人教B版高中数学选修2-1课堂训练由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质

课堂练习(八) 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R)所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3)
C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D ．都是平行直线
A [把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.]
2．方程x 2＋2y 2
＋2x －2y ＋32＝0表示的曲线是( )
A ．一个点
B ．一条直线
C ．一个圆
D ．两条线段
A [方程可化为(x ＋1)2
＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122
＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＝0，y －1
2
＝0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝1
2
，它表示点
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，12.
故选A.]
3．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →
(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
A [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，O
B →
＝(－1,3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，
又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．]
4．已知log 2x ，log 2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )
A [由2log 2y ＝2＋log 2x ，得log 2y 2
＝log 24x ， ∴y 2
＝4x (x ＞0，y ＞0)， 即y ＝2x (x >0)．]
5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →且OQ →·AB →
＝1，则点P 的轨迹方程是( )
A ．3x 2
＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)
B ．3x 2
－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)
C.32x 2－3y 2
＝1(x ＞0，y ＞0) D.32
x 2＋3y 2
＝1(x ＞0，y ＞0) D [由P (x ，y )，得Q (－x ，y )．设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，于是BP →
＝(x ，y －b )，PA →＝(a －x ，－y )，由BP →＝2PA →可得a ＝3
2
x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0.又AB →
＝(－a ，b )＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32x ，3y ，由OQ →·AB →
＝1可得32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．故选D.] 二、填空题
6．方程(x －1)2
＋(x 2
＋y 2
－1)2
＝0表示的图形为________． 点(1,0) [∵(x －1)2
＋(x 2
＋y 2
－1)2
＝0.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝1，
x 2＋y 2
＝1，⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1.
y ＝0.
即方程表示一个点(1,0)．]
7．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为________．
x 2
－y 2
λ
＝1(λ≠0，x ≠±1) [由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，
所以k PM ·k PN ＝
y x ＋1·y
x －1
＝λ，
整理得x 2
－y 2
λ
＝1(λ≠0，x ≠±1)．
即动点P 的轨迹C 的方程为x 2
－y 2
λ
＝1(λ≠0，x ≠±1)．]
8．在直角坐标平面xOy 中，过定点(0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2
＝4交于A ，B 两点．若动点P (x ，y )满足OP →＝OA →＋OB →
，则点P 的轨迹方程为________．
x 2
＋(y －1)2
＝1 [设AB 的中点为M ，则OM →＝12OP →，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2，y 2.又因为OM ⊥AB ，AB →
的方向向量
为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2－1，OM →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2－1·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2，y 2＝0，x 2＋y (y －2)＝0，即x 2＋(y －1)2
＝1.]
三、解答题
9．已知圆C 的方程为x 2
＋y 2
＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →
，求动点Q 的轨迹方程．
[解] 设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ →＝OM →＋ON →，
即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y
2
.
又点M 在圆C 上，所以x 2
0＋y 2
0＝4. 即x 2
＋y 2
4
＝4(y ≠0)．
所以，动点Q 的轨迹方程为x 2
＋y 2
4
＝4(y ≠0)．
10．已知圆C ：x 2
＋(y －3)2
＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程． [解] 法一：(直接法) 如图，因为Q 是OP 的中点， 所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意， 得|OQ |2
＋|QC |2
＝|OC |2
， 即x 2
＋y 2
＋[x 2
＋(y －3)2
]＝9，
所以点Q 的轨迹方程是x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322
＝94
(去掉原点)．
法二：(定义法)
如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直
径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322
＝94
(去掉原点)．
法三：(代入法)
设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 12，y ＝y
12，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝2x ，
y 1＝2y ，
又因为x 2
1＋(y 1－3)2
＝9，
所以4x 2
＋4⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322
＝9，
即点Q 的轨迹方程为x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322
＝94
(去掉原点)．
[能力提升练]
1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足条件|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A ．9π
B ．8π
C ．4π
D ．π
C [设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |，知(x ＋2)2
＋y 2
＝2(x －1)2
＋y 2
，化简整理，得(x －2)2
＋y 2
＝4，
所以，动点P 的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.]
2．已知动点M 到点A (9,0)的距离是M 到点B (1,0)的距离的3倍，则动点M 的轨迹方程是________．
x 2＋y 2＝9 [设M (x ，y )，则|MA |＝(x －9)2＋y 2，|MB |＝(x －1)2＋y 2.
由|MA |＝3|MB |，
得(x －9)2
＋y 2
＝3(x －1)2
＋y 2
，化简得x 2
＋y 2
＝9.]。