2022年湖南省衡阳市 衡东县第五中学高一数学理测试题含解析

2022年湖南省衡阳市衡东县第五中学高一数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 过点A（m，1），B（﹣1，m）的直线与过点P（1，2），Q（﹣5，0）的直线垂直，则m的值为（）
A．﹣2 B．2 C．D．
参考答案：
A
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【分析】利用斜率乘积为﹣1，求出m的值即可．
【解答】解：两条直线垂直，
则： =﹣3，
解得m=﹣2，
故选：A．
2. （5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的解析式为（）
A．y=sin2x﹣2 B．y=2cos3x﹣1 C．D．
参考答案：
D
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：计算题．分析：本题可以使用排除法进行解答，根据函数图象分析出函数的最值，进而分析四个答案中四个函数的最值，将不符合条件的答案排除掉，即可得到正确的答案．
解答：由已知中函数的解析式，我们可得函数的最大值为2，最小值为0，
而A中函数y=sin2x﹣2，最大值为﹣1，最小值为﹣3，不满足要求，故A不正确；
B中函数y=2cos3x﹣1，最大值为1，最小值为﹣3，不满足要求，故B不正确；
C中函数，最大值为0，最小值为﹣2，不满足要求，故C不正确；
故选D．
点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，其中排除法是解答选择题比较常用的方法，而根据函数的图象分析出函数的最值是解答本题的关键．
3. 设，若3是与的等比中项，则的最小值为（）.
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
由3是与的等比中项，可得，再利用不等式知识可得的最小值.
【详解】解：3是与的等比中项，，
，
=，
故选C.
【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力. 4. 如图，塔AB底部为点B，若C，D两点相距为100m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，则塔AB的高约为（精确到0.1m，≈1.73，≈1.41）
（）
A．36.5 B．115.6 C．120.5 D．136.5
参考答案：
D
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】在Rt△ADB中，DB=AB，Rt△ACB中，CB=AB，根据CD=DB﹣CB可以求出AE的长度，即可解题．
【解答】解：在Rt△ADB中，DB=AB，
Rt△ACB中，CB=AB，
∵CD=DB﹣CB，∴100=（﹣1）AB
∴AB==50（+1）米≈136.5米
故选D．
5. 函数的图象的一条对称轴方程是（）
A．B． C． D．
参考答案：
A
略
6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,若，则△ABC的形状
是（）
A.等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
参考答案：A
7. 设函数f（x）=m﹣，若存在实数a、b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣] B．[﹣2，﹣）C．[﹣3，﹣）D．[﹣]
参考答案：
A
【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．
【分析】由题意可知函数为减函数，f（a）=m﹣=b，f（b）=m﹣=a，由两式可得+=1，2m=a+b+1，换元可得p=，q=，故有p+q=1，a=p2﹣3，b=q2﹣3=（1﹣p）2﹣3，由二次函数区间的最值可得答案．
【解答】解：由x+3≥0可得x≥﹣3，又由复合函数的单调性可知函数为减函数，
故有f（a）=m﹣=b，f（b）=m﹣=a，
两式相减可得﹣=a﹣b，即﹣=（a+3）﹣（b+3），
即+=1，两式相加可得2m=a+b++=a+b+1，
记p=，q=，故有p+q=1，a=p2﹣3，b=q2﹣3=（1﹣p）2﹣3，
代入可得m==p2﹣p﹣2=，
又因为p+q=1且pq均为非负数，故0≤p≤1，由二次函数的值域可得：
当p=时，q=，与a＜b矛盾，m取不到最小值，当p=0或1时，m取最大值﹣2，
故m的范围是（，﹣2]，
故选A
8. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，-1），
且·=2，则·等于
（A）-2 （B）2 （C）
0 （D）2或-2
参考答案：
B
略
9. 点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O是坐标原点，则│OP│的最小值是（）
A． B. C. 2 D.
参考答案：
C
略
10. 已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）
A．138 B．135 C．95
D．23
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）已知角α的终边过点P（2，﹣1），则sinα的值为．
参考答案：
﹣
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据任意角的三角函数的定义进行求解即可．
解答：∵角α的终边过点P（2，﹣1），
∴r=，
故sinα==﹣，故答案为：﹣．
点评：本题主要考查三角函数的定义的应用，比较基础．
12. 函数y=2sinx﹣cosx 的最大值为
．
参考答案：
【考点】HW ：三角函数的最值．
【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．
【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤
故答案为：
13. （5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））= ．
参考答案：
﹣6
考点：函数的值．
专题：计算题．
分析：根据题意和解析式先求出f（1）的值，再求出f（f（1））的值．
解答：由题意得，函数f（x）=，
则f（1）=1﹣4=﹣3，所以f（f（1））=f（﹣3）=﹣6，
故答案为：﹣6．
点评：本题考查了求分段函数多层的函数值，一般从内到外依次求函数值，注意自变量对应的范围，代入对应的解析式．
14. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比
是
参考答案：
15. 已知
，求
的值（用a 表示）甲求得的结果是
，乙求得的结果是
，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______. 参考答案： 甲、乙都对 略 16. 幂函数的图象过点
，则
_ _．
参考答案： _ 略
17. 已知
，若不等式
恒成立，求m 的最大值为____.
参考答案：
16 【分析】
由
恒成立,可得
恒成立，则
最大值就是
的最
小值，用基本不等式可求.
【详解】不等式
恒成立,则
恒成立.
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即最大值为.
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，不等式的恒成立问题.若
恒成立，则
.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝1，a 4是a 3和a 7的等比中项， （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．
参考答案：
（1）a n ＝2n ﹣5；（2）.
【分析】 （1）用首项
和公差
表示出已知关系，求出
，可得通项公式；
（2）由等差数列前项和公式得结论．
【详解】（1）在递增等差数列{a n }中，设公差为d ＞0，
∵，
∴
，
解得
．
∴a n ＝﹣3+（n ﹣1）×2＝2n ﹣5．
（2）由（1）知，
．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，解题方法是基本量法．
19. （8分）解不等式组
．
参考答案：
考点： 其他不等式的解法．
专题： 计算题．
分析：分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．
解答：由≤2得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1；
由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣＜x＜3+，
∴不等式组得解集为（3﹣，﹣1）∪2﹣4?（a2﹣1）＜0?a＜﹣1
②当B={0}时，?a=﹣1
③当B={﹣4}时，?a不存在
④当B={0，﹣4}时，?a=1
∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪{1}．
点评：本题考查集合间的相互关系，涉及参数的取值问题，解（2）时，注意分析B=?的情况．
20. 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A、B、C、D、E、F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.
参考答案：
（I）6人，9人，10人；
（II）（i）见解析；（ii）.
【分析】
（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,
,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
,,,,共11种，
所以，事件M发生的概率.
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
21. （14分）已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明：函数f（x）在内是增函数．
参考答案：
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用函数奇偶性的定义去判断．（2）利用函数单调性的定义去证明．
解答：（1）函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）（1分）
∵，
∴f（x）是奇函数．（5分）
（2）设，且x1＜x2 （6分）
则
=
，（7分）
∵，
∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣2＞0，x1x2＞0（10分）
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）（11分）
故f（x）在内是增函数．（12分）
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断和单调性的判断，利用函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．22. 已知向量函数，
(Ⅰ)将函数的图象做怎样的变换可以得到函数的图象？
(Ⅱ)求函数区间上的最大值和最小值；
(Ⅲ)若，求的值.
参考答案：
解：(Ⅰ)
----------------2分
将函数的图象向左平移个单位，再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象. ----------------4分
（或将函数的图象上各点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得函数图象向左平移个单位，可得到函数的图象）
(Ⅱ),
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， --------------6分
当，即时，函数有最大值2，
当，即时，函数有最小值，--------------9分
(Ⅲ) ，即
，又
， --------------12分
--------------16分
略。