大学物理授课教案-第一章-质点运动学

第一篇 力学1.运动学：只从几何观点研究物体的运动。

如位置、速度、加速度等，而不涉及物体间的相互作用。

力学2.动力学：研究物体间相互作用的规律。

3.静力学：研究力及力矩的平衡问题（此内容本课程不讲）第一章 质点运动学§1-1 质点运动的描述一、参照系 坐标系 质点 1、参照系为描述物体运动而选择的参考物体叫参照系。

2、坐标系为了定量地研究物体的运动，要选择一个与 参照系相对静止的坐标系。

如图1-1。

说明：参照系、坐标系是任意选择的，视处理问题方便而定。

3、质点忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的 物体，这样的物体称为质点。

说明：⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型）⑵质点突出了物体两个基本性质 1）具有质量2）占有位置⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。

y图 1-1⎪⎩⎪⎨⎧二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移1、位置矢量定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为 位置矢量（简称位矢或径矢）。

如图1—2，取的是直角坐标系，r ϖ为质点P 的位置矢量k z j y i x r ϖρϖϖ++= （1-1）位矢大小：222z y x r r ++==ϖ（1-2）r ϖ方向可由方向余弦确定：rx =αcos ，ry =βcos ，r z =γcos2、运动方程质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。

运动方程 ⑴矢量式：k t z j t y i t x t r ϖϖϖϖ)()()()(++= （1-3） ⑵标量式：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z = （1-4） 3、轨迹方程从式（1-4）中消掉t ，得出x 、y 、z 之间的关系式。

如平面上运动质点， 运动方程为t x =，2t y =，得轨迹方程为2x y =（抛物线） 4、位移以平面运动为例，取直角坐标系，如图1—3。

设t 、t t ∆+时刻质点位矢分别为1r ϖ、2r ϖ，则t ∆时间 间隔内位矢变化为（1-5）称r ϖ∆为该时间间隔内质点的位移。

j y y i x x r r r ϖ)ϖϖϖ)()(121212-+-=-=∆ （1-6） 大小为212212)()(y y x x r -+-=∆ϖ讨论：⑴比较r ϖ∆与r ϖ：二者均为矢量；前者是过程量，后者为瞬时量⑵比较r ϖ∆与s ∆（A →B 路程）二者均为过程量；前者是矢量，后者是标量。

一般情况下s r ∆≠∆ϖ。

当0→∆t 时，s r ∆=∆ϖ。

⑶什么运动情况下，均有s r ∆=∆ϖ？图 1-2图 1-3三、速度为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。

1、平均速度如图1-3定义： trv ∆∆=ϖϖ （1-7）称v ϖ为t t t ∆+-时间间隔内质点的平均速度。

j v i v j t y i t x t r v y x ϖϖϖϖϖϖ+=∆∆+∆∆=∆∆= (1-8）v ϖ方向：同r ϖ∆方向。

说明：v ϖ与时间间隔)(t t t ∆+-相对应。

2、瞬时速度v ϖ粗略地描述了质点的运动情况。

为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。

定义：dtr d t r v v t t ϖϖϖϖ=∆∆==→∆→∆00lim lim 称v ϖ为质点在t（1-9）结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。

j v i v j dtdy i dt dx dt r d v y x ϖϖϖϖϖϖ+=+== （1-10）式中dt dx v x =，dtdy v y = 。

x v 、y v 分别为v ϖ在x 、y 轴方向的速度分量。

v ϖ的大小：2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==ϖϖv ϖ的方向：所在位置的切线向前方向。

v ϖ与x 正向轴夹角满足xy v v tg =θ。

3、平均速率与瞬时速率定义：tt t t t s v ∆∆+-=∆∆=内路程（参见图1-3） 称v 为质点在t t t ∆+-时间段内得平均速率。

为了描述运动细节，引进瞬时速率。

定义：dtds t s v v t t =∆∆==→∆→∆00limlim 称v 为t 时刻质点的瞬时速率，简称速率。

当0→∆t 时（参见图1-3），r d r ϖϖ=∆，ds s =∆，有 ds r d =ϖ可知： v dtr d dt r d dt ds v ϖϖϖ====即（1-11）结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。

说明：⑴比较v 与v ϖ：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。

⑵比较v 与v ϖ：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。

四、加速度为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。

1、平均加速度定义：tv v t v a ∆-=∆∆=12ϖϖϖϖ（见图1-4） 称a ϖ为t t t ∆+-时间间隔内质点的平均加速度。

2、瞬时加速度为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。

定义：dtv d t v a a t t ϖϖϖϖ=∆∆==→∆→∆00lim lim 称a ϖ为质点在t（1-12）结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。

j dty d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ϖϖϖϖρϖ2222+=+==式中： 22dt x d dt dv a x x ==，22dty d dt dv a y y ==。

x a 、y a 分别称为a ϖ在x 、y 轴上的分量。

a ϖ的大小： 2222222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y xy x ϖ a ϖ的方向： a ϖ与x 轴正向夹角满足xy a a tg =θ 说明：a ϖ沿v ρ的极限方向，一般情况下a ϖ与v ϖ方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。

瞬时量：r ϖ，v ϖ，v ，a ϖ综上： 过程量：r ϖ∆，v ϖ，v ，a ϖ矢量：r ϖ，r ϖ∆，v ϖ，v ϖ，a ϖ，a ϖ标量：s ∆，v ，v图 1-42五、直线运动质点做直线运动，如图1-5 1、位移i x i x i x r r r ϖρϖϖϖϖ∆=-=-=∆1212 0>∆x ：r ρ∆沿+x 轴方向；0<∆x ：r ϖ∆沿-x 轴方向。

2、速度i v i dtdx dt r d v x ϖϖϖϖ===0>x v ，v ϖ沿+x 轴方向；0<x v ，v ϖ沿-x 轴方向。

3、加速度i a i dtdv dt v d a x x ϖϖϖϖ===0>x a ，a ϖ沿+x 轴方向；0<x a ，a ϖ沿-x 轴方向。

由上可见，一维运动情况下，由x ∆、x v 、x a 的正负就能判断位移、速度和加速度的方向，故一维运动可用标量式代替矢量式。

六、运动的二类问题例1-1：已知一质点的运动方程为j t i t r ϖϖϖ)2(22-+=（SI ），求：⑴t=1s 和t=2s 时位矢； ⑵t=1s 到t=2s 内位移；⑶t=1s 到t=2s 内质点的平均速度； ⑷t=1s 和t=2s 时质点的速度； ⑸t=1s 到t=2s 内的平均加速度；⑹t=1s 和t=2s 时质点的加速度。

解：⑴ j i r ϖϖϖ+=21mj i r ϖϖϖ242-=m⑵ j i r r r ϖϖϖϖϖ3212-=-=∆m⑶ j i ji t r v ϖϖϖϖϖϖ321232-=--=∆∆=m/s ⑷ j t i dtrd v ϖϖϖϖ22-==12xtt B ∆+,图 1-5j i v ϖϖϖ221-=m/sj i v ϖϖϖ422-=m/s⑸ j jt v v t v a ϖϖϖϖϖϖ213212-=--=∆-=∆∆=m/s 2⑹ j dt vd dtr d a ϖϖϖϖ222-===m/s 2例1-2：一质点沿x 轴运动，已知加速度为t a 4=(SI)，初始条件为：0=t 时，00=v ，100=x m 。

求：运动方程。

解：取质点为研究对象，由加速度定义有t dtdv a 4==（一维可用标量式）tdt dv 4=⇒由初始条件有：⎰⎰=tvtdt dv 04得： 22t v =由速度定义得：22t dtdxv ==dt t dx 22=⇒ 由初始条件得：dt t dx tx⎰⎰=02102即10322+=t x m 由上可见，例1-1和例1-2分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。

§1-2圆周运动本节先讨论圆周运动，之后再推广到一般曲线运动。

一、自然坐标系图2-1中，BAC 为质点轨迹，t 时刻质点P 位于A 点，t e ϖ、n e ϖ分别为A 点切向及法向的单位矢量，以A 为原点，t e ϖ切向和n e ϖ法向为坐标轴，由此构成的参照系为自 然坐标系（可推广到三维）CA ,tne ϖ切向）(t e ϖ图 1-6二、圆周运动的切向加速度及法向加速度 1、切向加速度如图1-7，质点做半径为r 的圆周运动，t 时刻，质 点速度t e v v ϖϖ= （2-1）式（2-1）中，v v ϖ=为速率。

加速度为dt e d ve dt dv dt v d a t t ϖϖϖϖ+== （2-2） 式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与t e ϖ共线，称该项为切向加速度，记为t t t t e a e dt dv a ϖϖϖ== （2-3）式（2-3）中，（2-4） t a 为加速度a ϖ的切向分量。

结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数 。

2、法向加速度式（2-2）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。

如图1-8，质点由A 点运动到B 点，有⎪⎩⎪⎨⎧=→→B A ds e e v v t t )ϖϖϖϖ''因为OA e t ⊥ϖ，OB e t ⊥'ϖ，所以t e ϖ、t e 'ϖ夹角为θd 。

t t t e e e d ϖϖϖ-='（见图1-9） 当0→θd 时，有θθd d e e d t t ==ϖϖ。

因为t t e e d ϖϖ⊥，所以t e d ϖ由A 点指向圆心O ，可有n t e d e d ϖϖθ= 式（2-2）中第二项为：n n n t e rv e dt ds r v e dt d v dt e d v ϖϖρϖ2===θ 该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。

称此项为法向加速度，记为 n n e rv a ϖϖ2=（2-5）大小为图 1-7υρ图1-8t 图 1-9（2-6）式（2-6）中，n a 是加速度的法向分量。