RCP（n）网络的并行路由算法

RCP（n）网络的并行路由算法
刘宏英;高太平;卢永红
【摘要】基于交叉立方体环连接的Peterson图互联网络RCP（n）具有优良的特性.在高性能并行计算机系统中,信息通过若干内结点不交叉的路径并行传输,这些路径的长度将直接影响并行计算的性能.本文提出了一种时间复杂度为o（n2）的RCP（n）网络并行路由算法,可输出源点u到目标点v的两条并行路径P0,P1,并证明Pi≤u到v距离＋4（i=0,1）,说明该算法是通信高效的.
【期刊名称】《山西师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2011(025)002
【总页数】3页(P38-40)
【关键词】RCP（n）;交叉立方体;并行路径;路由算法
【作者】刘宏英;高太平;卢永红
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】TP301
互联网络的拓扑结构一直以来都是研究热点，人们已提出了多种互联网络，其中最流行的互联网络拓扑结构hypercube(超立方体)已用于商业和并行计算机系统的研究.但它也不是所有方面的拓扑性质都是最好的网络.黄新等［1］提出了基于交叉立方体环连接的Peterson图互联网络RCP(n)(Ringed Crossed cube
Connected Peterson).互联网络RCP(n)是由1.562 5×2n个结点构成的，它的直径约为「(n+4)/2⌉，而且是正则对称的互联网络.RCP(n)网络具有正则性的良好的可扩展性，同时还具有比Qn，HP(n)，RHP(n)网络［2～4］更短的直径和更小的构造开销等特性.
在高性能并行计算机系统中，信息是通过若干条内结点不相交的路，即并行路径，并行传输的，而且网络中的结点和链路出错是不可避免的.当某条路的结点或链路出错时，将用其他的内结点不交路来代替.因此内结点不交路的个数越多，即连通度越高，容纳出错结点或链路的能力就越高，Kulasinghe［5］证明了CQn中任意一对顶点间有n条内结点不交叉路径.系统的通信效率不仅取决于连通度，还与并行路径的长度有关，路径越长，通信延迟越大.黄新等［1］证明RCP(n)直径约为「(n+4)/2⌉ .为了提高RCP(n)网络的通信效率，本文给出了RCP(n)网络上一种并行路由算法，该算法可输出源点u到目标点v的两条并行路径.分析表明，该算法的时间复杂度为o(n2)，因此它是通信高效的.
1 预备知识
设G是一个图，用V(G)，E(G)表示G的顶点集和边集.
定义1［6］设x=x1x0，y=y1y0是两个二进制串，称x与y是关联对(pair－related，记x～y)，当且仅当(x，y)∈{(00，00)，(10，10)，(11，01)，(01，11)}.
定义2［6］一维交叉立方体是含两个顶点的完全图，其顶点标号分别为0和1.n 维交叉立方体Dn包含两个n－1维子交叉立方体D0n－1和D1n－1.其中D0n－1和D1n－1中各顶点的最高有效位分别是0和1.设u= un－1un－
2…u0∈V(D0n－1)，v=vn－1vn－2…v0∈V(D1n－1)，则(u，v)∈E(Dn)当且仅当下述条件成立:(1)若n为偶数，则un－2=vn－2;(2)对所有的0≤i＜⌊(n－
1)/2」，有u2i+1u2i～v2i+1v2i.
定义3［1］记I={0，1，…，4}，J={0，1，…，9}，以及Σ={xx…xx|x∈{0，1}，i=0，1，…，n－6n－710i n－6}.对于1.562 5×2n(n≥6)个节点，我们将环的简
单扩展性、彼特森图的短直径性与交叉立方体互联网络中节点的高可连接性结合起来，按如下方法构造互联网络RCP(n)=(V，E):
(1)将每2n－5个节点连接成一个n－5维交叉立方体:在每个n－5维交叉立方体中，各节点按{xn－6xn－7…x1x0}进行标号，其中xi∈{0，1}，i=0，1，…，n－6.于是共得到50个这样的n－5维交叉立方体.
(2)将这50个n－5维交叉立方体平均分为5组，每组包含10个n－5维交叉立
方体.各组按0～4进行编号，每组中的10个n－5维交叉立方体按0～9进行编号.
(3)对RCP(n)中的所有节点采用如下编码方式:每个节点的编码由(i，j，k)三部分组成，其中I为组的编号，i∈I;j为每组中交叉立方体的编号，j∈J;k为每个n－5维
交叉立方体内各节点的标号，k∈Σ.
(4)将编码为(i，0，k)，(i，1，k)，...，(i，9，k)的10个节点连成彼特森图，其中i∈I，k∈Σ.
(5)将编码为(0，j，k)，(1，j，k)，...，(4，j，k)的节点按如下方法连接成环:(i，j，k)(i+1，j，k)∈E，其中i=0，1，…，4(i+1取模5同余)，j∈J，k∈Σ.
2 RCP(n)网络并行路由算法
Efe［6］提出了一种时间复杂度为o(n2)的交叉立方体的最短路由算法，该算法能输出源点到目的点的一条路径，本文提出的RCP(n)网络并行路由算法中要利用这
个算法.
下面给出RCP(n)网络并行路由算法的描述:
输入:源点u=(iu，ju，Σu)，目的点v=(iv，jv，Σv)输出:u到v的P0，P1两条顶
点不相交路径
令u'=(iv，jv，Σu)，v'=(iu，ju，Σv);
//u，v在同一个交叉立方体中
then根据文献［7］算法找到u，v的二条并行路径P0，P1;
endif
if iu≠iv，ju=jv //u，v在同一列不同组的两个交叉立方体中
If Σu=Σv //u，v在同一个环上
Then令P0，P1为u，v在环上的两条并行路径;
Else根据Efe的算法找出u到v'的最短径P0'和u'到v的最短路径P1';
令P0=P0'∪〈v'，v〉p，P1=〈u，u'〉R∪P1'，其中〈v'，v〉R是v'与v在环上的最短路径，〈u，u'〉R是u与u'在环上的最短路径.
//u，v在同一组但不同列的交叉立方体中
if Σu=Σv //u，v在同一个Peterson图上
then令P0，P1为u，v在Peterson图上的两条并行路径;
Else根据Efe的算法找出u到v'的最短径P0'和u'到v的最短路径P1';
令P0=P0'∪〈v'，v〉p，P1=〈u，u'〉P∪P1'，其中〈v'，v〉P是v'与v在Peterson上的最短路径，〈u，u'〉P是u与u'在Peterson上的最短路径.
if iu≠iv，ju≠jv //u，v在不同组不同列的交叉立方体中
if Σu=Σv //u，v在不同交叉立方体的相同位置
then令P0=〈u，u'P〉P∪〈u'P，v〉R，P1=〈u，u'R〉R∪〈u'R，v〉P，其中up'=(iu，jv，Σu)
Else根据Efe的算法找出u到v'的最短径P0'和u'
到v的最短路径P1';
令P0=P0'∪〈v，vp'〉∪〈vp'，v〉，
其中vR'=(iv，ju，Σv)，vP'=(iu，jv，Σv);
输出P0，P1.
算法复杂性分析:情况1:当u，v在同一个交叉立方体中，时间复杂度为o(n2);情况2:当u，v在同一列不同组的两个交叉立方体中，时间复杂度为o(n2);情况3:u，v 在同一组但不同列的交叉立方体中，时间复杂度为o(n2);情况4:u，v在不同组不
同列的交叉立方体中，时间复杂度为o(n2)，所以本算法总的时间复杂度为o(n2). 定理上述算法输出的两条路径P0，P1是内结点不相交的，且满足|Pi|≤dCQn(u，v)+4，i=0，1.
证明下面分几种情况进行讨论:
情况1 iu=iv，ju=jv，Σu≠Σv由文献［7］可知|P0|=dCQn(u，v)，
|P1|≤dCQn(u，v)+3，易知P0，P1满足定理.
情况2 iu≠iv，ju=jv，当u，v两点在同一环上时，P0，P1为环上的二条内结点
不相交路径，长度分别为2和3;当两点不在同一环上时，|Pi|=dCQn(u，v)+2＜dCQn(u，v)+4(i=0，1)，满足定理.
情况3 iu=iv，ju≠jv，当u，v两点在同一Peterson图上时，P0，P1为Peterson图上的二条内结点不相交路径，且|Pi|≤4，i=0，1;当u，v两点不在同
一Peterson图上时，|Pi|=dCQn(u，v)+2＜dCQn(u，v) +4，i=0，1，满足定理.
情况4 iu≠iv，ju≠jv，当u，v两点在不同交叉立方体的相同位置时，u可以先通
过环，再通过Peterson图到达v，也可以选取通过Peterson图，再通过环面到
达v，所以|Pi|≤4，i=0，1;当u，v两点不位于两个交叉立方体的相同位置时，|Pi|≤dCQn(u，v)+4，i=0，1，其中4为环上的最短距离2+Peterson图上的最短距离2，满足定理.
3 结论
在并行计算机系统中，信息是通过若干条内结点不交叉的路径并行传输的，这些路径的长度越长，通信延时越大，系统的通信效率就越低了.在本文中，提出了一种时间复杂度为o(n2)的RCP(n)互联网络并行路由算法，可输出源点u到目标点v 的两条并行路径P0，P1，Pi≤u到v距离+4(i=0，1)，说明该算法是通信高效的. 参考文献:
【相关文献】
［1］黄新，高太平.基于交叉立方体环连接的Peterson图互联网络研究［J］.中北大学学报(自然科学版)，2006，27(2):141～143.
［2］Efe K.A variation on the hypercube with lower diameter［J］.IEEE Trans on Computers，1991，40(11):312～316.
［3］Chang C P，Sung T Y.Edge congestion and topological properties of crossed cubes ［J］.IEEE Trans on Parallel and Distributed Systems，2000，11(1):64～80.
［4］Kulasinghe P，Bettayeb S.Embedding binary trees into crossed cubes［J］.IEEE on Computers，1995，44(7):923～929.
［5］Kulasinghe P.Connectivity of the crossed cube［J］.Information Processing Letters，1997，61(4):221～226.
［6］Efe K.The crossed cube architecture for parallel computing［J］.IEEE Trans on Parallel and Distributed Systems，1992，3(5):513～524.
［7］喻昕，吴敏，王国军.一种交叉立方体网络的并行路由算法［J］.计算机工程，2007，
33(3):12～14.。