云南省弥勒市第一中学2019-2020学年高二下学期第四次月考数学(理)试题Word版含答案

弥勒一中高二年级下学期理数月考4
1.(1小题共1分)集合A={y∣y=√x,0≤x≤4}，B={x|0<x<3}，那么(∁R A)∩B=
〔〕
A.[0，2]
B.[-2，2)
C.(-2，3)
D.(2，3)
2.(1小题共1分)复数z满足z(1+i)=(3+i)2，那么|z|=〔〕
A.√2
B.√5
C.5√2
3.(1小题共1分)随机变量ξ＋η=8，假设ξ～B(10，0.4)，那么E(η)，D(η)分别
是〔〕
4.(1小题共1分)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理〞、“华氏不等式〞、“华王方法〞等他除了数学理论研究，还在生产一
线大力推广了“优选法〞和“统筹法〞.“优选法〞，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来
的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法〞提高检测效率：
每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性那么全部放行；
假设为阳性，那么对该16人再次抽检确认感染者某组16人中恰有一人感染〔鼻咽拭
子样本检验将会是阳性〕，假设逐一检测可能需要15次才能确认感染者现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，假设为阴性那么认定在另一组；假
设为阳性，那么认定在本组继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样
本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过〔〕次检
测
5.(1小题共1分)双曲线x2
a2−y2
5
=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，那么该双
曲线的焦点到其渐近线的距离等于〔〕
A.√5
D.4√2
6.(1小题共1分)设向量a→，b→满足|a→+2b→|=5，|a→−2b→|=3，那么a→⋅b→=〔〕
7.p→=(a+c,b)，q→=(b−a,c−a)，假设p→//q→，那么C等于〔〕
A.π
6
B.π
3
C.π
2
D.2π
3
8.(1小题共1分)在?九章算术?中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖〔biē nào〕。

如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，那么该鳖外表积为〔〕
(1)(1分)
9.(1小题共1分)tan⁡(α+β)=2
5，tan⁡(β−π
4
)=1
4
，那么tan⁡(α+π
4
)的值等于〔〕
A.13
18
B.3
22
C.13
22
D.3
18
10.(1小题共1分)函数f(x)=x3−12x，假设f(x)在区间(2m，m+1)上单调递减，那么
实数m的取值范围是〔〕
A.-1≤m≤1
B.-1<m≤1
C.-1<m<1
D.-1≤m<1
11.(1小题共1分)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C
于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积为〔〕
A.3√3
4
B.9√3
8
C.63
32
D.9
4
，那么a，b，c的大小关系是〔〕12.(1小题共1分)a=log8⁡5，b=log4⁡3，c=2
3
A.a>b>c
B.b>a>c
C.b>c>a
D.c>b>a
13.(4小题共4分)填空题
(1)(1分)变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥1
x −y ≤1y −1≤0
，那么z=x-2y 的最大值________.
(2)(1分)假设(1+x)6(1−2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 11x 11，那么a 1+a 2+⋯+
a 11=_________.
(3)(1分)在四面体ABCD 中，假设AB =CD =√3,AC =BD =2,AD =BC =√5，那么四面体ABCD 的外接球的外表积为___________. (4)(1分)关于以下命题：
①假设α，β是第一象限角，且α>β，那么sin α>sin β；
②函数y =sin⁡
(πx −π
2)是偶函数； ③函数y =sin⁡
(2x −π
3)的一个对称中心是(π
6,0)； ④函数y =5sin⁡(−2x +π
3) 在 [−π12,5π
12
]上是增函数， 所有正确命题的序号是___________.
17.(2小题共2分)假设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n +n . (1)(1分)求证：数列{a n −1}是等比数列；
(2)(1分)设b n =log 2⁡
(1−a n )，求数列{1
b n b n+1
}的前n 项和T n . 18.(2小题共2分)为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如以下联表：
从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为4
15. (1)(1分)请将列联表补充完整；
(2)(1分)是否有99.88的把据认为青少年的肥胖与常需碳酸饮料有关? 独立性检验临界值表： 参考公式：K 2
=
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d ·
19.(2小题共2分)四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，且PD=DA=CD=2AB=2，M为PC的中点，过A，B，M三点的平面与PD交于点N.
(1)(1分)求多面体MN-ABCD的体积；
(2)(1分)求二面角D-BM-C的余弦值.
20.(2小题共2分)椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)左、右焦点分别是F1，F2，A，B是其
左右顶点，点P是椭圆C上任一点，且ΔPF1F2的周长为6，假设ΔPF1F2面积的最大值为√3.
(1)(1分)求椭圆C的方程；
(2)(1分)假设过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上.
21.(2小题共2分)函数f(x)=e x cosx−x.
(1)(1分)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)(1分)求函数f(x)在区间[0,π
2
]上的最大值和最小值.
22.(2小题共2分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{
x=3−√2
2
t
y=√5+√2
2
t
(t为
参数).在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=
2√5sin⁡θ.
(1)(1分)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)(1分)假设点P坐标为(3,√5)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值.
23.(2小题共2分)函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)(1分)求f(x)的最小值m；
(2)(1分)假设a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：b2
a +c2
b
+a2
c
≥3.
1.【能力值】无
【知识点】(1)交、并、补集运算
【详解】(1)∵A={y∣y=√x,0≤x≤4}={y∣0≤y≤2},B={x∣0<x<3}，∴C R A={y∣y<0}∪{y∣y>2},∴(∁R A)∩B=(2,3).
【答案】(1)D
2.【能力值】无
【知识点】(1)复数的乘除运算
【详解】(1)∵z(1+i)=(3+i)2，
∴z=(3+i)2
1+i =8+6i
1+i
=(8+6i)(1−i)
(1+i)(1−i)
=(4+3i)(1−i)=7−i，
∴|z|=√72+(−1)2=√50=5√2.
【答案】(1)C
3.【能力值】无
【知识点】(1)离散型随机变量的数字特征、独立重复试验与二项分布
【详解】(1)∵ξ～B(10，0.4)，∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，
∵η=8-ξ，∴Eη=E(8-ξ)=4，Dη=D(8-ξ)=2.4.
【答案】(1)A
4.【能力值】无
【知识点】(1)二分法
【详解】(1)先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，假设为阴性
那么认定在另一组；假设为阳性，那么认定在本组，此时进行了1次检测继续把认定
的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性那么认定在另一组；假设为阳性，那么认定在本组，此时进行了2次检测继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性那么认定在另一组；假设为阳性，那么
认定在本组，此时进行了3次检测选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为
阴性那么认定是另一个人；假设为阳性，那么认定为此人，此时进行了4次检测所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.
【答案】(1)B
5.【能力值】无
【知识点】(1)双曲线的简单几何性质、抛物线的简单几何性质
【详解】(1)抛物线焦点为(3，0)，故a2+5=32，a=2，双曲线焦点到渐近线的距离等于b，故距离为√5.
【答案】(1)A
6.【能力值】无
【知识点】(1)平面向量的数量积与垂直
【详解】(1)由|a→+2b→|=5，|a→−2b→|=3得a→2+4a→⋅b→+4b→2=25①，a¯2−4a→⋅b→+4b→2= 9，①-②得8a→⋅b→=16，所以a→⋅b→=2.
【答案】(1)B
7.【能力值】无
【知识点】(1)余弦定理
【详解】(1)因为向量p→=(a+c,b),q→=(b−a,c−a),p→//q→
所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，
整理得：b2+a2−c2=ab
所以cos⁡C=b2+a2−c2
2ab =ab
2ab
=1
2
解得C=π
3
.【答案】(1)B
【知识点】(1)棱锥的外表积与体积、由三视图复原空间几何体
【详解】(1)结合三视图，复原直观图为AB=3，BC=4，CD=3，那么该四面体S=1
2
AB⋅
BC+1
2AC⋅CD+1
2
AB⋅BD+1
2
BC⋅CD=27.
【答案】(1)C
9.【能力值】无
【知识点】(1)两角和与差的正切
【详解】(1)tan⁡(α+π
4)=tan⁡[(α+β)−(β−π
4
)]=tan⁡(α+β)−tan⁡(β−
π
4
)
1+tan⁡(α+β)tan⁡(β−π
4
)
=
2
5
−1
4
1+2
5
×1
4
=3
22
【答案】(1)B
10.【能力值】无
【知识点】(1)利用导数研究函数的单调性
【详解】(1)因为f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，令f′(x)<0⇒−2<x<2，所以函数f(x)=x3−12x的单调递减区间为(-2，2)，要使f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，
那么区间(2m，m＋1)是区间(-2，2)的子区间，所以{2m≥−2 m+1≤2
m+1>2m
从中解得-1≤m<1.【答案】(1)D
11.【能力值】无
【知识点】(1)抛物线中的弦长与面积
【详解】(1)由题意可知：直线AB的方程为y=√3
3(x−3
4
)，代入抛物线的方程可得：
4y2−12√3y−9=0，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，那么所求三角形的面积为1
2×3
4
×
√(y1+y2)−4y1y2=9
4
.【答案】(1)D
【知识点】(1)对数函数及其性质
【详解】(1)∵a=log8⁡5=log23⁡5=1
3log2⁡5=log2⁡√5
3，
b=log4⁡3=log22⁡3=1
2log2⁡3=log2⁡√3，c=2
3
=log2⁡223，
又∵(223)3=22=4<(√5
3)3=5=√25<(√3)3=√27且对数函数y=log2⁡x在(0,+∞)单调递增，∴c<a<b.
【答案】(1)B
13.【能力值】无
【知识点】(1)线性规划
(2)二项式定理中的赋值法
(3)球的外表积与体积
(4)Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
【详解】(1)作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A(-1，1)，B(2，1)，C(1，0)
设z=F(x，y)=x-2y，将直线l：z=x-2y进行平移，
当l经过点C时，目标函数z到达最大值
∴z最大值=F(1，0)=1
(2)在(1+x)6(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11中，令x=0，可得a_0=1.
令x=1，可得a0+a1+a2+⋯+a11=−64,∴a1+a2+⋯+a11=−65.
(3)由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以√3，2，√5为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+
y2=3，x2+z2=5，y2+z2=4，那么有(2R)2=x2+y2+z2=6(R为球的半径)，得2R2=3，所以球的外表积为S=4πR2=6π.
(4)对于①，假设α，β是第一象限角，且α>β，可令α=39°，β=30°，那么sina=sinβ，所以①错误；
对于②，函数y=sin⁡(πx−π
2
)=−cos⁡πx,f(−x)=−cos⁡(−πx)=f(x)，那么为偶函数，所以②正确
对于②，今2x−π
3=kπ，解得x=kπ
2
+π
6
(k∈Z)，所以函数y=sin⁡(2x−π
3
)对称中心为
(kπ2+π
6
,0)，
当k=0时，可得对称中心为(π
6
,0)，所以③正确：
对于④，函数y=5sin⁡(−2x+π
3)=−5sin⁡(2x−π
3
)，当x∈[−π
12
,5π
12
]时，2x−π
3
∈[−π
2
,π
2
]，
所以函数y=5sin⁡(−2x+π
3)在区间[−π
12
,5π
12
]单调递减，所以④不正确.
综上，命题②③正确.
【答案】(1)1
(2)-65
(3)6π
(4)②③
14.【能力值】无
【知识点】(1)辅助数列法、根据n项和式和n项积式求通项(2)裂项相消法
【详解】(1)略
(2)由(1)知，a n−1=(−2)⋅2n−1=−2n∴a n=1−2n
∴b n=log2⁡(1−a n)=log2⁡2n=n
∴
1
b n b n+1
=
1
n(n+1)
=
1
n
−
1
n+1
,1
那么T n=(1−1
2)+(1
2
−1
3
)+⋯+(1
n
−1
n+1
)=1−1
n+1
=n
n+1
【答案】(1)证明：当n=1时，a1=S1=2a1+1，计算得出a1=1，
当n>1时，根据题意得，S n−1=2a n−1+(n−1)，所以S n−S n−1=(2a n+n)−[2a n−1+ (n−1)]=2a n−2a n−1+1，即a n=2a n−1−1
∴a n−1=2(a n−1−1)，即a n−1
a n−1−1
=2
∴数列{a n−1}是首项为2，公比为2的等比数列
(2)n
n+1
15.【能力值】无
【知识点】(1)独立性检验
(2)独立性检验
【详解】(1)设常喝碳酸饮料且肥胖的青少年人数为x，那么x+2
30=4
15
，解得x=6
列联表如下：
(2)由(1)中列联表中的数据可求得随机变量k2的观测值：
k=30×(6×18−2×4)2
10×20×8×22
≈8.523>7.879
因此有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关.【答案】(1)
(2)有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关
16.【能力值】无
【知识点】(1)略
(2)二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题
【详解】(1)由题意得：MN 平行且等于12DC ，MN ⊥PD ，四边形DCMN 是一个直角梯形，从而
V MN−ABCD =V B−CDNM +V N−ABD =13S 梯形CDN M ⋅AD +13S ΔABD
⋅ND =13[12(1+2)×1]×2+13×12(1×2)×1=43 (2)如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 那么D(0，0，0)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，M(0，1，1) DB →=(2,1,0),BM →=(−2,0,1),BC →
=(−2,1,0)， 可以求得面DBM 的一个法向量n 1→=(1,−2,2)；
面CBM 的一个法向量n 2→=(1,2,2)
cos <n ¯1,n 2→>=n →⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=1−4+43×3=19，
又因为二面角D-BM-C 为钝角，所以其余弦值为−19.
【答案】(1)43
(2)−19
17.【能力值】无
【知识点】(1)椭圆的几何性质
(2)椭圆中的动态性质证明
【详解】(1)由题意得{2a+2c=6
1
2
×2bc=√3 a2=b2+c2，∴{
c=1
b=√3
a=2
，椭圆C的方程为：x2
4
+y2
3
=1；
(2)略
【答案】(1)x2
4+y2
3
=1
(2)由(1)得A(-2，0)，B(2，0)，F2(1,0)，设直线MN的方程为x=my+1，
M(x1,y1)，N(x2,y2)，由{x=mx+1
x2
4
+y2
3
=1，得(4+3m
2)y2+6my−9=0，
∴y1+y2=−6m
4+3m2，y1y2=−9
4+3m2
，∴my1y2=3
2
(y1+y2)，
∴y1+y2=−6m
4+3m2,y1y2=−9
4+3m2
,∴my1y2=3
2
(y1+y2)，
∵直线AM的方程为y=y1
x1+2(x+2)，直线BN的方程为y=y2
x2−2
(x−2)，
∴y1 x1+2(x+2)=y2
x2−2
(x−2),∴x+2
x−2
=y2(x1+2)
y1(x2−2)
=my1y2+3y2
my1y2−y1
=3，
∴x=4，∴直线AM与BN的交点在直线x=4上.
18.【能力值】无
【知识点】(1)利用导数求函数的切线方程
(2)利用导数研究函数的最值
【详解】(1)因为f(x)=e x cos⁡x−x，所以f′(x)=e x(cos⁡x−sin⁡x)−1,f′(0)=0.
又因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=1.
(2)设ℎ(x)=e x(cos⁡x−sin⁡x)−1，那么ℎ′(x)=e x(cos⁡x−sin⁡x−sin⁡x−cos⁡x)=−2e x sin⁡x.
当x∈(0,π
2)时，h'(x)<0，所以h(x)在区间[0,π
2
]上单调递减.
所以对任意x∈(0,π
2
]有h(x)<h(0)=0，即f'(x)<0.
所以函数f(x)在区间[0,π
2
]上单调递减.
因此f(x)在区间[0,π
2]上的最大值为f(0)=1，最小值为f(π
2
)=−π
2
.
【答案】(1)y=1
(2)最大值为f(0)=1，最小值为−π
2
19.【能力值】无
【知识点】(1)极坐标与极坐标方程、参数方程(2)参数方程
【详解】(1)由{x=3−√2
2
t
y=√5+√2
2t
得直线l的普通方程为x+y−3−√5=0
又由ρ=2√5sin⁡θ得ρ2=2√5ρsin⁡θ，化为直角坐标方程为x2+(y−√5)2=5.
(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得(3−√2
2t)2+(√2
2
t)2=5，即t2−3√2t+4=0，
设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3√2，
又直线l过点P(3,√5)，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3√2.
【答案】(1)普通方程为x+y−3−√5=0，直角坐标方程为x2+(y−√5)2=5 (2)3√2
20.【能力值】无
【知识点】(1)函数的最大〔小〕值
(2)均值不等式的应用
【详解】(1)当x<-1时，f(x)=−2(x+1)−(x−2)=−3x∈(3,+∞)；
当–1≤x<2时，f(x)=2(x+1)−(x−2)=x+4∈[3,6)；
当x≥2时，f(x)=2(x+1)+(x−2)=3x∈[6,+∞]；
综上，f(x)的最小值m=3；
(2)略
【答案】(1)m=3
(2)证明：因为a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=3，
∴b2
a
+
c2
b
+
a2
c
+(a+b+c)=(
b2
a
+a)+(
c2
b
+b)+(
a2
c
+c)
≥2(√b2
a ⋅a+√c2
b
⋅b+√a2
c
⋅c)=2(a+b+c)，
当且仅当a=b=c=1时，等号成立，
所以b2
a +c2
b
+a2
c
≥a+b+c即b2
a
+c2
b
+a2
c
≥3.。