人教版八年级数学上册15.3_分式方程(换元法解分式方程)同步习题%2B答案

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15.3 分式方程 换元法
一、选择题
1. 用换元法解方程
x+1x 2
+
x 2x+1
=2时，若设
x+1x 2
=y ，则原方程可化为关于y 的方程是（ ）
A.y 2−2y +1=0
B.y 2+2y +1=0
C.y 2+y +2=0
D.y 2+y −2=0
2. 用换元法解方程
x 2−2x
+
2x x −2
=3时，若设
x 2−2x
=y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那
么这个整式方程是( )
A.y 2−3y +2=0
B.y 2−3y −2=0
C.y 2+3y +2=0
D.y 2+3y −2=0
3. 用换元法解方程x 2+x +1=
2x 2+x
时，若设x 2+x =y ，则原方程可化为( )
A.y 2+y +2=0
B.y 2−y −2=0
C.y 2−y +2=0
D.y 2+y −2=0 4. 用换元法解方程3x x 2−1
+
x 2−1x
=72
，设
x
x 2−1
=y ，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（ ）
A.3y +1y
=7
2
B.2y 2−7y +2＝0
C.3y 2−7y +1＝0
D.6y 2−7y +2＝0
5. 用换元法解方程
y
y 2−3
+
y 2−3y
=5
2
时，如果设x =
y y 2−3
，那么原方程可化为（ ）
A.2x 2−5x +2＝0
B.x 2−5x +1＝0
C.2x 2+5x +2＝0
D.2x 2−5x +1＝0
6. 已知x 为实数，且3
x 2+3x
−(x 2+3x)=2，则x 2+3x 的值为（ ）
A.1
B.1或−3
C.−3
D.−1或3
7. 已知x 为实数，且3x 2+x
−(x 2+x)=2，则x 2+x 的值为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.x 2
8. 用换元法解方程：
x 2−22x
+
x 2x 2−4
=3时，若设
x 2−2x
=y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，
那么这个整式方程是（ ）
A.y 2−6y +1=0
B.y 2−6y −1=0
C.y 2+6y +2=0
D.y 2+3y −1=0
9. 已知实数x 满足x 2−x +1x
2
−1x
=0，则x +1x
的值为（ ） A.2
B.−1
C.−2
D.2或−1
10. 已知x为实数，且x2+1x2+2(x+1x)−1=0，则x+1x的值为（）
A.−3
B.1
C.−3或1
D.3或−1
二、填空题
11. 解分式方程
x
x−1
+x2−1
x
=4
3
时，设
x
x−1
=y，则原方程化为关于y的整式方程是________．
12. 用换元法解方程2x
x−1+x−1
x
=4，若设x
x−1
=y，则可得关于的整式方程________．
13. 解方程(x
x+1)2−x
x+1
−2=0，当设y=________时，有y2−y−2=0．
14. 用换元法解分式方程x2−3x−1=12
x−3x
时，那么(x+1)(x−4)=________．三、解答题
15. 已知x
a−b =y
b−c
=z
c−a
，求x+y+z的值．
16. 已知实数x满足x2+1x−3x−3x−8＝0，求x+1x的值．
试第2页
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17. 阅读下列材料：
解方程：x 4−6x 2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2−6y +5＝0…①， 解这个方程得：y 1＝1，y 2＝5． 当y ＝1时，x 2＝1，∴ x ＝±1； 当y ＝5时，x 2＝5，∴ x ＝±√5
所以原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝−1，x 3=√5，x 4=−√5．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程(x 2−x)2−4(x 2−x)−12＝0时，若设y ＝x 2−x ，则原方程可转化为________； （2）利用换元法解方程：x 2−42x
+2x
x 2−4=2．
18. 阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程：
x−1x
−
4x x−1
=0．
解：设y =
x−1x
，则原方程化为：y −4
y =0，方程两边同时乘以y 得：y 2−4＝0，解得：y ＝±2，
经检验：y ＝±2都是方程y −4
y =0的解， ∴ 当y ＝2时，
x−1x
=2，解得x ＝−1；当y ＝−2时，
x−1x
=−2，解得：x =1
3．
经检验：x ＝−1或x =1
3都是原分式方程的解， ∴ 原分式方程的解为x ＝−1或x =1
3．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
试第4页
（1）若在方程
x−1x
+
x x−1
=5
2中，设________＝y ，则原方程可化为________；
（2）模仿上述换元法解方程：
x−1x+2
−
3x−1
−1＝0．
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15.3 分式方程换元法
一、选择题
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】y2−4
3
y+1＝0
12.【答案】2y2−4y+1=0
13.【答案】x
x+1
14.【答案】−7或0
三、解答题
15.【答案】
解：设x
a−b =y
b−c
=z
c−a
=t，
则有x=(a−b)t，y=(b−c)t，z=(c−a)t，
由此可得：x+y+z=(a−b)t+(b−c)t+(c−a)t=0．
试第6页
故x +y +z 的值为0． 16.【答案】 ∵ x 2
+
1x 2
=(x +1x
)2
−2，
∴ 原方程可变形为(x +1x )2
−3(x +1
x )−10=0．
设x +1
x =t ，则原方程可变形为t 2−3t −10＝0，
解得：t 1＝5，t 2＝−2． ∴ x +1
x
=5或x +1
x
=−2．
17.【答案】y 2−4y −12＝0 设y =
2x x −4
，则
x 2−42x
=1
y
，
原方程变形为：1
y
+y −2＝0
去分母，得y 2−2y +1＝0， 即(y −1)2＝0 解得，y 1＝y 2＝1
经检验，y ＝1是分式方程的根． 所以
2x x 2−4
=1
即x 2−2x −4＝0
解得：x 1＝1+√5，x 2＝1−√5． 经检验，1±√5是分式方程的根．
所以原分式方程的解为：x 1＝1+√，x 2＝1−√ 18.【答案】
x−1x
,y −1y
=5
2，原方程的解为x =1/2或x ＝−1
原方程化为：x−1x+2
−
x+2x−1
=0，
设y =
x−1x+2
，则原方程化为：y −1y
=0，
百度文库精品文档方程两边同时乘以y得：y2−1＝0，解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y−1
y
=0的解．
当y＝1时，x−1
x+2
=1，该方程无解；
当y＝−1时，x−1
x+2=−1，解得：x=−1
2
．
经检验：x=−1
2
是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−1
2
．。