高三数学战略上藐视 战术上重视--例析含参数不等式的解法

战略上藐视 战术上重视
——例析含参数不等式的解法
含参数问题的讨论是数学教学的一个难点。

关键是要弄清为何讨论、如何讨论。

在解决这类类问题时，应正确认识问题中的参数，从而形成解决参数问题的正确思维习惯与解题思想。

本文试图通过阐释含参数不等式的解法，以期抛砖引玉。

由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化，即战略上藐视参数；但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性影响，若有不确定性则予以讨论，否则不予讨论，即战术上重视参数。

例1：解关于x 的不等式：[(m+3)x-1](x+1)>0 (m ∈R)
解析：因为不等式的类型取决于m+3是否为零：
当m+3=0时，不等式为一次不等式，原不等式可化为x+1<0，原不等式的解集为：{x|x<-1} 当m+3≠0时，不等式为二次不等式，需将不等式化为(x-x1)(x-x2)>0(或<0)的形式，两边同除以m+3，因其符号不确定使同解变形的结果不确定，所以应考虑m+3的正负号：
（1）、当m+3>0时，原不等式可化为0)1)(31(>++-
x m x ， ∵3101+<
<-m
∴不等式的解集为：{x|x<-1或x>31
+m }
（2）、当m+3<0时，原不等式可化为0)1)(31(<++-
x m x ， 此时相应一元二次方程的两根31
+m 与-1大小不确定，从而影响到解的结构，作差比较这两个数的大小： 34)1(3
1++=--+m m m 继续对m 分类讨论：
（i ）当-4<m<-3时，131-<+m ，原不等式的解集为{x|1
31-<<+x m }
（ii ）当m=-4时，131-=+m ，原不等式解集为Ф；
（iii ）当m<-4时，311+<
-m ，原不等式的解集为：{x|311+<<-m x }
综上：当m<-4时，原不等式的解集为：{x|
31
1+<<-m x }； 当m=-4时，原不等式解集为Ф；
当-4<m<-3时，原不等式的解集为{x|131-<<+x m }；
当m+3=0时，原不等式的解集为：{x|x<-1}；
当m>-3时，原不等式的解集为：{x|x<-1或x>31
+m }。

注：先定型、再定法，由于本题中参数对不等式的类型、同解变形、解的结构产生不确定性影响，故分三个层次对参数进行分类讨论。

例2：解关于x 的不等式：)0(122>->-a x a ax
分析：此不等式的类型为无理不等式。

无理不等式一般求解思路是：定义域优先，将无理不等式转化为有理不等式，关键是要注意有理化过程中的同解性。

将不等式视为)()(x g x f >型，需分为1-x ≥0,1-x<0两种情况分别处理。

即将原不等式化为两上不等式组：
（I ）{22)1(20
1x a ax x ->-≥-或（II ）{010
22<-≥-x a ax 即（I ）{01)1(2122<+++-≤a x a x x 或（II ）{12>≥x a x
考察不等式x2-2(a+1)x+a2+1<0，
又∵a>0∴△=4[(a+1)2-a2-1]=8a>0恒成立，
方程x2-2(a+1)x+a2+1=0两根为a a 21±+，其中a a 21++>1 而a a 21-+与1的大小、2a
与1的大小不能确定， 故作差a a 21-+-1=)2(-a a
结合①②有：
当a>2时:a a 21-+>1,12>a
不等式组（I ）的解集为Ф
不等式组（II ）解集为:{x|x ≥2a
}
当0<a ≤2时，
不等式组（I ）解集为: {x|a a 21-+<x ≤1}
不等式组（II ）解集为: {x|x>1}
综上得：
0<a ≤2时，原不等式解集为：{x|x>a a 21-+}
a>2时，原不等式解集为：{x|x ≥2a
}
例3：设函数
ax x x x f b 2122log )(2++-=(b>0且b ≠1) 当b>1时，求使f(x)>0的所有x 的值
分析1：遵循定义域优先的原则，先考察f(x)的定义域，解不等式021222>++-ax x x ，
注意到分子x2–2x+2恒正，故分母1+2ax>0，
当a=0时，f(x)的定义域是R
当a>0时，f(x)的定义域是(a 21
-
,+∞) 当a<0时，f(x)的定义域是(-∞, a 21
-
) 在定义域内可将所要考察的对数不等式f(x)>0化为代数不等式1
21222>++-ax x x 因为在定义域内分式的分母的符号是恒正，
故可去分母得一元二次不等式：x2-2(1+a)x+1>0
判别式△=4(1+a)2-4=4a(a+2).
(1)当△<0时，即-2<a<0时x2-2(1+a)x+1>0 恒成立，考虑到f(x)定义域，
有f(x)>0⇔x<a 21
-
； (2) 当△=0时，即a=-2或a=0,由于此时两值对应的定义域不同，故
当a=0时，f(x)>0⇔(x-1)2>0⇔x ∈R 且x ≠1；
当a=-2时，, f(x)>0⇔0)1(41
{2>+<
x x ⇔41<x 且x ≠-1；
(3) 当△>0时，即a>0或a<-2，方程x2-2(1+a)x+1=0的两根为 x1=1+a-a a 22+, x2=1+a+a a 22
+，由于a>0及a<-2时定义域不同，故需分类讨论。

若a>0，则a 21-
<0< x1 < x2 , f(x)>0⇔a 21-<x<1+a-a a 22+或x>1+a+a a 22+； 若a<-2，则 x1< x2<0<a 21-
, f(x)>0⇔x<1+a-a a 22+或1+a+a a 22+<x<a 21-。

综上，当a<-2时，x<1+a-a a 22+或1+a+a a 22
+<x<a 21
-. 当a=-2时, 41<
x 且x ≠-1；
当-2<a<0时，x<a 21
-；
当a=0 时，x ∈R 且x ≠1；
当a>0时，a 21
-<x<1+a-a a 22+或x>1+a+a a 22+； 注：解不等式的过程中要分清确定性与不确定性因素，根据不确定因素产生的原因进行讨论。

分析2：将对数不等式f(x)>0同解变形为：121222>++-ax x x ， 即0121)1(22>+++-ax x a x
当a=0时，f(x)>0⇔(x-1)2>0⇔x ∈R 且x ≠1；
当a ≠0时，原不等同解为：0]1)1(2)[21(22>++-+x a x a x a ，
考察二次三项式x2-2(1+a)x+1的判别式△=4(1+a)2-4=4a(a+2)，
(1)、当-2<a<0时，即△<0，x2-2(1+a)x+1>0恒成立，故f(x)>0⇔x<a 21
-
(2)、当a=-2时,即△=0（其中a=0已讨论）,f(x)>0⇔0)1)(41(2>+--x x ⇔
41<x 且x ≠-1；
(3)、当a>0或a<-2时，即△>0，方程x2-2(1+a)x+1=0的两根为: x1=1+a-a a 22+, x2=1+a+a a 22
+
原不等式可化为: 0))()(21(221>--+
x x x x a x a
①、当a>0，则a 21-
<0<x1<x2, f(x)>0⇔a 21-<x<1+a-a a 22+或x>1+a+a a 22+； ②、当a<-2,则x1<x2<0<a 21-
,f(x)>0⇔x<1+a-a a 22+或1+a+a a 22+<x<a 21-. 注：同解变形是解析2的基本思想，从上面的两种解法中我们体会到对参数的讨论是水到渠成的事情，而不是强扭的瓜。

通常认为解含参数不等式的基本解法是针对参数分类讨论，这种说法易给学生解含参数不等式带来思维与方法上的混乱，事实上，并不是所有含参数的不等式都需要讨论， 如1998年全高考第20题：设a ≠b ，解关于x 的不等式 a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2. 本文载于《高中数学教与学》2009年第3期。