高考专题鞍山一中高三四模考试数学(文科)试卷.docx

鞍山一中2015届高三四模考试数学（文科）试卷
命题人：黄琳 校对人：周兴奎
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，所给选项中只有一个正确）
1. 复数z =i
1−i 在复平面上表示的点在第（ ）象限
A.一
B.二
C.三
D.四 2. 命题“对任意x R ∈，3
2
10x x -+≤”的否定是（ ） A.不存在x R ∈，3
2
10x x -+≤ B.存在x R ∈，3
2
10x x -+≤ C.存在x R ∈，3
2
10x x -+> D.对任意x R ∈，3
2
10x x -+>
3. 在ABC ∆中，AB c =u u u r r ，AC b =u u u r r ，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r
（ ）
A ．2133b c +r r B.5233c b -r r C.2133b c -r r D. 1233
b c +r r
4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
(1)
n a n n =+，则5S 等于（ ）
A ．1 B.
56 C.16 D. 130
5. 将直线3y x =绕原点逆时针旋转90o
再向右平移1个单位所得直线为（ ）
A.1133y x =-
+ B.113y x =-+ C.33y x =- D. 1
13
y x =+ 6. 已知(,0)2x π∈-且4
cos 5
x =，则tan 2x =（ ）
A ．724 B.724- C. 247 D. 247
-
7. 甲乙两位同学最近五次模考数学成绩茎叶图如下，则平均分数较高和成绩比较稳定的分别是（ ）
A. 甲、甲
B.乙、甲
C.甲、乙
D.乙、乙 8. 若，k R ∈则“3k >”是“方程22133
x y k k -=-+”表示双曲线的（
）条件 甲 98 6 3899
乙 210 7 1
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
9. 执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于（ ）
A ．[－3,4]
B ．[－5,2]
C ．[－4,3]
D ．[－2,5] 10. 已知m 、n 是不重合直线，α、β、γ是不重合平面，则下列命题
①若αγ⊥、βγ⊥则//αβ ②若m α⊂、n α⊂、//m β、//n β则//αβ ③若//αβ、//γβ则//γα ④若αβ⊥、m β⊥则//m α ⑤m α⊥、n α⊥则//m n 中真命题个数是（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
11. 已知点3)A ，O 是坐标原点，点(,)P x y 满足303200x y x y ⎧-≤⎪⎪
+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA u u u r 在
OP uuu r
上的投影的数量，则z 的取值范围是（ ）
A.[3,3]-
B. [3,3]-
C. [3,3]
D. [3]- 12. 直线y =kx 与曲线y =e |lnx |−|x −2|有3个公共点时，实数k 的取值范围 （ ）
A. (0,
1e ) B.(0,1) C.(1,e ] D.(1
e
,1)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13. 某几何体三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得该几何体的体积
是__________（S V h =柱体）
1
1+≥的最小值是 n ,B n ,记坐标为
(1，1)的点为M ，P n (x n ,y n )是∆A n B n M 的外心T n 是{x n }的前n 项和，则T n =＿＿＿ 三、解答题（本大题共8道小题，22、23、24题选做一道，多做按第一道记分，分值10
分，其他5题每题12分共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. ABC ∆中内角,,,C B A 的对边分别为c b a ,,，向量 ()
3,sin 2-=B ，
,12cos 2,2cos 2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=B B n 且.//n m （1）求锐角B 的大小；
（2）如果b=2，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.
18. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点．求证：(1)MN ∥平面ABCD ； (2)MN ⊥平面B 1BG.
(2)这批树苗的平均高度大约是多少？
(3)为了进一步获得研究资料，若从[40,50)组中移出一棵树苗，从[90,100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40,50)组中的树苗A 和[90,100]组中的树苗C 同时被移出的概率是多少？
主视图 左视图
俯视图
20. 设函数()()()3
22113
f x x x m x x R =-
++-∈，其中0m > （1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线的斜率 （2）求函数()f x 的单调区间与极值
（3）已知函数()f x 有三个互不相同的零点120,,x x ，且12x x <，若对任意的
[]()()12,,1x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围
21. 如图，设P 是抛物线1C ：2
x y =上的动点，过点P 作圆2C 1
)3(:2
2=++y x 的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点。

（Ⅰ）求圆2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离；
（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

（请在22、23、24
22.（本小题满分10分）几何证明选讲
如图,CD 为△ABC 外接圆的切线, ,E F 长线交直线CD 于点D ,且BC AE DC AF ⋅=⋅(Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;
(Ⅱ)若DB BE EA ==,求过,,,B E F C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.
23. （本小题满分10分）坐标系与参数方程
x
极坐标系中，P 是曲线12sin ρθ=上的动点，Q 是曲线12cos()6
π
ρθ=-上的动
点，试求|PQ |的最大值.
24. （本小题满分10分）不等式选讲 设函数()214f x x x =+--
（1）求不等式()2f x >的解集； （2）求函数()f x 的最小值.
鞍山一中2015届高三四模考试
数学（文科）答案
选择题：BCABA DABAC BB 填空题：13. 6 14. √32
15. −5
2 16. 解答题： 17.
就是,,
可得
当且仅当a=c=2时即
是等边三角形时取等。

----------------
18.(1)取CD 的中点，记为E ，连接NE 、AE ，如图所示．由N 、E 分别为CD 1与CD 的中点可得NE ∥D 1D 且NE ＝12D 1D ，又AM ∥D 1D 且AM ＝1
2
D 1D ，所以AM ∥EN 且AM ＝EN ，即
四边形AMNE 为平行四边形，所以MN ∥AE ， 又AE ⊂面ABCD ，MN
面ABCD ，
所以MN ∥面ABCD .---------------------(6分)
(2)由AG ＝DE ，∠BAG ＝∠ADE ＝90°，DA ＝AB ，可得△EDA 与△GAB 全等，所以，∠
ABG ＝∠DAE ，又∠DAE ＋∠AED ＝90°，∠AED ＝∠BAE ，所以∠BAE ＋∠ABG ＝90°，
所以，AE ⊥BG ，又BB 1⊥AE ，且BG ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥面B 1BG ，又MN ∥AE ，所以MN ⊥平面B 1BG .
-------------------(12分)
19.解 (1)由已知，高度在80厘米以上的树苗大约有12＋4＝16棵，则所求的概率
大约为0.32
(2)树苗的平均高度x ≈
45×2＋55×3＋65×14＋75×15＋85×12＋95×4
50
＝
3690
50
＝73.8厘米．
(3)依题意，设事件T=“树苗A 和树苗B 同时被移出”
记[40,50)组中的树苗分别为A 、B ，[90,100]组中的树苗分别为C 、D 、E 、F ，则所有的基本事件为
ACD 、ACE 、ACF 、ADE 、ADF 、AEF 、BCD 、BCE 、BCF 、BDE 、BDF 、BEF ，共12个．
满足A 、C 同时被移出的基本事件为ACD 、ACE 、ACF ，共3个，所以树苗A 和树苗C 同时被移出的概率P （T ）＝
3
12
＝0.25.
20.（1）当1)1(,2)(,3
1)(1'2/23
=+=+=
=f x x x f x x x f m 故时，所以曲线
））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1-----------------.
（2）解：12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('
=x f ，得到m x m x +=-=1,1
因为m m m ->+>11,0所以
当x 变化时，
)(),('x f x f 的变化情况如下表： x
)1,(m --∞ m -1
)1,1(m m +- m +1
),1(+∞+m
)('x f +
- 0
+
)(x f
极小值
极大值
)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=31
3
223-
+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=31
3
223-
+-m m
（3）解：由题设， )
)((31
)131()(2122x x x x x m x x x x f ---=-++-=
所以方程1
31
22-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且0
)1(3412>-+=∆m ，解得
21
)(21>-<m m ，舍 因为
123
,32,221221>>
=+><x x x x x x 故所以
若0
)1)(1(31
)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意
若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x
则0
))((31
)(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最
小值为0，于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是
31
)1(2<-
=m f ,解得333
3<<-m 综上，m 的取值范围是
)33
,21(
21. （Ⅰ）解：因为抛物线C 1的准线方程为：1
4
y =-
所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为：111|(3)|.44
-
--=
（Ⅱ）解：设点P 的坐标为2
00(,)x x ，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D 。

再设A ，B ，D 的横坐标分别为x A ,x B ,x D
过点2
00(,)P x x 的抛物线C 1的切线方程为：
2
0002()y x x x x -=-（1）
当01x =时，过点P （1，1）与圆C 2的切线PA 为：15
1(1)8
y x -=
-
可得17
,1,1,215
A B D A B D x x x x x x =-
==-+≠ 当10-=x 时，过点P （—1，1）与圆C 2的切线PA 为：15
1(1)8
y x -=- 可得D B A D B A x x x x x x 2,1,15
17
,1≠+==
-=
17
,1,1,215
A B D A B D x x x x x x =-
==-+≠ 所以2
010
x -≠
设切线PA ，PB 的斜率为12,k k ，则
2
010:()PA y x k x x -=-（2）
2020:()PB y x k x x -=-（3）
将3y =-分别代入（1），（2），（3）得
222
00000012011
333(0);;(,0)2D A B x x x x x x x x x k k x k k -++=≠=-=--≠
从而2
0012
112(3)(
).A B x x x x k k +=-++ 2
0102
1
11
k =+
即22222
010010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-= 同理，22222
020020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=
所以12,k k 是方程22222
0000(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=的两个不相等的根，
从而
222
000 1212
22
00
2(3)(3)
1
,
.
1
1
x x x
k k k k
x x
++-
+=⋅=
--
因为
2x
x
x
B
A
=
+
所以
2
20
00
120120
3
11111
2(3)(),.
x
x x
k k x k k x
-
-++=+=
即
从而
2
00
22
2(3)1
(3)1
x x
x
x
+
=
+-
进而得44
00
8,8
x x
==±
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为4
(8,22).
±
22.
23.以极点为坐标原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xoy,且极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位。

ρ=12sinθ的直角坐标方程为x2+(y−6)2=36, 圆心
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鑫达捷 12cos()6πρθ=-的直角坐标方程为(x −3√3)2+(y −3)2=36, 圆心，|C 1C 2|=6,|PQ |=|C 1C 2|+12=18
24.
,
,。