递推考试题及答案

递推考试题及答案
一、单项选择题（每题2分，共10分）
1. 递推关系式是描述序列中项与项之间关系的数学表达式，以下哪个选项不是递推关系式的特点？
A. 递推关系式描述了序列中项与项之间的关系
B. 递推关系式可以是线性的，也可以是非线性的
C. 递推关系式只能用于描述有限序列
D. 递推关系式可以包含序列中的前几项
答案：C
2. 在递推关系式中，如果一个序列的每一项都依赖于前一项或几项，这种关系被称为：
A. 线性递推关系
B. 非线性递推关系
C. 直接递推关系
D. 间接递推关系
答案：A
3. 以下哪个选项是递推关系式的基本组成部分？
A. 初始条件
B. 序列的项
C. 递推公式
D. 所有以上选项
答案：D
4. 在递推关系式中，如果一个序列的第n项只依赖于第n-1项，这种关系被称为：
A. 一阶线性递推关系
B. 二阶线性递推关系
C. 三阶线性递推关系
D. 四阶线性递推关系
答案：A
5. 递推关系式中的初始条件是指：
A. 序列的第一项
B. 序列的前几项
C. 序列的任意一项
D. 序列的最后一项
答案：B
二、填空题（每题2分，共10分）
6. 递推关系式可以表示为：\(a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_{n-k})\)，其中\(k\)是序列的________。

答案：阶数
7. 斐波那契数列是一个经典的递推关系式的例子，其递推公式为：\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，其中\(F_1 = 1\)，\(F_2 = 1\)，这是一个________阶线性递推关系。

答案：二
8. 如果一个递推关系式可以表示为：\(a_n = c_1a_{n-1} +
c_2a_{n-2} + ... + c_ka_{n-k}\)，其中\(c_1, c_2, ..., c_k\)是常数，那么这个递推关系式被称为________递推关系。

答案：线性
9. 递推关系式中的初始条件是解决递推关系式问题时必须给定的，它包括序列的前________项。

答案：几
10. 在递推关系式中，如果一个序列的第n项依赖于第n-1项和第n-2项，这种关系被称为________阶线性递推关系。

答案：二
三、计算题（每题10分，共20分）
11. 给定一个递推关系式：\(a_n = 2a_{n-1} + 3a_{n-2}\)，初始条件为\(a_1 = 1\)，\(a_2 = 4\)。

求\(a_3\)和\(a_4\)的值。

答案：
根据递推关系式，我们可以计算：
\(a_3 = 2a_2 + 3a_1 = 2 \times 4 + 3 \times 1 = 8 + 3 = 11\)
\(a_4 = 2a_3 + 3a_2 = 2 \times 11 + 3 \times 4 = 22 + 12 = 34\)
12. 给定一个递推关系式：\(b_n = 3b_{n-1} - 2b_{n-2}\)，初始条件为\(b_1 = 2\)，\(b_2 = 4\)。

求\(b_3\)和\(b_4\)的值。

答案：
根据递推关系式，我们可以计算：
\(b_3 = 3b_2 - 2b_1 = 3 \times 4 - 2 \times 2 = 12 - 4 = 8\)
\(b_4 = 3b_3 - 2b_2 = 3 \times 8 - 2 \times 4 = 24 - 8 = 16\)
四、解答题（每题15分，共30分）
13. 给定一个递推关系式：\(c_n = 4c_{n-1} - 4c_{n-2} + c_{n-3}\)，初始条件为\(c_1 = 1\)，\(c_2 = 3\)，\(c_3 = 7\)。

求\(c_4\)的值。

答案：
根据递推关系式，我们可以计算\(c_4\)的值：
\(c_4 = 4c_3 - 4c_2 + c_1 = 4 \times 7 - 4 \times 3 + 1 = 28 - 12 + 1 = 17\)
14. 给定一个递推关系式：\(d_n = 5d_{n-1} + 6d_{n-2}\)，初始条件为\(d_1 = 2\)，\(d_2 = 8\)。

求\(d_3\)的值。

答案：
根据递推关系式，我们可以计算\(d_3\)的值：
\(d_3 = 5d_2 + 6d_1 = 5 \times 8 + 6 \times 2 = 40 + 12 = 52\)
五、综合应用题（每题20分，共20分）
15. 一个兔子种群的增长可以用递推关系式来模拟。

假设每个月兔子的数量是上个月兔子数量的两倍，并且每个月新生的兔子数量是上个月新生兔子数量的三倍。

如果初始时有1只新生兔子和1只成年兔子，那么两个月后兔子的总数是多少？
答案：
设\(R_n\)为第n个月的兔子总数，\(N_n\)为第n个月的新生兔子数量，\(A_n\)为第n个月的成年兔子数量。

则有：\(R_1 = N_1 + A_1 = 1 + 1 = 2\)
\(N_2 = 3N_1 = 3 \times 1 = 3\)
\(A_2 = 2A_1 = 2 \times 1 = 2\)
\(R_2 = N_2 + A_2 = 3 + 2 = 5\)
\(N_3 = 3N_2 = 3 \times 3 = 9\)
\(A_3 = 2A_2 = 2 \times 2 = 4\)
\(R_3 = N_3 + A_3 = 9 + 4 = 13\)
两个月后兔子的总数是13只。