4-4相对稳定性

系统临界稳定
幅值裕量
Kg
20 lg
1
G jwg H jwg
20 lg
G
jwg H jwg
Kg 0
系统稳定(Kg 越大稳定性越好)
Kg 0
系统不稳定
Kg 0
系统临界稳定
要综合两者考虑稳定性和相对稳定性，不能只考虑一个指标。
要求 : 30 r 60, Kg 2
求稳定裕度
1) 解析法 由前述相角裕度和幅值裕度的定义式来求。
例1
G(s)H
(s)

s(s2
40 2s

25)
解：系统的开环频率特性为
所以
G( jw)H ( jw)
40
jw(25 w 2
j 2w )
G( jw)H ( jw) 1
40
w (25 w 2 )2 4w 2
G( jw)H ( jw) 900 arctg 2w 25 w 2
相对稳定性
相对稳定性——稳定裕度 求稳定裕度
解析法 奈氏曲线 波特图 增加稳定裕度的方法
1
相对稳定性——稳定裕度
Routh判据和Nyquist判据给出系统绝对稳定的 信息，但稳定程度如何，离不稳定边缘还有多 远？这是工程上最关心的。由此引出稳定裕度
相对稳定性——稳定裕度
幅值裕度 相角裕度
相对稳定性——稳定裕度
argtg(wg ) argtg(0.1wg ) 900
wg

1
0.1w g
得到ωg ＝3.2
ωg
又因为ωc1 ＝2.24, ωc2 ＝4.47
k 5 kg1 [40(lg 3.2 lg 2.24)] 6.2dB
k 20
稳定
kg2 40(lg 4.47 lg 3.2) 5.8dB
40lg wc2 26dB, wc2 4.47
ωc2
(wc1) 900 tg 1(wc1) tg 1(0.1wc1) 191.50
g 1800 (wc1) 11.50 0
波特图法
计算幅值裕量：
(wg ) 900 argtg(wg ) argtg(0.1wg ) 1800
解析法（不常用）
由前述定义
G( jwc )H( jwc ) 1
wc 1.82
g
1800
G( jwc )H ( jwc )
900
arctg
2 1.82 25 1.822
80.50
G( jwg )H( jwg ) 1800
wg 5
Kg
20lg
0dB线 2）Nyquist图上的负实轴 — Bode图相频特性上的-
1800线
用开环Bode图 L(ω) — 幅频特性曲线 判系统稳定： Φ(ω) — 相频特性曲线
波特图法
对于Bode图即对数频率特性，由开环幅频特性与0分贝线的 交点wc求出对应的相频特性与-1800的相移量，即为相角裕度γ
2）若Φ(ω)穿越-1800线时，L(ωg) < 0，即 K g ，0则 闭环系统可能稳定，否则不稳定。 注意：要综合考虑两个指标来判断稳定性！！ 针对最小相位系统（ g , K g 都是正的），可以根据他 们来判断稳定性能，但含有不稳定环节的系统则不行。 为满足动态性能的要求，相角裕量在300～600
由开环相频特性与-1800线
的交点wg求出对应的幅频 特性与0分贝线的差值，即
为幅值裕度 Kg。
例： (wg ) 180 Gg
0.5
-90°
Bode图中纵坐标为
-180°
ωc ωg
ω
Kg
γ
20Lg Gg 6
-270°
1
20Lg 6 Gg
Kg
6db
-360°
波特图法
1) 若L(ω)穿越0dB线时，Φ(ωc) > -1800，即 g ，0 则 闭环系统可能稳定，否则不稳定。
相对稳定性——稳定裕度
对于奈氏曲线，在GH平面上，可以用奈氏曲线与(-1,j0)的
靠近程度来表征系统的相对稳定性。离(-1,j0)越近，稳定程度
越低。
G0 ( jwg )
Im
Im
wc
-1 wg•g
Re wg • -1 • g
Re
wc •
幅值穿越频率
wc G( jwc )H( jwc ) 1
G0 ( jwg )
k=5和k=20
判断系统的稳定性，求相角裕量和幅值裕量
解：先画波特图
1)低频段: ω＝1 k=5 L(1) = 20lg5 = 14dB -20dB/dec k=20 L(1) = 20lg20 = 26dB -20dB/dec
2)转折频率： ω1＝1 －20dB/dec ω2＝10 －20 dB/dec
1
G( jwg )H ( jwg )
20lg1.25 1.94dB
幅相曲线法
2）幅相曲线法（极坐标图法）
G0 ( jwg )
Im
画极坐标图，画单位圆。按照右
图得到相角裕度g 和 G0 ( jwg ) ，
然后根据 Kg 20lg(1/ G0 ( jwg ) ) 得 -1 wg
Re
到幅值裕度。

s



s s3
1
w
Re
w
1
w 0
w 0
0dB 1
40lg wc1 14dB, wc1 2.24
ωc1
( wc1 ) 90 0 tg1( wc1 ) tg1( 0.1wc1 ) 168 .60
g 180 0 ( wc1 ) 11.40 0
波特图法
26dB K=20
0dB 1
-40
40(lgwc2 lg1) 26dB
幅值裕量在5～15dB
波特图法
L(w) dB
0dB
L(w) dB
wc
w 0dB
kg<0
wc
kg>0 rad / s
w
rad / s
( w )
00
-1800
g0
稳定
( w )
wg w
rad / s
00
wg
-1800
w
rad / s
g0
不稳定
波特图法
例3
G0 (
s)
k s( s 1 )( 0.1s 1 )
例1 用幅相曲线法作图如右所示，
得到
g
wc•
g 800
wg 0.8 K g 20 lg(1/ 0.8) 1.94 注意：要精确画图
幅相曲线法
例2 G(s)H (s) K (s 1)
s(Ts 1)
0+
|G(jwg)|
Im
幅相曲线如右。
由奈氏判据判断稳定性
wg -1
+∞ Re
P=1 N=1 所以Z=P-N=0 系统稳定
g
－∞
由图知 g 0
wc•
Kg 20lg(1/ G( jwg ) ) 0 系统不稳定 0－
所以对于开环传递函数含有不稳定环节的系统，不能由 稳定裕度来判断系统的稳定性。
波特图法
3）Bode图法 Bode图与Nyquist图的对应关系： 1）Nyquist图上的单位圆— Bode图幅频特性上的
ωc1
ωc2
不稳定
思考
1.奈氏曲线是否一定和单位圆有交点？ 不一定 n>m,即传递函数严格正则时有交点 n=m,则不一定，此时只能通过奈氏曲线形
状判断稳定性
w 0
Im
w
Re
1 w 哪种正确？？？w 来自0ImG
s



s s3
1
w
w
Re
1
w 0
Im
G
波特图法
L(w) dB
26dB 40
-20
20
-40
14dB
0.1 -20
1
-40
( w ) 度
0.1 -900
1
-1800
-2700
w
rad / s
10 -60
w
rad / s
10
波特图法
计算相角裕量：求穿越0dB线的ωc和Φ(ωc)
14dB
K=5
-40
40(lgwc1 lg1) 14dB
相位穿越频率 wg ( jwg ) 1800
相对稳定性——稳定裕度 为负值
对于最小相位系统（开环传函不含右半s平面零极点的系统）：
相角裕量g 1800 (wc ) 1800 (G( jwc )H ( jwc ))
g 0
系统稳定(g 越大稳定性越好)
g 0
系统不稳定
g 0