19必修四 第二章 平面向量 第三节 平面向量的数量积及简单应用 (教案教学设计导学案)
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(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
8．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2 ，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
9．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
3．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝ ＝ .
(4)cosθ＝ .
10．以原点O和点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向量的坐标．
[方法与技巧]
1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
A．5B．4
C．3D．2
(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.
[问题5] (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
个性化教学辅导教案
学生姓名
年级
高一
学科
数学
上课时间
2017年月日
教师姓名
课题
必修四第二章第三节平面向量的数量积及简单应用
教学目标
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
6．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
7．三个重要公式
(1)向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝ .
(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ .
(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝ .
【典例剖析】
【例1】（1）(山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则 · ＝()
A．－ a2B．－ a2
C. a2D. a2
【例2】已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
【例3】（1）如果向量a和b满足|a|＝1，|b|＝ ，且a⊥(a－b)，那么a和b的夹角θ的大小为()
A．2 B.
C. D.
6．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝________.
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝ ，则a与b的夹角θ为________．
8．(福建高考)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()
A．－ B．－
教学过程
教师活动
学生活动
1．(2015·北京石景山一模，8)AC为平行四边形ABCD的一条对角线， ＝(2，4)， ＝(1，3)，则 ＝()
A．(2，4) B．(3，7) C．(1，1) D．(－1，－1)
2．(2015·山东滨州一模，3)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，6)，且a∥b，则x的值为()
[问题3](1)(重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝ |b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()
A. B.
C. D．π
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[问题4](1)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝()
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
5．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
14．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；
(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)；
(4)|a＋b|.
15．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使
|a＋b|＝ |a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
16．已知|a|＝1，a·b＝ ，(a＋b)·(a－b)＝ .
A．－1B．－
C. D．1
7．已知向量＝(－1,2)，＝(3，m)，若⊥，则m的值是()
A. B．－
C．4D．－4
8．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
9．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝ ，则a·b＝________.
5.已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则( ＋ )·( － )的值为()
A．－1B．－
C. D．2
6．(2017·兰州诊断)已知向量a，b满足|b|＝4，a在b方向上的投影是 ，则a·b＝________.
7．(2016·西安考前检测)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
C. D.
9．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()
A．4 B．2
C．8D．8
10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()
A. B.
C. D.
11．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
10．设平面向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝ ，且a与b不共线．
A. B.
C. D.
3．O是△ABC所在平面内的一点，且满足( － )·( ＋ －2 )＝0，则△ABC的形状一定是()
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．斜三角形
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 · ＝ ，则 · 的值是()
A. B．2
C．0D．1
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
[问题6]已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c (4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
5．设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ.
6．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2015·河北邯郸二模，6)如图所示，正六边形ABCDEF中， ＋ ＋ ＝()
A．0 B. C. D.
4．(2014·山西四校联考，8)在△ABC中，N是AC边上一点，且 ＝ ，P是BN上的一点，若 ＝m ＋ ，则实数m的值为()
A. B. C．1D．3
[问题1] (1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·(a－2b)．
A. B.
C．－ D．－
12．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是()
A．(－∞，－2)∪
B.
C. ∪
D.
13．(浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．
定义
a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ
记法
a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
(2)数量积的几何意义：
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为()
A．1 B.
C. D.
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于()
A. B.
C．－ D．－
5.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·等于()
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
1．(2017·江西八校联考)已知两个非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，且2|a|＝|b|，则〈a，b〉＝()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
2．(2016·长春三模)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为()
(2)(a·b)c＝a(b·c)对任意向量a，b，c都成立；
(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.
其中正确的命题有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
2．若|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)等于()
A．12B．－12
C．12 D．－12
3．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
A．30°B．45°
C．75°D．135°
（2）已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
【例4】已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
【例5】设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
[失误与防范]
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．
[典例]设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为 ，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
(2)如图，设正三角形ABC的边长为 ，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[问题2](1)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ ，则|b|＝________.
(2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b的夹角为 ，以a，b为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．
[变式]
已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的长度为()
A．6B.
C．3D．6或
1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()
A. B.
C．2 D．10
【例6】（1）已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于()
A. B．－
C. D．－
（2）为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
1．下列命题：
(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
8．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2 ，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
9．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
3．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝ ＝ .
(4)cosθ＝ .
10．以原点O和点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向量的坐标．
[方法与技巧]
1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
A．5B．4
C．3D．2
(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.
[问题5] (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
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学生姓名
年级
高一
学科
数学
上课时间
2017年月日
教师姓名
课题
必修四第二章第三节平面向量的数量积及简单应用
教学目标
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
6．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
7．三个重要公式
(1)向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝ .
(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ .
(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝ .
【典例剖析】
【例1】（1）(山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则 · ＝()
A．－ a2B．－ a2
C. a2D. a2
【例2】已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
【例3】（1）如果向量a和b满足|a|＝1，|b|＝ ，且a⊥(a－b)，那么a和b的夹角θ的大小为()
A．2 B.
C. D.
6．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝________.
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝ ，则a与b的夹角θ为________．
8．(福建高考)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()
A．－ B．－
教学过程
教师活动
学生活动
1．(2015·北京石景山一模，8)AC为平行四边形ABCD的一条对角线， ＝(2，4)， ＝(1，3)，则 ＝()
A．(2，4) B．(3，7) C．(1，1) D．(－1，－1)
2．(2015·山东滨州一模，3)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，6)，且a∥b，则x的值为()
[问题3](1)(重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝ |b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()
A. B.
C. D．π
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[问题4](1)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝()
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
5．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
14．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；
(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)；
(4)|a＋b|.
15．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使
|a＋b|＝ |a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
16．已知|a|＝1，a·b＝ ，(a＋b)·(a－b)＝ .
A．－1B．－
C. D．1
7．已知向量＝(－1,2)，＝(3，m)，若⊥，则m的值是()
A. B．－
C．4D．－4
8．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
9．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝ ，则a·b＝________.
5.已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则( ＋ )·( － )的值为()
A．－1B．－
C. D．2
6．(2017·兰州诊断)已知向量a，b满足|b|＝4，a在b方向上的投影是 ，则a·b＝________.
7．(2016·西安考前检测)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
C. D.
9．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()
A．4 B．2
C．8D．8
10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()
A. B.
C. D.
11．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
10．设平面向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝ ，且a与b不共线．
A. B.
C. D.
3．O是△ABC所在平面内的一点，且满足( － )·( ＋ －2 )＝0，则△ABC的形状一定是()
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．斜三角形
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 · ＝ ，则 · 的值是()
A. B．2
C．0D．1
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
[问题6]已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c (4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
5．设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ.
6．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2015·河北邯郸二模，6)如图所示，正六边形ABCDEF中， ＋ ＋ ＝()
A．0 B. C. D.
4．(2014·山西四校联考，8)在△ABC中，N是AC边上一点，且 ＝ ，P是BN上的一点，若 ＝m ＋ ，则实数m的值为()
A. B. C．1D．3
[问题1] (1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·(a－2b)．
A. B.
C．－ D．－
12．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是()
A．(－∞，－2)∪
B.
C. ∪
D.
13．(浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．
定义
a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ
记法
a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
(2)数量积的几何意义：
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为()
A．1 B.
C. D.
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于()
A. B.
C．－ D．－
5.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·等于()
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
1．(2017·江西八校联考)已知两个非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，且2|a|＝|b|，则〈a，b〉＝()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
2．(2016·长春三模)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为()
(2)(a·b)c＝a(b·c)对任意向量a，b，c都成立；
(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.
其中正确的命题有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
2．若|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)等于()
A．12B．－12
C．12 D．－12
3．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
A．30°B．45°
C．75°D．135°
（2）已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
【例4】已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
【例5】设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
[失误与防范]
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．
[典例]设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为 ，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
(2)如图，设正三角形ABC的边长为 ，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[问题2](1)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ ，则|b|＝________.
(2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b的夹角为 ，以a，b为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．
[变式]
已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的长度为()
A．6B.
C．3D．6或
1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()
A. B.
C．2 D．10
【例6】（1）已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于()
A. B．－
C. D．－
（2）为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
1．下列命题：
(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；