江西省吉安市白鹭洲中学2014届高三数学上学期期中试题 理 北师大版

H
白鹭洲中学2013—2014年上学期高三年级期中考试
数学试卷（理科）
考生注意： 1、 本试卷设Ⅰ、Ⅱ卷和答题卡纸三部分，试卷所有答案都必须写在答题纸上。

2、 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

3、
考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 （ ）
A ．3y x =
B ．1y x =+
C ．21y x =-+
D ． 2
x
y -=
2．已知集合{}2,4A =，{}2,3,4B =，{}
(,),,log x C x y x A y B y N *
=∈∈∈且，则C 中元素个数是 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 3．若),0(π∈α，且)4
sin(2cos 3α-π=α，则α2sin 的值为 （ ） A ．1或1817- B ．1 C ．1817 D ．18
17
-
4．等差数列{}n a 的前n 项和为5128,11,186,n S a S a ==则的值 （ ） A ．18 B ．20 C ．21 D ．22
5. 若2
0π
<
<x ，则“x x sin 1<
”是 “
x x
>sin 1
” 的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件
6．已知a 与b 均为单位向量,其中夹角为θ,有下列四个命题
1p :||1+>a b ⇔θ∈[0,
23π) 2p :||1+>a b ⇔θ∈(23π,π] 3p : ||1->a b ⇔θ∈[0, 3π) 4p :||1->a b ⇔θ∈(3
π
,π]
其中真命题是 （ ） A ．1p ,4p
B ．1p ,3p
C ．2p ,3p
D ．3p ,4p
7．如图，ΔABC 中，A ∠= 600, A ∠的平分线交BC 于D,若
AB = 4,且)(4
1
R AB AC AD ∈+=λλ,则AD 的长为（ ） A.
32 B. 33 C. 34 D. 35
8．设函数)2
2
,0)(sin(3)(π
ϕπ
ωϕω<
<-
>+=x x f 的图像关于直线
3
2π
=
x 对称,它的周期是π,则 （ ） A ．)(x f 的图象过点)2
1,0(
B.)(x f 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是减函数 C.)(x f 的一个对称中心是)0,12
5(π D. 将)(x f 的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象. 9.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的非零实数。

若d a =1，,21d b =且
3
21232221b b b a a a ++++是正整数，则q 的值可以是 （ ） A.
71 B.-71 C.21 D.-2
1
10.已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则
H
)
0(')
1(f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.2
3
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．若数列{n a }的前n 项和为S n =2133
n a +,n ∈N *
,则数列{n a }的通项公式是n a =______.
12． 2()x f x x a =-,)10(≠>a a 且若对任意(2,1)x ∈-,1
()2
f x <
恒成立,则a 的取值范围是________
13．若方程
2110x x a
--=+仅有一解,则实数a 的取值范围是_________.
14.已知函数2
21
(),()(),2
x f x x g x m x =+
=+若12[1,2],[1,1],x x ∀∈∃∈-使得12()()f x g x ≥， 则实数m 的取值范围是 . 15.下列命题：
①函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； ②点A （1，1）、B （2，7）在直线03=-y x 两侧；
③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当4=n 时，
n S 取得最大值；
④定义运算
1
1
a b ，b a b a a b 122122
-=则函数()1
33
12x x x x x f +=
的图象在点⎪⎭
⎫
⎝⎛31,1处的切线方程是
.0536=--y x
其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）. 三、解答题（本大题共6个小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知π72
sin()410
A +
=
，ππ(,)42A ∈． （1）求cos A 的值；（2）求函数5
()cos 2sin sin 2
f x x A x =+的值域．
17．（本小题满分12分）已知向量(cos ,4sin 2),(8sin ,2sin 1)a x x b x x =-=+，x R ∈，设函数()f x a b =⋅ （1）求函数()f x 的最大值；
（2）在ABC ∆中，A 为锐角，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，,6)(=A f 且ABC ∆的面积为3，232,b c +=+求a 的值．
18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >．且1452a a a ，，分别是等比数列}{n b 的432b b b ，，．
（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有
1212
c c b b ++…1n n n c
a b ++=成立，求12c c ++…2013c + 的值.
19．（本小题满分12分）某单位设计了一个展览沙盘，现欲
在沙盘平面内，布设一个对角线在直线l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA ，AD 再用一根9米
长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB=BC 。

（1）设AB=x 米，cosA=f(x)，求)(x f 的解析式，
H
并指出x的取值范围；
（2）求四边形ABCD面积的最大值．
20. (本小题满分13分)A﹑B﹑C是直线l上的三点，点O是直线l外一点，向量OA﹑OB﹑OC
满足：OA-[y+2)1(f']·OB+ln(x+1)·OC=0；
（1）求函数y=f(x)的表达式；
（2）若x＞0, 证明f(x)＞
2
2
+
x
x
；
（3）当3
2
)
(
2
1
2
2
2-
-
+
≤bm
m
x
f
x时,x∈[]1,1-及b∈[]1,1-都恒成立，求实数m的取值范围。

21．(本小题满分14分)
已知函数()1
(0
,)
x
f x
e
a
x a e
=
-
-
>
为
自
然
对
数
的
底
数
.
（1）求函数()
f x的最小值；
（2）若()
f x≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：121
()()()()(*
)
1
n n n n
n n e
n
n n n n e
-
++
⋅⋅⋅++<∈
-
N
其
中
白鹭洲中学2013—2014年上学期高三年级期中考试
数学试卷（理科）
、考生务必用黑色签字笔填写试题答案，字体工整、笔记清楚。

总分：
、答题前，请考生叫密封线内的姓名、班级、考号填写清楚。

、保持卷面整洁，不得折叠、不要弄破。

5×10=50）
二、填空题（5×5=25）
11、12、13、
14、15、
三、解答题（本大题共6小题，共计75分。

）
16（本题满分12分）
17（本题满分12分）
H
18（本题满分12分）
20（本题满分13分）19（本题满分12分）
H 21（本题满分14分）
H
白鹭洲中学2013—2014年上学期高三年级期中考试
数学试卷（理科）参考答案和评分标准
一、选择题
12345678910
B BＡBＡＡＢＣCＣ二、填空题
11、1
(2)n-
-. 12、⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
7
14
2
1
，13、
14 5
2
m≤15.、②④
三、解答题
16. 解：（Ⅰ）因为
ππ
42
A
<<，且
π72
sin()
4
A+=所以
ππ3π
244
A
<+<，
π2
cos()
4
A+=．因为
ππππππ
cos cos[()]cos()cos sin()sin
444444
A A A A
=+-=+++
227223
1021025
=-⋅+⋅=．所以
3
cos
5
A=． (6)
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4
sin
5
A=．所以
5
()cos2sin sin
2
f x x A x
=+
2
12sin2sin
x x
=-+2
13
2(sin)
22
x
=--+，x∈R．因为sin[1,1]
x∈-，所以，当
1
sin
2
x=时，()
f x取最大值
3
2
；当sin1
x=-时，()
f x取最小值3-．
所以函数()
f x的值域为3
[3,]
2
-．……………………12分
17．
max 19.()()(8sin )cos (4sin 2)(2sin 1) (2)
4sin 24cos 2242sin(2)2()42 2 (6)
42
()()()42sin(2)26,sin(2). (7)
442
30,2,2244444f x a b x x x x x x x f x f A A A A A A π
ππππππππ==+-+=-+=-+∴=+=-+=-=<<-<--<-=Ⅰ分分Ⅱ由Ⅰ可得分因为所以22222,. (8)
4
12
sin 3.62,23 2. (10)
24
2
2cos ()222
2
(232)12226210.
2
10. (12)
ABC A S bc A bc bc b c a b c bc A b c bc bc a π
∆====∴=+=+∴=+-=+--⨯
=+--⨯⨯=∴=分又分分
18、
19解析．（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cos A．
同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cos C．………………… 2分因为∠A和∠C互补，
所以AB2+AD2－2AB·AD·cos A＝CB2+CD2－2CB·CD·cos C
＝CB2+CD2＋2CB·CD·cos A．………… 3分
即x2+(9－x)2－2 x(9－x) cos A＝x2+(5－x)2＋2 x(5－x) cos A．
解得cos A＝
2
x，即
f( x)＝
2
x．其中
x∈(2，5)．……………………… 5分
（Ⅱ）四边形ABCD的面积
S＝
1
2
(AB·AD+ CB·CD)sin A＝
1
2
[x(5－x)+x(9－x)]1－cos2A．
＝x(7－x)1－(
2
x)2＝(
x2－4)(7－x)2＝(x2－4)( x2－14x＋49)．………… 8分
所以g(x)＝(x2－4)( x2－14x＋49)，x∈(2，5)．
由g′(x)＝2x( x2－14x＋49)＋(x2－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0，
解得x＝4(x＝7和x＝－
1
2
舍)．……………………… 10分
所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．
因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．……………………… 11分
四边形ABCD的面积最大值为6 3
答：四边形ABCD的面积最大值为6 3 ． (123)
20.解I）由三点共线知识，
∵0
)]1
ln(
)]1(
2
[=
•
+
+
'
+
-OC
x
OB
f
y
OA,∴OC
x
OB
f
y
OA•
+
-
'
+
=)]
1
ln(
)]
1(
2
[,∵A﹑B﹑C三点共线，
∴1
)]
1
ln(
[
)]
1(
2
[=
+
-
+
'
+x
f
y∴)1(
2
1
)1
ln(
)
(f
x
x
f
y'
-
+
+
=
=.
H
∴11)(+='x x f ∴21
)1(='f ，∴f(x)=ln(x+1)………………4分
(Ⅱ)令g(x)=f(x)－22+x x ,由22
)2)(1()(++='x x x x g ，∵x>0∴0)(>'x g ∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)> 22+x x
;………8分
（III ）原不等式等价于32)(2
1222--≤-bm m x f x ,令 h(x)= )(2122x f x -=),1ln(212
2x x +-由,1)(23x x x x h +-='
当x ∈[-1,1]时,[h(x)]max =0, ∴m 2-2bm-3≥0,令Q(b)= m 2-2bm-3，则由Q(1)≥0及Q （-1)≥0解得m ≤-3或m ≥3. …………13分
21.解：（1）由题意0,()x
a f x e a
'>=-，由得l n x a = 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<；当时，()0f x '>.
∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减，在(l n ,)a +∞单调递增. ……………………3分
即()f x 在l n x a =处取得极小值，且为最小值，
其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.
a
f a e a a a a a =--=-- …………4分 （2）()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，m i n
()0f x ≥. 由（1），设()l n 1.g a a aa =--，所以()0g a ≥.
由()1l n 1l n 0
g a a a '=--=-=得1a =. 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， ∴ ()g a 在1a =处取得最大值，而(1)0g =.
因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =.
………………8分
（3）由（2）知，对任意实数x 均有1x e x --≥0，即1x
x e
+≤. 令k
x n
=- (*,0,1,2,3,1)
n k n ∈=-N …,，则01k
n k e n - <-≤. ∴ (1)()k
n n k
n k e e
n - --=≤.……………………………………………………………………10分 ∴ (1)(2)21
12
1()()()()1
n n n n n n n n e e e e n n n n
-------+++++++++≤…… 1111111n
e e e e e ----=<=---. ……………………14分
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