其中两点，则m 的值为_____．-1【分析】根据已知条件得到点在第二象限求得点一定在第三象限由于反比例函数的图象经过其中两点于是得到反比例函数的图象经过于是得到结论【详解】解：点分别在三个不同的象限点在第二象限点一定在第三象限在第
解析：-1．
【分析】
根据已知条件得到点(2,1)A -在第二象限，求得点(6,)C m -一定在第三象限，由于反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过其中两点，于是得到反比例函数(0)k y k x
=≠的图象经过(3,2)B ，(6,)C m -，于是得到结论．
【详解】
解：点(2,1)A -，(3,2)B ，(6,)C m -分别在三个不同的象限，点(2,1)A -在第二象限， ∴点(6,)C m -一定在第三象限，
(3,2)B 在第一象限，反比例函数(0)k y k x
=≠的图象经过其中两点， ∴反比例函数(0)k y k x
=
≠的图象经过(3,2)B ，(6,)C m -， 326m ∴⨯=-， 1m ∴=-，
故答案为：1-．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
17．如图，四边形OABC 和ADEF 均为正方形，反比例函数8y x
=
的图象分别经过AB 的中点M 及DE 的中点N ，则正方形ADEF 的边长为___ 【分析】设正方形的边长为正方形的边长为再由是的
中点是的中点可知再代入反比例函数求出的值即可【详解】解：设正方形的边长为正方形的边长为是的中点是的中点反比例函数的图象分别经过的中点及的中点解得故答案为 解析：225-+ 【分析】 设正方形OABC 的边长为a ，正方形ADEF 的边长为b ，再由M 是AB 的中点，N 是DE 的中点可知(,)2a M a ，(,)2b N a b ，再代入反比例函数8y x
=
求出b 的值即可． 【详解】 解：设正方形OABC 的边长为a ，正方形ADEF 的边长为b ，
M 是AB 的中点，N 是DE 的中点，
(,)2a M a ，(,)2
b N a b ． 反比例函数8y x
=的图象分别经过AB 的中点M 及DE 的中点N ， ∴82a
a ，82
b a b ，解得4a =，225b ．
故答案为：225-+．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18．如图，过x 轴正半轴上任意一点P 作x 轴的垂线，分别与反比例函数24y x =和12y x =的图象交于点A 和点B .若点C 是y 轴上任意一点，则ABC 的面积为______________．
1【分析】设线段OP=x 则可求出APBP 再根据三
角形的面积公式得出△ABC 的面积=AB×OP 代入数值计算即可【详解】解：设线段OP=x 则PB=AP=∵AB=AP-BP=-=∴S △ABC=AB×OP=
解析：1
【分析】
设线段OP=x，则可求出AP、BP，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积=1
2
AB×OP，
代入数值计算即可．【详解】
解：设线段OP=x，则PB=2
x
，AP=
4
x
，
∵AB=AP-BP=4
x -
2
x
=
2
x
，
∴S△ABC=1
2
AB×OP
=1
2
×
2
x
×x
=1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查反比例函数的k的几何意义，三角形的面积公式，解题的关键是表示出线段OP、BP、AP的长度，难度一般．
19．在反比例函数y＝-
2
k1
x
图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3），若
x1<0<x2<x3，则y1、y2、y3的大小关系为_______．（用“<”连接）y2＜y3＜y1【分析】因为+1>0所以-（+1）<0此函数分布在二四象限在各象限y随x的增加而增大即可判断出y2＜y3＜y1【详解】∵+1>0∴-（+1）<0∴y＝-图象在二四象限第二象限y为正∴
解析：y2＜y3＜y1
【分析】
因为2k+1>0，所以-（2k+1）<0，此函数分布在二，四象限，在各象限y随x的增加而增大，即可判断出y2＜y3＜y1．
【详解】
∵2k+1>0，
∴-（2k+1）<0，
∴y ＝-2k 1x
+， 图象在二，四象限，第二象限y 为正，
∴1y 最大，第四象限内y 随x 增大而增大，所以2y 最小，因此y 2＜y 3＜y 1．
故答案为：y 2＜y 3＜y 1．
【点睛】
此题考查反比例函数图像和系数k 的关系，会数形结合是本题解题关键，学会利用图像解题．
20．如图，△BOD 都是等腰直角三角形，过点B 作AB ⊥OB 交反比例函数y k x
=
(x ＞0)于点A ，过点A 作AC ⊥BD 于点C ，若S △BOD ﹣S △ABC =3，则k 的值为____． 6【分析】设A 点坐标为（ab ）根据等腰直角三角形的性
质得BC=ACOD=BD 由S △BOD-S △ABC=3得出OD2-AC2=6利用平方差公式得到（OD+AC ）（OD-AC ）=6得到a•b=6根据反比
解析：6．
【分析】
设A 点坐标为（a ，b ），根据等腰直角三角形的性质得BC=AC ，OD=BD ，由S △BOD -S △ABC =3得出OD 2-AC 2=6，利用平方差公式得到（OD+AC ）（OD-AC ）=6，得到a•b=6，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=6．
【详解】
设A 点坐标为(a ，b)．
∵△ABC 和△BOD 都是等腰直角三角形，
∴BC=AC ，OD=BD
∵S △BOD ﹣S △ABC =3，
12OD 212
-AC 2=3，OD 2﹣AC 2=6， ∴(OD+AC)(OD ﹣AC)=6，
∴ab=6，∴k=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y k x
=
（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．
三、解答题
21．已知，反比例函数k y x =（k 是常数，且0k ≠）的图象经过点(,3)A b ． （1）若4b =，求y 关于x 的函数表达式．
（2）若点(3,3)B b b 也在该反比例函数图象上，求b 的值． 解析：（1）12y x =
；（2）13b = 【分析】
（1）把A 点代入反比例函数即可求解；
（2）把A 、B 两点代入反比例函数列出方程组即可求解；
【详解】
解：（1）∵4b =，
∴A （4,3），
把A 点代入反比例函数得：34k =
， 即k=12，
∴函数解析式为：12y x
=； （2）把A 、B 代入反比例函数得：
333k b k b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
①② 解得：13b =
． 【点睛】
本题主要考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 22．如图，一次函数3y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x
=≠的图象交于点A 与点(),4B a -．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式3k x x
>-的解集； （3）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点A 重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若POC △的面积为3，求点P 的坐标． 解析：（1）4y x =
；（2）04x <<或1x <-；（3）45,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4或()2,2 【分析】
（1）先求出点B 的坐标，然后利用待定系数法将B 代入反比例函数解析式中即可求出其表达式；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设点P 的坐标为(m ，
4m )(m ＞0)，用m 表示出△POC 的面积，从而列出关于m 的方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）将(),4B a -代入一次函数3y x =-中得：
-4=a-3，
∴–1a =，
∴()1,4B --，
将()1,4B --代入反比例函数(0)k y k x =
≠中得：4k =， ∴反比例函数的表达式为4y x
=
； （2）联立两个函数表达式得 34y x y m =-⎧⎪⎨=⎪⎩
， 整理得：
2340x x --=，
解得4x =或－1，
故点()4,1A ，从图象看，不等式
3k x x
>-的解集为04x <<或1x <-； （3）如图：
设点P 的坐标为()4,0m m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则(),3C m m -， ∴4|(3)PC m m
=--|，点O 到直线PC 的距离为m ， ∴POC △的面积14|(3)|32m m m
=
⨯--=， 解得：5m =或－2或1或2， ∵点P 不与点A 重合，且()4,1A ，
∴4m ≠，又∵0m >，
∴5m =或1或2，
∴点P 的坐标为45,
5⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4或()2,2． 【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解一元二次方程等知识．本题属于中考常考题型．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数152
y x =-+的图象于反比例函数(0)k y k x
=≠的图象相交于点(8,t)A 和点B ．
（1）求反比例函数的关系式和点B 的坐标；
（2）结合图象，请直接写出在第一象限内，当152k x x -+>时x 的取值范围．
解析：（1）B 的坐标为（2，4）；（2）2＜x ＜8
【分析】
（1）把点A （8，t ）代入，求得t 的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的关系式，解析式联立成方程组，解方程组求得点B 的坐标；
（2）根据图象即可求得．
【详解】
解：（1）∵A （8，t ）在一次函数y=-
12x+5的图象上， ∴t=-12
×8+5=1， ∴A （8，1），
∵反比例函数y=
k x （k≠0）的图象经过点A （8，1）， ∴k=8×1=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x
， 解1528y=x
y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 81x y ⎧⎨⎩
＝＝或24x y ⎧⎨⎩＝＝ ∴B 的坐标为（2，4）；
（2）由图象可知，在第一象限内，当152k x x -
+>时，x 的取值范围是2＜x ＜8． 【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小．解题的关键是：确定交点的坐标．
24．小明根据学习函数的经验，对函数y ＝x+
1x 的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y ＝x+1x
的自变量x 的取值范围是 ． （2）如表列出了y 与x 的几组对应值，请写出m ，n 的值：m ＝ ，n ＝ ．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象．
（4）结合函数的图象，请完成：
①当y ＝52
时，x ＝ ；
②写出该函数的一条性质；
③若方程x+1
x
＝t有两个相等的实数根，则t的值是．
x…﹣3﹣2﹣
1
1
2
-
1
3
-
1
3
1
2
1234…
y…
10
3
-
5
2
-
﹣
2
5
2
-
10
3
-m
5
2
2
5
2
n
17
4
…
解析：（1）x≠0；（2）10
3
；
10
3
；（3）画图见解析；（4）①x1＝﹣2，x2＝﹣
1
2
；②函
数图象在第一、三象限且关于原点对称；③t<-2或t＞2．【分析】
（1）由x在分母上，可得出x≠0；
（2）代入x=1
3
、3求出m、n的值；
（3）连点成线，画出函数图象；
（4）①代入y=5
2
，求出x值；
②观察函数图象，写出一条函数性质；
③观察函数图象，找出当x+1
x
=t有两个相等的实数根时t的取值范围（亦可用根的判别
式去求解）．
【详解】
解：（1）∵x在分母上，∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当
1
3
x=时，
110
3
y x
x
=+=；
当x＝3时，
110
3
y x
x
=+=．
故答案为：103，103． （3）连点成线，画出函数图象．
（4）①当52
y =-时，有152x x +=-， 解得：x 1＝﹣2，x 2＝12
-， 经检验，x 1＝﹣2，x 2＝12-
是原方程的根． 故答案为：-2，12
-． ②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
③∵1x t x
+
=有两个不相等的实数根， ∴t ＜﹣2或t ＞2．
故答案为：t=-2或t=2．
【点睛】 本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象、正比例函数的性质以及正比例函数图象，数形结合解题的关键
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠与反比例函数
()0m y m x
=≠的图像交于点()3,1A ，且过点()1,3B --．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图像直接写出当m kx b x +>
时，x 的取值范围． 解析：（1）y ＝
3x ，y ＝x ﹣2；（2）当﹣1＜x ＜0或x ＞3时，kx +b ＞m x ． 【分析】
（1）先把A 点坐标代入m y x
=
中求出m 得到反比例函数解析式，然后利用待定系数法即可求一次函数解析式； （2）结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数()0m y m x =
≠的图象过点A （3，1）， ∴m ＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y ＝3x
； ∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （3，1）和B （﹣1，﹣3），
∴313k b k b +=⎧⎨-+=-⎩
，解得12k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数的表达式为y ＝x ﹣2；
（2）当﹣1＜x ＜0或x ＞3时，kx +b ＞
m x
． 【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点等知识，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数()2m y m 0x
=
≠的图象相交于第一、三象限内的A （3，5），B （a ，﹣3）两点，与x 轴交于点C ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当1y ＞2y 时，x 的取值范围；
（3）在y 轴上找一点P 使PB ﹣PC 最大，求PB ﹣PC 的最大值及点P 的坐标．
解析：（1）一次函数的解析式为12y x =+；反比例函数的解析式为215y x
=
；（2）﹣5＜x ＜0或x ＞3．（3）P （0，2），32【分析】 （1）用待定系数法求反比例函数的解析式：把点A 坐标代入反比例函数解析式中，求得m 的值，即可知反比例函数解析式，将点B 坐标代入，可解得a 的值及点B 的坐标，再将点B 的坐标代入一次函数解析式，解关于,k b 的二元一次方程组,即可求得一次函数的解析式;
（2）观察图象,结合一次函数与反比例函数图象的交点坐标可以解题;
（3）先求一次函数与两坐标轴的交点坐标, 此时，PB ﹣PC ＝BC 最大，P 即为所求，根据勾股定理求得=32BC 【详解】
解：（1）把A （3，5）代入2(0),m y m x =
≠可得m ＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为215y x =
； 把点B （a ，﹣3）代入215y x =
，可得a ＝﹣5， ∴B （﹣5，﹣3）．
把A （3，5），B （﹣5，﹣3）代入1y x b =+，可得3553k b k b +=⎧⎨-+=-⎩
， 解得12k b =⎧⎨=⎩
， ∴一次函数的解析式为12y x =+；
（2）当1y ＞2y 时，﹣5＜x ＜0或x ＞3．
（3）一次函数的解析式为12y x =+，令x ＝0，则y ＝2，
∴一次函数与y 轴的交点为P （0，2），
此时，PB ﹣PC ＝BC 最大，P 即为所求，
令y ＝0，则x ＝﹣2，
∴C （﹣2，0），
∴22
(52)332
BC=-++=．
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式、二元一次方程组的解法、一次函数与反比例函数图象的性质、一次函数图象与两坐标轴的交点坐标求法、线段差的最值、勾股定理等，知识点难度一般，是常见题型，掌握相关知识是解题关键.
27．如图，已知反比例函数y＝k
x
的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值；
(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝k
x
的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范
围．
解析：(1) k＝4， m＝1；(2)当－3≤x≤－1时，y的取值范围为－4≤y≤－4 3 .
【详解】
试题分析：（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值；
（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解．
试题
（1）∵△AOB的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为
4
y
x
=，∵A（4，m），
∴m=4
4
=1；
（2）∵当x=﹣3时，y=﹣4
3
；
当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数
4
y
x
=在x＜0时，y随x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤
﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣4
3
．
考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．28．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝m
x
（m≠0）的图象只有一个交
点，求交点坐标．
解析：（1）一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）（﹣3，6）．
【分析】
（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；
（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得
31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩
， 解得212k b =⎧⎨=⎩
， ∴一次函数的解析式为y ＝2x +12； （2）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝
m x （m ≠0）的图象只有一个交点， ∴212y x m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩
只有一组解， 即2x 2+12x ﹣m ＝0有两个相等的实数根，
∴△＝122﹣4×2×（﹣m ）＝0，
∴m ＝-18．
把m ＝-18代入求得该方程的解为：x ＝-3，
把x ＝-3代入y ＝2x +12得：y ＝6，
即所求的交点坐标为（-3，6）．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．。