高考数学滚动检测6文创新

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 滚动检测6 文
一、填空题
1．(2015²浙江六校联考)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2
＋x －2≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，
x ∈A }，则集合A ∩(∁U B )＝________.
2．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x
1＋x
是奇函数，则下列命题为假命题的是________． ①p 1∧p 2；②p 1∨(綈p 2)；③p 1∨p 2；④p 1∧(綈p 2)．
3．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)
个单位后得到的图象关于直线x ＝π
2
对称，则φ的最小值是________．
4．(2015²河南实验中学质检)已知数列{a n }的通项为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *
)，我们把使乘积a 1²a 2²a 3²…²a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为________．
5．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为________． 6．(2015²烟台诊断)
甲、乙两名同学参加某项技能比赛，7名裁判给两人打出的分数如茎叶图所示，依此判断________成绩稳定，________平均成绩较高．
7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是________． ①m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；②m ⊂α，α∥β，则m ∥β； ③若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β. 8.
设F 1，F 2分别为等轴双曲线x 2
－y 2
＝a 2
的左，右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，则cos∠MAN ＝________.
9．执行如图所示的流程图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为________．
10．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－1
2在区间[－3,5]内的所有零点之和等于________． 11．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2
，
且函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________.
12．(2015²金华十校模拟)已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)上，且
AB ⊥x 轴，AC ∥x 轴，则AC ²AB
BC 2
的最大值为________．
13．(2015²商丘二模)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2
x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的
一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________． 14．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (f (x )－log 2x )＝3，则方程f (x )－f ′(x )＝2的解所在的区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． 二、解答题
15．(2015²乌鲁木齐三诊)若函数f (x )＝sin 2
ax －3sin ax ²cos ax －12 (a >0)的图象与直
线y ＝b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π
2的等差数列．
(1)求a ，b 的值；
(2)若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且x 0是y ＝f (x )的零点，试写出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，x 0＋π2上的单调增
区间．
16．先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b .
(1)求直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2
＝1相切的概率；
(2)将a ，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． 17．(2015²辽宁朝阳三校协作体联考)
如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，
PD ＝6，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．
(1)证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
(2)若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P —EAD 的体积．
18．(2015²晋江第四次联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－10
3
a n ＋a n －1＝0 (n ≥2，且
n ∈N *)．
(1)若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，求实数λ； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)设S n ＝∑n
i ＝1 1a i ，求证：S n <3
2
.
19．已知函数f (x )＝1－x 1＋x 2e x .
(1)求f (x )的单调区间；
(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2<0.
20．(2015²云南腾冲第一次联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝6
3
，过点A (0，
－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为
32
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设F 1，F 2为椭圆的左，右焦点，过F 2作直线交椭圆于P ，Q 两点，求△PQF 1的内切圆半径
r 的最大值．
答案解析
1．{x |－2≤x <0} 2.④ 3.3π8
解析 将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数y ＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，再向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象，此图象
关于直线x ＝π2对称，故2³π2－2φ＋π4＝π2＋k π (k ∈Z )，解得φ＝3π8－k π
2(k ∈Z )，又
φ>0，故φmin
＝3π8
. 4．2 026
解析 因为a 1²a 2²a 3²…²a n ＝log 23²log 34²log 45²…²log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，
k ∈Z ，则0<n ＝2k －2≤2 016，2<2k ≤2 018,1<k ≤10，所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)
＋…＋(210
－2)＝22
1－29
1－2
－18＝211
－22＝2 026.
5.45
解析 由(x ＋1)(x －3)≤0，解得－1≤x ≤3，在[－2,3]上随机取一个数是等可能的，所以符合几何概型的条件，所以所求事件的概率P ＝3－ －1 3－ －2 ＝4
5.
6．乙，甲
解析 由题意得，x 甲＝2³80＋5³90＋157＝6257，x 乙＝3³80＋4³90＋237＝623
7
＝89，显然x
甲
>x 乙，且从茎叶图来看，甲的成绩比乙的成绩离散程度大，说明乙的成绩较稳定．
7．② 8．－
5
5
解析 等轴双曲线x 2－y 2＝a 2
的两条渐近线方程为y ＝±x ，所以M (－a ，－a )，N (a ，a )，则AN 2
＝(a ＋a )2
＋a 2
＝5a 2
，AM 2
＝a 2
，MN 2
＝8a 2
，则cos∠MAN ＝5a 2
＋a 2
－8a 2
25a
2
＝－5
5. 9．15
解析 由流程图可知；①S ＝0，k ＝1；②S ＝1，k ＝2；③S ＝3，k ＝3；④S ＝7，k ＝4；⑤S ＝15，k ＝5.第⑤步后输出k ，此时S ＝15≥p ，则p 的最大值为15. 10．4
解析 因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称， 把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，
所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，
又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，
所以－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋x ， 再令x 取x ＋1可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，
所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋x ，
可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－1
2在区
间[－3,5]内的所有零点之和为1
2³2³4＝4.
11.π3
解析 ∵函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2， ∴
2π
ω
＝π，ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵f (x )的图象关于点(x 0,0)成中心对称，∴f (x 0)＝0，
即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0， ∴2x 0＋π
3＝k π，k ∈Z ，
∴x 0＝
k π
2－π
6
，k ∈Z ， ∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝π3.
12.1
2
解析 不妨设椭圆上的点A (m ，n ) (m >0，n >0)，由题意得B (m ，－n )，C (－m ，n )，则AC ＝2m ，AB ＝2n ，BC ＝2m 2
＋n 2
，则
AC ²AB BC 2＝2m ²2n 4 m 2＋n 2 ＝mn m 2＋n 2≤mn 2mn ＝1
2
(当且仅当m ＝n ，即△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)． 13.2
3
解析 求导数可得f ′(x )＝x 2
＋2ax ＋b 2
，要满足题意需x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有两不等实根，即Δ＝4(a 2
－b 2
)>0，即a >b .又a ，b 的取法共有3³3＝9(种)，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率为69＝23.
14．②
解析 根据题意，f (x )－log 2x >0且是唯一的值，设t ＝f (x )－log 2x ，则f (x )＝t ＋log 2x ，又f (t )＝3，所以3＝t ＋log 2t ，此方程有唯一解t ＝2，所以f (x )＝2＋log 2x .方程f (x )－f ′(x )＝2，即方程log 2x －
1x ln 2＝0.设h (x )＝log 2x －1
x ln 2
，则该函数为(0，＋∞)上的增函数． 又h (1)＝－1ln 2<0，h (2)＝1－1
2ln 2>0，
所以方程f (x )－f ′(x )＝2的解在区间(1,2)内． 15．解 (1)f (x )＝sin 2
ax －3sin ax ²cos ax －12
＝
1－cos 2ax 2－32sin 2ax －1
2
＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ax ＋π6，
∵y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 相切，
∴b 为f (x )的最大值或最小值，即b ＝－1或b ＝1. ∵切点的横坐标依次成公差为π
2
的等差数列，
∴f (x )的最小正周期为π2，即T ＝2π|2a |＝π
2，a >0，
∴a ＝2，即f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.
(2)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0＋π6＝0，
则4x 0＋π
6＝k π (k ∈Z )，
∴x 0＝k π
4－π
24
(k ∈Z )， 由0≤
k π
4－π24≤π
2
(k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2， 因此x 0＝5π24 或x 0＝11π
24
.
当x 0＝5π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π24，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，17π24；
当x 0＝11π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤7π12，5π6. 16．解 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b 包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个． (1)∵直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2
＋y 2
＝1相切， ∴
5
a 2＋
b 2
＝1，
整理得：a 2
＋b 2
＝25. 由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，
∴满足条件的情况只有a ＝3，b ＝4或a ＝4，b ＝3两种情况． ∴直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2
＝1相切的概率是236＝118.
(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形， ∴当a ＝1时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝2时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝3时，b ＝3,5，共2个基本事件； 当a ＝4时，b ＝4,5，共2个基本事件； 当a ＝5时，b ＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件； 当a ＝6时，b ＝5,6，共2个基本事件；
∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝7
18.
17．(1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PD .∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD .
又∵PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD . ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD . (2)解
∵PD ∥平面EAC ，平面EAC ∩平面PBD ＝OE ，PD ⊂平面PBD ，∴PD ∥OE . ∵O 是BD 的中点， ∴E 是PB 的中点． 取AD 中点H ，连结BH ， 如图所示．
∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴BH ⊥AD . 又∵BH ⊥PD ，AD ∩PD ＝D ， ∴BH ⊥平面PAD .
BH ＝
3
2
AB ＝3， V P —EAD ＝V E —PAD ＝12
V B —PAD ＝12³13
³S △PAD ³BH ＝16³12
³2³6³3＝
22
. 18．(1)解 由数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，可设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1) (n ≥2)． ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0， ∵a n ＋1－10
3a n ＋a n －1＝0，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
λ－μ＝－103，λμ＝－1，
∴λ＝－1
3
或λ＝－3.
(2)解 由(1)知，n ≥2，λ＝－13时，a n －13
a n －1＝3n －1
，①
n ≥2，λ＝－3时，a n －3a n －1＝
1
3
n －1
.②
由①②可得a n ＝38⎝
⎛⎭⎪⎫
3n －13n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合．
a n ＝38(3n －13
n )，n ∈N *.
(3)证明 由(2)知， a n ＝38⎝
⎛⎭
⎪⎫
3n －13n >0，
∵a n －3a n －1＝1
3n －1，∴a n >3a n －1，
∴1a n <13²1a n －1
(n ≥2)． ∴S n <1a 1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1
a 2＋…＋1a n －1
＝1a 1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1
a 2＋…＋1a n －1＋1a n －
13a n <1a 1＋1
3
S n . ∴S n <32
.
19．(1)解 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．
f ′(x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2
e x
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2
－2x －
1 1＋x
2 2＋1－x 1＋x 2e x ＝－x [ x －1 2
＋2] 1＋x 2
2
e x . 当x <0时，
f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0.
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)证明 当x <1时，由于1－x 1＋x 2>0，e x
>0，
故f (x )>0；
同理，当x >1时，f (x )<0.
当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1<x 2， 由(1)知，x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)． 下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )<f (－x )， 即证1－x 1＋x 2e x <1＋x 1＋x
2e
－x
.
此不等式等价于(1－x )e x
－
1＋x e
x <0. 令g (x )＝(1－x )e x
－1＋x e x ，
则g ′(x )＝－x e －x
(e 2x
－1)．
当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 从而g (x )<g (0)＝0. 即(1－x )e x
－1＋x e
x <0.
所以∀x ∈(0,1)，f (x )<f (－x )． 而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)<f (－x 2)， 从而f (x 1)<f (－x 2)．
由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增， 所以x 1<－x 2，即x 1＋x 2<0. 20．解 (1)直线AB 的方程为x a ＋y
－b
＝1，即bx －ay －ab ＝0. 原点到直线AB 的距离为ab a 2＋b 2＝3
2
， 即3a 2
＋3b 2
＝4a 2b 2.①
e ＝c a ＝63⇒c 2＝2
3
a 2.② 又a 2
＝b 2
＋c 2
，③
由①②③可得a 2
＝3，b 2
＝1，c 2
＝2. 故椭圆的方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
(2)F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 由于直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为x ＝ky ＋2，
联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ky ＋2，
x 23
＋y 2
＝1⇒(k 2
＋3)y 2
＋22ky －1＝0，
故⎩⎪⎨
⎪⎧
y 1
＋y 2
＝－22k
k 2
＋3，y 1y 2
＝－1
k 2
＋3
， ④
而S △F 1PQ ＝S △F 1F 2P ＋S △F 1F 2Q
11 ＝12F 1F 2²|y 1－y 2| ＝ 2 y 1＋y 2 2
－4y 1y 2，⑤
将④代入⑤，
得S △F 1PQ ＝ 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k k 2＋32＋4k 2＋3＝26k 2
＋1
k 2＋3.
又S △F 1PQ ＝1
2(PF 1＋F 1Q ＋PQ ) r ＝2a r ＝23r ，
所以26k 2
＋1
k 2＋3＝23r ，
故r ＝2k 2＋1k 2＋3＝2
k 2＋1＋2k 2＋1
≤1
2，
当且仅当k 2＋1＝2
k 2＋1，即k ＝±1时，取得“＝”．
故△PQF 1的内切圆半径r 的最大值为1
2.。