2018全国高考文科数学试题与答案解析全国卷3

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2017 年一般高等学校招生全国一致考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必然自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分。

在每题给出的四个选项中，只有
一项为哪一项吻合题目要求的。

1．已知会集 A={1,2,3,4}， B={2,4,6,8}，则 A B 中元素的个数为
A． 1B． 2C． 3D． 4
2．复平面内表示复数z i ( 2 i) 的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3 ．某城市为认识游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了201
4 年 1 月至
2016 年 12 月期间月款待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
依照该折线图，以下结论错误的选项是
A．月款待游客逐月增加
B．年款待游客量逐年增加
C．各年的月款待游客量巅峰期大体在7，8月
D．各年 1 月至 6 月的月款待游客量相对于7 月至12 月，颠簸性更小，变化比较平稳
4
4．已知，则sin 2=
sin cos3
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7227 A． B ．C．D．9999
3x2y60
5．设x, y满足拘束条件x 0，则 z x y 的取值范围是
y0
A． [-3 ， 0]B． [-3 ，2]C． [0 ，2]D．[0 ， 3]
6．函数
1
f (x)sin( x) cos(x) 的最大值为
536
A．6
B． 1C．
3
D．1 555
7．函数y 1 x sin x
的部分图像大体为2
x
A．B．
C．D．
8．执行右侧的程序框图，为使输出S 的值小于91 ，则输入的正整数 N 的最小值为
A． 5
B． 4
C． 3
D． 2
9．已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．B．C．D．3 4
24
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10．在正方体ABCD A B C D
中，
E
为棱
CD
的中点，则
1 1 11
A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC
22的左、右极点分别为A
1, A2，且以线段A1 A2为直径11 ．已知椭圆x y
1(a b 0)
C :
22
a b
的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为
6
B．32
A．C．D．333
12．已知函数2x 1x 1
f (x) x2x a(e e ) 有唯一零点，则 a =1 3
11
C．1
A．B．D． 1 232
二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共20 分。

13．已知向量 a ( 2,3),b (3, m) ，且 a b ，则m=.
22
14．双曲线
xy
1(a 的一条渐近线方程为
20) a9
3
y x ，则a=.
5
15 ．
ABC
的内角
A, B,C
的对边分别为
a,b,c。

已知
C 6 0 ,b6 ,c3
，则A =_________。

x1,x0,1
16．设函数 f (x)
x 则满足
f (x) f (x) 1 的x的取值范围是__________。

2
2, x0,
三、解答题：共70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21 题为必考题，
每个试题考生都必定作答。

第22、 23题为选考题，考生依照要求作答。

（一）必考题：共60 分。

17．（12 分）
设数列 { a n } 满足 a1 3a 2(2 n1)a n 2 n .
（ 1）求{ a} 的通项公式；
n
a的前 n 项和.
n
（ 2）求数列{}
2n1
18．（12 分）
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某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，专业技术参照资料
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未售出的酸奶降价办理，以每瓶 2 元的价格当天全部办理完．依照从前销售经验，每天需求
量与当天最高气温（单位：℃）有关．若是最高气温不低于25 ，需求量为500 瓶；若是最
高气温位于区间20 ，25 ），需求量为300 瓶；若是最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了
确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10 ， 15）[15 ， 20）[20 ， 25）[25 ， 30）[30 ， 35）[35 ， 40）天数216362574
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量不高出300 瓶的概率；
（ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，写出Y 的全部可能值，并估计Y 大于零的概率．
19．（12 分）
如图，周围体ABCD 中，△ ABC 是正三角形，AD =CD ．
（ 1）证明：AC ⊥ BD ；
（ 2）已知△ACD是直角三角形，AB =BD ．若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且AE ⊥ EC ，求周围体ABCE 与周围体ACDE 的体积比．
20．（12 分）
在直角坐标系xOy 中，曲线22
y x mx与x轴交于，两点，点 C 的坐标为
A B
(0,1).
当 m 变化时，解答以下问题：
（ 1）能否出现AC ⊥ BC 的情况？说明原由；
（ 2）证明过A， B， C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.
21．（12 分）
已知函数2
f (x) lnx ax2a 1 x．
（ 1）谈论 f (x) 的单调性；
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（ 2）当a0 时，证明
3．f (x)2
4a
（二）选考题：共10 分。

请考生在第22 、23题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题计分。

22． [ 选修4― 4：坐标系与参数方程] （ 10 分）
在直角坐标系xOy 中，直线l1的参数方程为x 2 t,
y kt
（ t 为参数），直线l 2的参数
x 2 m,
方程为m（ m 为参数），设l与 l 2的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C ．y
k1
（ 1）写出C的一般方程：
（ 2 ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l：
3 (cos sin)20 ，M为 l3与 C 的交点，求 M 的极径．
23． [ 选修 4— 5 ：不等式选讲]（ 10 分）
已知函数 f (x)| x|| x| ．
（ 1）求不等式 f ( x)的解集；
（ 2）若不等式 f ( x)x x m 的解集非空，求m 的取值范围．
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2017 年一般高等学校招生全国一致考试
文科数学参照答案
一、选择题
1． B 2 ． C3． A4． A5． B6． A
7． D8 ． D9． B10． C 11． A12． C
二、填空题
13． 214． 515． 75°16．( 1 ,)
4
三、解答题
17．解：
（ 1 ）由于a13a 2(2n1)a n2n ，故当n2时，
a13a2(2n3)a n 12( n1)
两式相减得(2n1)a n2
因此a 2
(n2)
n
2n1
又由题设可得a12
从而 { a } 的通项公式为a
2 2n1
n n
a的前 n 项和为 S
n n
（2）记{}
2n1
a
由（ 1）知
211
n
2n1(2n1)(2n1)2n12n1
则S 1111112n
...
n
1332n12n12n1
5
18．解：
（ 1 ）这种酸奶一天的需求量不高出300 瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为
21636
90300
，因此这种酸奶一天的需求量不高出瓶的概率的估计值为
（ 2 ）当这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，
若最高气温不低于25 ，则Y 64504450900 ；
若最高气温位于区间[20,25），则 Y63002(450300) 4 450300 ；
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若最高气温低于20，则Y 6 200 2(450200) 4 450100
因此， Y 的全部可能值为900,300， -100
Y 大于零当且仅当最高气温不低于20 ，由表格数据知，最高气温不低于20 的频率为
362574
90
0.7 ，因此 Y 大于零的概率的估计值为
19．解：
（1）取AC的中点O，连结DO ,BO，D
由于 AD CD ，因此 AC DO
E 又由于ABC 是正三角形，故BO AC
C
从而 AC平面DOB，故AC BD
O
（2 ）连结EO
B
A
由（ 1）及题设知ADC90 ，因此DO AO
在 Rt AOB 中，
222 BO AO AB
又 AB BD ，因此
222222
BO DO BO AO AB BD，故DOB90
AEC 为直角三角形，因此EO 1
由题设知AC
2
1
又 ABC 是正三角形，且AB BD ，因此EO BD
2 1
，周围故E 为BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的
2
体 ABCE 的体积为周围体ABCD 的体积的1ABCE
与周围体ACDE 的，即周围体
2
体积之比为1:1
20．解：
（ 1 ）不能够出现
AC BC 的情况，原由以下：
设 A( x 1 ,0), B(x
2
,0)
，则
12满足
2
2
1
2
2
x , x
x
mx
x x
，因此
又C 的坐标为（ 0,1 ），故 AC 的斜率与
BC 的斜率之积为
1
1
1 ，因此不能够出
x x
2
1 2
现 AC
BC 的情况
x 2
1
) ，可得
1
x
（ 2 ） BC 的中点坐标为
(
,
BC 的中垂线方程为
2
2
2
y x ( x)
2
2
2
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由（ 1）可得 x
x
m ，因此
m
AB 的中垂线方程为x
1
2
2
x
m
x
,
2
2
联立
又
x 2
mx 2
2 0，可得
y
1
1 2
x
2
y
x
(
x
)
2
2
2
因此过 A,B,C
三点的圆的圆心坐标为
m
1
2
9
(
,
) ，半径
m
2
2
r
2
故圆在 y 轴上截得的弦长为
2
m
2
y 轴上截得的
2 r
(
)
3 ，即过 A,B,C
三点的圆在
2
弦长为定值。

21．解：
（ 1 ） f(x) 的定义域为
(0, ) ，
1
( x
1)(2ax 1)
f (x)
x 2ax
2a 1
x
若 a 0 ，则当 x
(0,
) 时， f (x)
0 ，故 f (x) 在 (0,
) 单调递加
若 a 0 ，则当 x
1
时，
f (x)
0 ；当 x
1
时， f (x) 0
(0,
)
(
, )
1
2a
1
2a
故 f (x) 在 (0,
) 单调递加，在
(
,
) 单调递减。

2a
2a
（2）由（ 1）知，当 a
0 时， f (x) 在
x
1 获取最大值，最大值为
2a
f
(
1
ln(
1
)
1
1
)
2a
2a 4a
因此
f (x)
3
2 等价于
ln(
1
1
3
1
1
)
1
2
，即
ln(
)
1 0
4a
2a 4a
4a
2a
2a
设 g (x)
ln x
x
1 ，则
g (x)
1
1
x
当 x (0,1) 时， g
(x)
；当 x
(1,
) ， g ( x)
0 。

因此 g( x)
在（ 0,1 ）单调递加，在
(1,
) 单调递减。

故当 x
1 时， g(x) 获取最大值，最大值为
g (1) 0
因此当 x
0 时， g(x)
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从而当 a0 时，
113
ln()10 f (x)2 2a2a
，即4a
22．解：
（ 1 ）消去参数t 得l1的一般方程 l1: y k ( x 2)；消去参数m t得 l2的一般方程
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1
l : y( x 2)
2
k
设 P(x,y) ，由题设得y k(x2),
消去 k 得4(0) 1
22
y( x2).x y y k
因此 C 的一般方程为224(0)
x y y
（ 2）C的极坐标方程为2 (cos 2sin 2)4(2 2 ,)
2 (cos 2sin 2 )4,
(cos sin)20
联立
得 cos sin2(cos
sin)
12921
故，从而cos,sin
tan31010
2 (cos 2sin 2) 4 得5的极径为
5
代入2，因此交点M
23．解：
3,1,
x
（ 1）f (x)2x 1, 1 x 2,
3,2
x
当 x 1 时， f (x)1无解；
当 1x 2 时，由f(x)1得， 2x11，解得 1x 2 ；
当 x 2 时，由 f ( x)1解得 x2
因此 f (x) 1的解集为{ x | x 1}
（ 2）由22
f (x)x x m 得 m| x1|| x 2 | x x ，而
22
| x 1|| x 2 | x x | x | 1 | x | 2x| x |
3
2
5
(| x |
2)
4
5 4
且当x 325时， | x 1| | x 2 | x x
2
5
4
故 m 的取值范围为( , ]
4
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